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1、中学数学杂志2011年第 3期ZHONGXUESHUXUEZAZHI复习集合问题应注意抓住 六题型浙江宁波万里国际学校315040张振继集合是高考与竞赛的基本考点之一, 在复习备考时, 应注意抓住 六题型 , 本文对其进行解析, 供复习时参考.1 判断型例 1( 1) ( 2002年全国卷 ) 设集合 M= x | x =k+21, kZ, N = x | x =k+1, kZ , 则 ()424A. M = N B. M N C. N M D. M N =( 2) ( 2002年江苏卷 ) 若 A,B,C 为三个集合, AB =BC, 则一定有 ()A. ACB. CA C. ACD. A
2、=k12k + 1解( 1) 在集合 M 中, x =+=, 在集合 N244中, x =k1k + 2+=.424由于 kZ, 2k +1为奇数, k + 2为整数,所以MN, 选 B.( 2) 因为 AAB, 且 AB = B C, 所以 ABC, 所以 AC, 选 A.点评 在集合问题中, 通常要判断元素与集合, 集合与集合之间的关系.2 运算型例 2若集合 P = y | y = x2 + 1, xR , Q = y | y= - x2 + 1,xR, 则 PQ = ()A. ( 0,1) B. 0,1C. 1D. R解因为 P = y | y1 , Q = y | y1, 所以 PQ
3、 = y | y1 y | y1 = 1, 选 C.点评在做集合的基本运算题时, 应注意分清所给集合是数集还是点集, 注意区分三个集合 A = x | y = x2 + 1,xR , B = y | y = x 2 + 1, xR, C = ( x, y ) | y = x2+ 1, x R 是不同的.3 参数型例 3( 1) ( 2009年上海卷 ) 已知集合 A = x | x 1,B = x | xa, 且 AB =R, 则实数 a 的取值范围是.( 2) 设全集 U = 2,3, a2 +2a - 3, A = | 2a - 1 |,2, U A = 5 , 求实数 a的值.( 3)
4、若集合 A = x | - 2x5 , B = x | m + 1x 2m - 1 , 且 B A, 求由实数 m 的可取值组成的集合.解( 1) 结合数轴, 得 a1.( 2) 因为 U A = 5, 所以 5U, 且 5A, 所以 a2 + 2a- 3 = 5, 且 | 2a - 1 | 5, 解得 a = 2或 a = - 4, 即实数 a的值为 2或 - 4.当 a = 2时,| 2a - 1 | = 3, 此时 A = 3,2U 符合题意; 当 a = - 4时 A = 9,2 不是 U 的子集, 应舍去. 故所求实数 a的值为 2.另解: 因为 A = | 2a - 1 | , 2
5、 , U A = 5 , A ( U A ) = U = 2, 3, a2 + 2a - 3, 所以 | 2a - 1 | = 3, a2 + 2a - 3= 5. 解得 a = 2.( 3) 当 m + 1 2m - 1, 即m 2时 B =, 满足B A;m + 1 2m - 1 ,当 B时, 由 BA 得 m + 1 - 2 ,2m - 15 ,m 2 ,即 m- 3 , 所以 2m3.m 3 .故实数 m的取值集合为 m | m 0 =, 求实数 a的取值范围.解设集合 M = a | A x | x 0.61ZHONGXUESHUXUEZAZHI中学数学杂志2011年第 3期由于二次
6、函数 y = x2 + ( a+ 2) x + 1的图象过点 ( 0, 1),= ( a + 2) 2 - 40,于是得a + 2 0.-2解得 a- 4. 即 M = a | a- 4.故所求实数 a的取值范围是 RM = a | a - 4.点评对于不易直接入手解答的集合问题, 可从反面入手 , 利用补集思想来解决, 可以化难为易, 从而优化解题过程. 6 创新型例 6 ( 2009年北京卷 ) 设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k A, 如果 k - 1 A, 且 k + 1 A, 那么 k 是 A 的一个孤立元 . 给定 S = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ,
7、由 S 的 3个元素构成的所有集合中, 不含 孤立元 的集合共有个.解孤立元 必须是没有与 k 相邻的元素, 因此, 无孤立元 是指在集合中有与 k相邻的元素, 因此符合题意的集合为: 1,2,3, 2,3,4 , 3,4,5, 4,5,6, 5,6,7, 6,7,8 共 6个.点评对于一些自定义概念、自定义运算及开放型的创新型问题, 可以将其转化为常规问题去解决, 关键是对问题进行 翻译 .练习:1. 已知集合M = 直线 , N = 圆 , 记 card(A ) 表示集合中元素的个数, 则 ()A. ca rd(MN ) =0B. card(M N ) =1C. card(MN ) =0或
8、 1或 2D. 不能计算 ca rd(MN )2. 已知集合A = a,a+ d,a + 2d , B = a, aq,aq2 ( a为已知常数 ), 若 A = B, 求实数 q 的值.3. 已知集合 A = x | ax 2 + 2x + 1 = 0 只有一个元素,求实数 a 的值.4. 已知全集 U =R, 集合 A = x |1 0, xR , 求x( RA ) x |x0.练习题参考答案:1. 因为MN =, 所以 ca rd(MN ) = 0, 选 A.2. 由 A =B 得,( )a + d =aq,或 ( ) a +d = aq2,a + 2d =aq2,a +2d = aq.
9、解方程组 () 得 q =1, 当 q = 1时, a = aq = aq2, 与集合元素的互异性矛盾, 舍去; 解方程组 () 得 q = -1. 综2上所述, 得实数 q 的值为 -1.23. ( 1) 当 a =0时, 方程 2x + 1 = 0显然只有一个解, 集合 A 只有一个元素;当 a0时, 由 = 4 - 4a = 0, 解得 a = 1.4. 因为 RA = x |10, 或 x = 0 = x | x0, 所x以 ( RA ) x | x0 = 0.作者简介 张振继, 1962 年 6月生, 笔名传知, 河南人,数学特级教师, 全国骨干教师国家级培训班优秀学员, 省级优秀教
10、师, 省优质课教师, 市首届 名师 , 县级模范政协委员 , 中原当代文化名人.主要从事初等数学研究及高考数学复习研究工作, 发表论文 200多篇, 2004年 7月加盟浙江宁波万里国际学校.分类例析几何图形中的排列组合问题河北承德实验中学067101李振文 尚继慧几何图形中的排列组合问题, 一直是个热点, 经久不衰 . 这类问题不仅考查排列组合方法, 同时也考查几何尤其是立体几何的一些知识. 求解这类问题主要用列举法、分类法、排除法等. 至于类型, 请看下面的例析.1 几何要素 个数的计算几何要素 是指点、线、面、体等, 即问题是求点的个数, 线的条数, 面的个数, 四面体的个数等. 这类问
11、题是最多见的.例 1 两条平行线上各有若干个点, 若每两个点相连可连成 15条线段, 问这些线段在两平行线间最多有多少个交点?解析 本题表面上是求交点个数, 实际是求四边形的个数.据题意可知两条平行线中一条上有 3个点, 另一条上有5个点; 或者是一条上有 1个点, 另一条上有 15个点. 要求这些点相连所成 15条线段在两平行线间最多有多少个交点,实际是求最多能构成多少个四边形, 因为每个四边形对角线都有一个交点.62这些点构成的四边形个数是: C23C25 = 30, 所以最多得到30个交点.例 2 ( 2004湖南 ) 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形, 其中直角三角形的个数为 ()A. 56B. 52C. 48D. 40解析 此题是求立方体中直角三角形的个数, 这就要熟悉正方体的性质.若直接寻求直角三角形的个数, 比较麻烦, 不如用排除法简捷.从正方体 8个顶点中随机选出 3个, 共得三角形个数是 C 38 = 56个. 其中以每个顶点所对应的正三棱锥的底面不能形成直角三角形, 故所求直角三角形的个数是C 38 - 8 = 56 - 8 = 48, 选 C.例 3 ( 2007湖北 ) 已知直线 xa + yb = 1( a, b是非零常数 ) 与圆 x2 + y2 = 100有公共点, 且公共点的横坐标和纵坐标均为整数, 那么这样的直线共有 ()