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1、以圆锥曲线性质为背景的高考题 杜山近几年的高考试题中出现了很多以圆锥曲线的性质为背景的题目，命题者通过对圆锥曲线性质的挖掘、引申、演变，编制出了很多耐人寻味的好题，可谓精彩纷呈。本文试举几例，略作说明，仅供读者参考。性质1 已知圆锥曲线的一个焦点是F，过F的焦点弦两端点为A、B，分别过A、B作圆锥曲线的切线，其交点为P，则点P的轨迹是相应于焦点F的准线，且PFAB。这个性质的证明比较简单，在很多文献中均有阐述，在此从略。 2006年高考全国()卷第21题为：已知抛物线x24y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且（0）过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为（）证明为定值；（）设ABM的面
2、积为S，写出Sf()的表达式，并求S的最小值本题即是以上述性质为背景命制的。性质2 过椭圆上位于第一象限内的一点T作椭圆的切线，与x轴、y轴分别交于点A、B，分别为椭圆的左右焦点，则AB=AT.即B、T四点共圆. 证明：设点T的坐标为，则过T的切线方程为，令x=0得点B的坐标为，令y=0得点A的坐标为，故直线AB的斜率，直线的斜率.于是AB=而AT=故只需证明=即证明即证明+)+ 由于T在椭圆上，所以+=，而=故式成立，OABTMF2F1所以AB=AT2006年全国高考浙江卷理科第19题为： 如图，椭圆与过点A(2,0)、B(0，1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率为.(1) 求椭圆
3、的方程；(2)设分别为椭圆的左右焦点，M为的中点，求证：ATM=AT.由第(1)问求得椭圆方程为，与直线AB的方程：联立，解得T()，即T为线段AB中点，于是ATM=，由性质2知AB=AT，故ATM=AT. 本题实际上是在性质2的基础上，进行特殊化，使切点为AB中点而得到的结论。 性质3 过以F为焦点的抛物线上任意两点P、Q的切线相交于T，则TPF=QTF，PTF=TQF。(证明参见参考文献1)2005年全国高考江西卷理科第19题为： 如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求APB的重心G的轨迹方程.（2）证明
4、PFA=PFB. 本题只是把性质3中的抛物线换成了一个特殊的抛物线，结论当然成立。 性质4 已知椭圆内一定点M，过M的弦的两端点为A、B，过点A作直线的垂线，垂足为D，过点B作直线的垂线，垂足为C，直线与x轴交点为K，则AKM=BKM.y 证明：x设，则B（），将点A、B分别代入椭圆方程得 将式两端同乘以，得 消去，得，约去，化简得，即，即于是，BKCAKD，BKC=AKD，故AKM=BKM. 特别地，当时，M为椭圆的右焦点，直线为相应的准线. 我们来看下面的问题：已知椭圆，内一定点F（，0）（），直线与x轴相交于点A，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点，设（），过点P且平行于直线的直线与椭圆
5、相交于另一点M，证明本题为2004年全国高考天津卷第22题第三问的推广.xO 证明：先证明Q、F、M三点共线.作直线QF，与椭圆交于另一点，性质4知，=，易知轴，于是点与M重合，即QM经过点F，过P、Q、M分别作直线的垂线，垂足分别为S、R、N，知由性质4知即. 用此方法，也可以很容易地证明原题。 应用与性质4的证明相同的方法可得到如下性质：定理1 已知双曲线，过定点M的弦的两端点为A、B，过点A作直线的垂线，垂足为D，过点B作直线的垂线，垂足为C，若直线与x轴交点为K，则AKM=BKM.定理2 已知抛物线，过定点M作动直线与抛物线交于A、B两点，过点A作直线的垂线，垂足为D，过点B向直线作垂
6、线，垂足为C，若直线与x轴的交点为K，则AKM=BKM. 应用定理2，可证明如下问题：xy如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.设点P分有向线段所成的比为，证明:.(2004年全国高考湖南卷理科21题的第一问) 证明：过点A作的垂线，垂足为D，过点B作的垂线，垂足为C，由定理2知设，则，又由定理2可知AQP=BQP，AE垂直于轴，即. 圆锥曲线有很多优美的性质，这些性质的证明方法灵活多样，思想性强，有利于考查学生的思维能力，因而以圆锥曲线性质为背景的题目已经成为近几年高考命题的热点。解题过程中应适当加强对圆锥曲线性质的关注，以培养发现新问题和探索、解决新问题的能力。参考文献：1奥林匹克数学中的几何问题.湖南师范大学出版社，2004