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1、收稿日期:2006- 04- 18 ;修回日期:2007- 05- 18 ; 基金项目:江苏省高校自然科学基础项目资助(06KJD510034) 作者简介:李正(1958 ) , 男,江苏泗阳人,淮阴师范学院电子与电气工程系副教授,硕士.主要从事光信号检测、 控制过程的研究工作. 一维光子晶体的缺陷与F - P腔 李 正 (淮阴师范学院 电子与电气工程系,江苏 淮安223001) 摘要:利用特征矩阵理论,建立关于缺陷对称的一维光子晶体的缺陷模型.使用计算机对3种情况进行了仿真.经过仿 真的透射光谱与F- P腔的透射光谱比对分析后,得到了结论,即仅在特定条件下,模型的缺陷光学长度与F- P腔的光
2、学长度 相等. 关键词:光子晶体;缺陷;特征矩阵;仿真;F- P腔 中图分类号:O 472 + .3 文献标识码:A 文章编号:100020712(2008) 从Yablonovitch和John分别在1987年提出光 子晶体的概念1 ,2以来 ,人们对光子晶体进行了广 泛地研究.所谓的光子晶体是一种介电函数(或折 射率)周期性变化排布的材料.光子晶体的最根本 特征是具有光子禁带,也就是具有在一定连续波长 的宽度内,反射率近似等于1的光谱带.有人提出 在光子晶体中引入缺陷(掺杂或空腔 ) , 进入缺陷光 的行为犹如被一个边界为完美的反射墙包围,满足 谐振条件的光得到增强,其他的光将被抑制3.如
3、 果一维光子晶体是所研究的对象,它行为很象F - P 干涉仪.在一些文献4 7中 ,采用F- P干涉腔的理 论,讨论了光子晶体的缺陷模型(以下简称为缺陷模 型)问题.但在做类似处理时,必须弄清缺陷模型的 性质及缺陷的光学长度与F - P腔的光学长度等效 条件.本文在特征矩阵理论基础上,建立一维光子 晶体的缺陷模型.通过计算机仿真,对缺陷模型的 性质和等效条件的问题进行了讨论. 1 模型理论 用于光子晶体的理论方法计算有多种.在研究 一维光子晶体时,通常采用特征矩阵法8.特征矩 阵法可以解决不同的周期结构和多种参数组合的光 子晶体的问题9 ,10 ,考虑到所讨论问题简洁的需 要,在简单的一维光子
4、晶体模型(以下简称为晶体模 型)基础上,建立了缺陷模型.此晶体模型仅有两种 相对折射率的介质层,且各介质层的光学长度是相 等,见图1.在晶体模型中,按折射率周期性的分布 图1 光学厚度相等的一维光子晶体模型 形成了多个区域.当单束光在模型中传播时,在每 个区域中所传输的光是正向传输光和反向传输光的 叠加,考虑到电磁场在各个区域边界上连续的条件, 可以得到,光子晶体的输出场矢量Eo、Ho与输入场 矢量Ei、Hi的模关系为8 Ei Hi =M Eo Ho (1) M是晶体模型的特征矩阵, M为 M= 7 k j= 1 Mj (2) Mj为第j个区域的特征矩阵.为了讨论方便,仅考 虑正入射(晶体中的
5、电磁场T模与TM模情况相 同 ) . Mj可以表为 Mj= cosji sinj/ Nj iNjsinjcosj (3) 式中,Nj为第j层的介质相对折射率,j= 2 Njdj , dj为第j层的介质几何长度,Njdj称为介质的光学 长度,为传输光的波长. 第27卷第1期大 学 物 理Vol. 27 No. 1 2008年1月COLLEGEPHYSICSJan. 2008 在光子晶体中引入缺陷,并使缺陷模型成对称 结构,如图2所示.缺陷模型的特征矩阵可以写为 M = ( MaMb) sQ ( M bMa) s (4) Q= cosgising/ Ng iNgsingcosg (5) 图2 关于
6、缺陷对称的一维光子晶体的缺陷模型 式中,Ma、Mb分别为a介质和b介质的特征矩阵, s 为缺陷两边介质变化的周期数.Q为缺陷的特征矩 阵,其中, Ng、dg分别为缺陷的折射率和几何长度. 也可 以 将 缺 陷 模 型 视 为 光 子 晶 体MaMb s 、 MbMa s和缺陷 Q的组合.当缺陷模型中的Ng、 dg、 和s参数给定时,可以算出M.不仿假设 M= AB CD (6) A、B、C、D为计算出来的常数,缺陷模型对波长为 光的透射系数为8 t= 2No A+BNo+C/ No+D (7) 式中,No为缺陷模型所在空间的介质的相对折射 率.缺陷模型的透射率为 T=tt 3 根据上述公式,使
7、用工程数学软件Matlab进行 编程.我们所用a介质为ZnS,其Na= 2.6,b介质 为SiO2,其Nb= 1.38.将Na= 2.6, Nb= 1.38, No = 1和各介质的几何长度作为常量,作为变量,分 别模拟出各种结构的透射谱,并讨论其性质. 2 仿真 仿真研究范围确定在可见光区域,光的中心波 长为550 nm.无缺陷的光子晶体存在具有一定宽 度的禁带.引入缺陷后,在原禁带区域内将出现透 射谱线.这些谱线就是本次研究的重点.为了叙述 方便,不仿将其称为主要透射谱,其他称为次要透射 谱. 1)仿真1 讨论在缺陷两边的晶体空间周期变 化数s对主要透射谱的影响. 取晶体空间周期的光学长度
8、Nada+Nbdb= 550/2nm; Nada=Nbdb;缺陷的光学长度Ngdg =550/2nm;空间周期变化数s分别取3、4、5. 仿真结果如图3所示. 图3 被缺陷分隔介质的周期数s对透射谱的影响 在图3中,为光波长,T为透射率.从图3可 以看出,随着s的增加,主要透射谱线宽度被压缩, 但谱线中心波长没有变化;次要透射谱线也被压缩, 且谱线中心波长发生了变化;当s增加到5时,光子 晶体的性质(即R1或T 0) 已经呈现.在s 5 时,讨论光子晶体器件问题才有意义.从F- P干涉 仪的角度看, s的增加,相当于提高两边镜面的反射 率. 2) 仿真2 讨论缺陷的光学长度变化对透射谱 线的影
9、响. 晶体的空间周期光学长度取仿真1的参数;空 间周期数s= 7 ;缺陷的光学长度变化范围为 (0 4) 550/ 2nm.在正入射时,根据F- P腔产生强度 极大透射光的条件为11 2dk=m,m= 1 ,2 ,3 , (9) 30大 学 物 理 第27卷 式中,dk为F- P腔的光学长度,为极大透射波的 中心波长,m为干涉级数.由式(9)作出图4 ,从图4 可以得到不同的F - P腔长时的极大透射光的中心 波长.例如,F - P腔的光学长度为4.5550/2 nm时,极大透射光的中心波长分别为618.75 nm ( m = 4) 、495 nm ( m = 5) 和412. 5 nm (
10、m = 6) . 图4 光正入射时,极大透射波的中心波长与F- P腔长的关系 随着缺陷光学长度变化,透射光谱中心波长的 位置也变化.图5是缺陷光学长度为3.5 550/2nm的仿真透射谱.其主要透射光谱为 618.75 nm、495 nm与光学长度为4.5550/2 nm的F- P腔透射光谱相吻合.可以这样理解仿真 结果:晶体的空间周期数是6.5,将与缺陷两端相邻 的介质层作为缺陷处理,缺陷的光学长度等于(3.5 +1)550/2nm.而次要透射光谱与F - P腔透 射光谱相差较大.因此,将缺陷处理成F - P腔的条 件是所研究的光一定要处在原禁带(即图4所示的 两条水平线所围成的区域)内,否
11、则,用F- P腔模型 计算的结果与用光子晶体模型计算结果相差很大; 即使所研究的光处在禁带内,缺陷光学的长度是否 能与F- P腔的光学长度等效,还要取决于缺陷模型 的结构. 图5 缺陷光学长度为3.5550/2nm 时波长与透射率T的关系 3)仿真3 研究缺陷两边晶体空间周期光学长 度的变化,对主要透射光谱可变化范围的影响. 取光子晶体的空间周期数s= 6.首先作出,缺 陷的光学长度= 0 ,空间周期光学长度分别为0. 5 550/ 2nm、1550/2nm、2550/2nm、3 550/2nm的透射光谱,见图6.需要指出的是,在 图2所示的模型中,当缺陷长度为0,干涉腔依然存 在,它是由原缺
12、陷两边光子晶体的低折射率介质形 图6 缺陷的光学长度= 0,晶体的空间周期 光学长度不同的4种透射光谱 成的.从图6可以看出,尽管各个透射光谱不同,但 谱线的形状极为相似.在每个谱中,当光波长等于2 倍晶体空间周期光学长度时,都有一个透射率约为 1的谱线存在.在其附近存在一个反射率约为1的 反射带,不妨将其称为主要透射谱的第一可调窗,它 的范围最宽.在它的短波端,有多个可调窗.这些 窗的范围随着光波长的变短,迅速变窄.当空间周 期光学长度由短变长时,谱线的形状向长波端延伸, 反之,谱线的形状被压缩.他们的变化规律为第一 可调窗的中心波长变化值与空间周期的光学长度变 化值相等.可以通过改变空间周
13、期的光学长度,将 第一、 第二和第三可调窗分别移至可见光区域内,再 分别改变缺陷光学长度,观察主要透射谱的变化. 当第一可调窗处在可见光区域内时,主要透射谱变 化规律符合式(8 ) , 其他可调窗处在可见光区域内 时,主要透射谱变化规律都不符合式(8) (除特定可 调窗且缺陷的光学长度= 0的个别点外 ) . 由于篇 幅所限,有关它的规律,本文不再讨论. 第1期李 正:一维光子晶体的缺陷与F- P腔31 综上所述,缺陷光学长度与F- P干涉腔光学长 度相等,是有条件的,在本文研究的模型中,所用的 光波长必须位于光子晶体的第一可调窗内,而且要 进行特别处理(见仿真2 ) . 在其他类型的模型中,
14、应 该有其他规律.从光的传播机理上看,F - P干涉仪 中的光行为是,在两个镜面之间(即腔内)多光束光 的干涉,它的透射谱仅与两个参数有关,即镜面反射 率和干涉腔的光学长度;而缺陷模型中光的行为是, 正向行进和反向行进的光在各个区域中经过多次耦 合,它的透射率与3个方面因素有关(即每次耦合前 的光程、 耦合的次数和缺陷的光学长度 ) , 不同的缺 陷模型的透射谱是不同的. 3 结束语 我们所研究的模型没有考虑材料的吸收系数和 吸收窗口问题,这些因素对谱线的幅度影响较大,而 对谱线的位置影响不大.对讨论的结果不会产生大 的影响.二维和三维光子晶体的耦合腔波导在本质 上可等效成在形成缺陷的方向上的
15、一维耦合腔链, 其一维或准一维特性起着主要作用.一维模型的研 究,对于二维和三维模型的研究也有借鉴作用. 参考文献: 1Yablonovitch E. Inhibited spontaneouse missionin solid state physics and electronics J. Phys Rev Lett , 1987 , 58 :2 0592 062. 2John S. Strong localization of photons in certain disor2 dered dielectric super lattices J. Phys Rev Lett , 1987
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19、社,1978. The difference and relation between the defect of 1-D photonic crystal and F- P cavity on optical path LI Zheng (Department of Electronic and Electric Engineering , Huaiyin Teacher College , Huaian , Jiangsu 223001 , China) Abstract :The model of the defect of 1-D photonic crystal , which is
20、 defect in symmetry , is set up based on the solution of eigen matrix. Three instances are simulated by computer. Comparing the transmission spectrum of simulation with one of F- P cavity , it is concluded that the optical path of the defect is equivalent to one of F - P cavity only in specific condition , they are not equivalent in common conditon. Key words :photonic crystal ; defect ; eigen matrix ; simulation ; F- P cavity 32大 学 物 理 第27卷