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1、巧用梅涅劳斯定理求解向量的线性相关系数 河南平顶山市第三高级中学 金小欣 467000一、 梅涅劳斯（Menelaus）定理简介：如果一直线顺次与三角形ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于M、N、K三点，则：BKNMACE。证明： 过顶点B作AC的平行线与截线交于E，则有： ， ， MABNPO对该定理的几点说明：证明的方法：过其中一个顶点作其对边的平行线与截线相交，利用“平行线截线段成比例定理”或相似性质，将其中的两个比例式等价转化。定理的实质：三个比例式的乘积等于1，每一个比例式的三个字母是共线的两个顶点和一个分点；其结构特征为： ，呈现“首尾相接”；整体看，从某一个顶点出发，最后又
2、回到该顶点。该定理常与“塞瓦定理”结合使用。二、 梅涅劳斯定理的一个应用例子题目：在OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使|=13，|=14，设线段AN与BM交于点P，记= ，=，用 ，表示向量.先给出高中常规解法（待定系数法）如下：解法一： B、P、M共线 记=s -同理，记 ，得： =- ,不共线 由、得解之得： 上述解法的基本思想是：先设法求出点P分AN、BM的比，理论依据：一个是教材例题的结论（可作为定理直接使用），一个就是平面向量基本定理。利用该定理中两个系数的唯一性，得到关于s，t的方程。由于梅涅劳斯定理、塞瓦定理与比例线段、定比分点有着密切联系，故尝试本题能否用这两个定理来解决
3、。解法二：OAN被直线MPB所截，由梅涅劳斯定理，得：ABMNPO 即 ， 或者，OBM被直线NPA所截，得：可见，只要选对了被截的三角形，用梅涅劳斯定理只列一个式子就可以了，非常便利。三、 用梅涅劳斯定理求解向量线性相关系数的要点总结以上例为例，经认真思考和实验，其规律性体现为：欲求P分之比，则考察 为一边的三角形被直线所截。若去掉线段AB，则截线显然为 四、 变式练习（1） 题目条件不变，若延长OP与AB交于点D，求向量与的线性关系。DABMNPO分析：由“塞瓦定理”得： ，即： , ,下面只要求出P分OD的比即可。由三之要点，考察POD所在OAD被直线所截，由梅氏定理，得： ，即： ， .从而，（2）题目条件不变，求用的表示式。（ 答案： ）五、真题赏析：（08广东卷8）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点若，则（ B ）ABCD提示1：过点O做AB的平行线与AF交与H，则：由E为OD中点和OHFD,得 OEHDEFOH=DF 即 点F分有向线段DC的比为提示2：视被直线AEF所截，由梅涅劳斯定理得：（下略）可见，用梅涅劳斯定理可快速得到向量线性相关的相关系数，尤其对于选择、填空题，极大提高了解题速度和质量,对于培养和提高学生的数学素质大有裨益。