07刚体的基本运动.ppt

《07刚体的基本运动.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《07刚体的基本运动.ppt（28页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、第7章 刚体的基本运动,返回总目录,刚体的平行移动 刚体的定轴转动 转动刚体内各点的速度和加速度 轮系的传动比 以矢量表示角速度和角加速度 习题与思考题,本章内容,7.1 刚体的平行移动,在工程实际中，我们经常遇到某些物体的运动。例如：在直线轨道上行驶的列车车厢的运动(如图7.1所示)；筛沙机中的筛子的运动(如图7.2所示)；桥式起重机的行车的运动(如图7.3所示)等等。刚体运动时，若其上任一直线始终保持与初始位置平行。这种运动称为刚体的平行移动，简称平动。上述这些构件的运动都具有这种共同特征，因些都是平动。刚体平动时，其上任一点的轨迹是直线，称为直线平动；其上任一点的轨迹是曲线时，称为曲线平

2、动。 在刚体上任选两点A、B。从任一固定点O向A、B两点作矢径 、 ，如图7.4所示。,图7.1 车厢的运动,图7.2 筛子的运动,图7.3 行车的运动,图7.4 刚体AB的矢径,7.1 刚体的平行移动,可得 将上式对时间 t 求导数，并注意到BA为常矢，得 再将上式对时间 t 求导数得 由此可见，刚体作平动时，“刚体内所有各点的运动轨迹的形状完全相同。在同一瞬时，所有各点具有相同的速度和相同的加速度”。因此只要确定出刚体内任一点的运动，就知道整个刚体的运动。所以，刚体平动的问题，可归结为点的运动问题来处理。上一章对点的运动已作了研究。,7.2 刚体的定轴转动,刚体运动时，其上或其延伸部分有一

3、条直线保持不动，这种运动称为刚体的定轴转动，简称为转动。固定不动的直线称为转轴。刚体的这种运动形式，工程实际中大量存在。如轮系传动装置中的各种旋转机械，水轮机和发电机的转子等。有时转轴不在刚体的内部，而在抽象的扩展的部分上。刚体绕定轴转动时，刚体内不在转轴上的其他各点均作圆周运动。圆周平面与转轴垂直，圆心就在转轴上。,一、转动方程,设有一刚体可绕z轴转动，为确定其位置。过z轴作一定平面S0，过z轴作一动平面S，如图7.5所示。开始时，两平面重合，随着时间的延续，两平面打开一角度。知即知道刚体的位置，称为转角(位置角)，以弧度(rad)表示，是时间t的单值连续函数。用公式表示为： 上式称为刚体的

4、转动方程。为代数量，正负符号规定如下：从z轴的正端往负端看，从固定面起逆时针转向，取正值；顺时针转向，取负值。,(7.1),7.2 刚体的定轴转动,图7.5 刚体转动,二、角速度,刚体转动的快慢用角速度来度量： 平均角速度 (2) 瞬时角速度 单位为，式(7.2)表明：“转角对时间t的一阶导数，称为刚体的角速度”。 为代数量，当d0时，0；当d0时，0。工程上常给出转速n(单位为r/min)，换算：,式中n的单位为r/min。,7.2 刚体的定轴转动,三、角加速度,角速度的变化快慢用角加速度来度量： 平均角加速度 瞬时角加速度 (7.4) 式中a 的单位为弧度/秒2 (rad/s2)。 式(7

5、.4)表明：“刚体的角速度对时间t的一阶导数，或转角对时间t的二阶导数，等于刚体的角加速度”。也是代数量。习惯上：与同号为加速转动，异号为减速转动。,四、匀速转动和匀变速转动的情况,7.2 刚体的定轴转动,(1) 匀速转动 a=0 =常量 =0+t (7.5) 机器中的转动部件或构件，一般在正常工作情况下都应该是匀速转动。 (2) 匀变速转动 a=常量 (7.6) (7.7) 式中的和0分别为t =0时的角速度和转角，由上面的公式可以看出：刚体匀变速转动时，刚体的转角，角速度和角加速度与时间t的关系，和点在匀变速运动中的弧坐标s，速度v及切向加速度与时间t的关系相似。同样将式(7.6)与式(7

6、.7)消去时间t，得,(7.8),7.3 转动刚体内各点的速度和加速度,工程上经常需要知道转动刚体的运动与刚体上一点的运动关系。即刚体整体的运动和体内一点的运动关系。如：齿轮的转速和圆周上一点的速度的关系等。现在来讨论这个问题。 设刚体绕z轴变速转动,在刚体上任取一点M来考察。M点到转动轴的距离为，M点的轨迹是半径为的一个圆，如图7.6所示。,图7.6 刚体绕z轴转动,7.3 转动刚体内各点的速度和加速度,一、M点的运动方程,若以MO为计算起点，则当刚体转动角时，由图7.6(b)可知： 上式为用自然法表示的M点的运动方程。,(7.9),二、M点的速度,M点速度的代数值为： 由式(7.10)可知

7、：某点速度的大小为.，即速度与半径成正比；方向沿轨迹的切线，即方向垂直于半径，指向与转向一致。速度分布如图7.7(a)所示。,(7.10),7.3 转动刚体内各点的速度和加速度,图7.7 M点的速度与全加速度分布,三、M点的加速度,M点的切向加速度(在任一瞬时)的大小为,(7.11),7.3 转动刚体内各点的速度和加速度,由式(7.11)可知：切向加速度的大小为，即与半径成正比。方向沿轨迹切向，即垂直于半径，指向与转向一致。 M点的法向加速度an的大小为： 由式(7.12)可知，法向加速度的大小为 ，即与半径成正比，方向指向点O，即曲率中心。 M点的全加速度。 大小： 方向：,(7.12),。

8、 为全加速度与半径的夹角。,全加速度的分布如图7.7(b)所示。,7.3 转动刚体内各点的速度和加速度,【例7.1】 如图7.8所示，滚子传送带，已知滚子的直径d =20cm匀速转动，转速n =50r/min。求：(1)钢板运动的速度和加速度；(2) 滚子上与钢板接触点的加速度。,解：(1) 求钢板运动的速度和加速度：,钢板的速度为,钢板的加速度为,(2) 求滚子上与钢板接触点的加速度：,图7.8 滚子传送带,7.3 转动刚体内各点的速度和加速度,【例7.2】 汽轮机叶轮由静止开始作匀加速转动。轮上M点距轴心O的距离为=400mm，在某瞬时的全加速度=40m/s2，与转轴半径的夹角 ，如图7.

9、9所示。当t=0时， =0。求叶轮的转动方程及t = 4s时M点的速度和法向加速度。,图7.9 转动的叶轮,解：(1) 求叶轮的转动方程：,为常量。所以，叶轮作,匀变速转动，且 与 的转向相同。由题意知，t =0时， =0， =0，由式(7.7)得叶轮的转动方程为：,(2) 求t =4s时，M点的速度和法向加速度,7.4 轮系的传动比,在工程实际中，通常利用几个转动刚体的传动来改变机械的转速。最常见的有摩擦轮系、齿轮系及皮带轮等，如变速箱就是由齿轮系组成的。现在以齿轮的传动和皮带轮的传动说明如下： 下面以如图7.10(a)所示的一对圆柱齿轮传动外啮合，如图7.10(b)所示的一对圆柱齿轮传动内

10、啮合为例。,图7.10 圆柱齿轮传动,7.4 轮系的传动比,设：I齿轮、II齿轮分别绕固定轴O1和O2转动。以和Z1表示I齿轮的角速度、角加速度、啮合半径和齿数；以 和z2表示II齿轮的角速度、角加速度、啮合半径和齿数。两齿轮节圆的切点 之间没有相对滑动。 即 且速度和加速度的方向也相同，如图7.10所示。 由 得 或,(7.14),(7.15),7.4 轮系的传动比,相互啮合的两个齿轮之半径与齿数成正比。由式(7.15)可知：“处于啮合中的两个定齿轮的角速度和角加速度与两定齿轮的齿数成反比，与两啮合圆的半径成反比”。 设：I轮为主动轮，II轮为从动轮，则 称为传动比，用 来表示，即,式中正号

11、表示主、从动轮转向相同，如内啮合；负号表示主、从动轮转向相反，如外啮合。式(7.16)也适用于圆锥齿轮传动，链轮，带轮传动。,7.4 轮系的传动比,【例7.3】 如图7.11所示。 ，轮I由静止开始转动，其角加速度 。设带与带轮间无滑动，问经过多少秒后II轮转速为300r/min？,图7.11 带轮传动示意,解：由题意知： ， (常数)。所以II轮作匀加速转动，其， ，,所以,或 将n4代入前式中，得,7.4 轮系的传动比,【例7.4】 如图7.12所示为一带式输送机。已知：自动轮的转速n1=1200，齿数Z1=24；齿轮III和IV用链条传动，齿数各为Z3=15，Z4=45。轮V的直径D等于

12、46cm，如希望输送带的速度约为 ，试求轮II应有的齿数Z2。,图7.12 带式输送机传动,解：由图示的传动关系有 因此得 或写成,因齿轮的齿数必须为整数，所以可选取Z2=96。这时输送带的速度为2.41m/s，满足每秒约为2.4m/s的要求。,因为输送带的速度和轮V轮缘上点的速度大小相等，而轮V的转速等于轮IV的转速，于是得：,7.5 以矢量表示角速度和角加速度,由前几节所述，我们得出的转动刚体的角速度和角加速度以及转动刚体上任一点的速度和加速度的表达式都是数量表达式，即只能表明其大小，而不能表明它们的方向。要得出既能表明其大小又能表明其方向的表达式，必须用矢量关系来表示。,一、以矢量表示角

13、速度和角加速度,绕定轴转动刚体的角速度可以用矢量表示。用矢量关系来表示，既能表明大小又能表明方向。 的大小为 方向: 沿转轴按照右手螺旋规则确定，如图7.13(a)所示。至于角速度矢的起点，可在轴线上任意选取，角速度矢是滑移矢量。取转轴为z轴，k为沿轴的单位矢量，则,(7.17),同样，角加速度也可用一个沿转轴的滑移矢量表示，如图7.13(b)所示。,(7.18),图7.13 角速度和角加速度,7.5 以矢量表示角速度和角加速度,7.5 以矢量表示角速度和角加速度,二、以矢积表示点的速度和加速度,设：M为定轴转动刚体上的任意点，其速度为 v。在转轴上任选一点O作矢量，作矢径 r=OM，如图7.

14、14(a)所示。 那么 v=r (7.19) 用矢量叉乘的定义就能验证上式的正确性。 M点的线加速度,图7.14 以矢积表示点的速度 和加速度示意,(7.20) (7.21) (7.22),式中,如图7.14(b)所示，用矢量叉乘的定义也不难验证式(7.21)和式(7.22)的正确性。,7.6 习题及思考题,1. 各点作圆周运动的刚体平动与定轴转动有什么区别？ 2. 本章中的一切公式可否适用于任何参考系，为什么？ 3. “刚体绕定轴转动时，各点的轨迹一定是圆。”说法对吗？ 4. 已知刚体的角速度与角加速度，如图7.15(a)、图7.15(b)所示，试画出两点的速度、切向加速度和法向加速度的方向

15、。 5. 刚体绕定轴转动，已知刚体上任意两点的速度方位，问能不能确定转轴的位置？ 6. 定轴转动刚体上哪些点的加速度大小相等？哪些点的加速度方向相同？,一、思考题,图7.15 第4题图,7.6 习题及思考题,7. 定轴转动刚体上哪些点的加速度大小、方向都相同？ 8. 刚体绕定轴转动时，角加速度为正，表示加速转动；角加速度为负，表示减速转动。对吗？为什么？ 9. 刚体绕定轴转动，其上某点A到转轴的距离为R。为求出刚体上任意点在某一瞬时的速度和加速度的大小，只要知道A点的速度及该点的全加速度方向就可以了。对吗？,二、习题,1. 揉茶机的揉桶由三个曲柄支持，曲柄的支座A、B、C与支轴a、b、c都恰成

16、等边三角形，如图7.17所示。三个曲柄长度相等，均长l=15cm，并以相同的转速n=45r/min分别绕其支座转动。求揉桶中心点O的速度和加速度。 2. 带轮边缘上的一点A以0.5m/s的速度运动，在轮缘内另一点B以0.1m/s的速度运动，两点到轮轴的距离相差0.2m。求带轮的角速度及直径。 3. 砂轮由静止开始作等加速转动，30秒后转速达到n=900r/min，求砂轮的角速度和30秒钟内转过的圈数N。 4. 搅拌机构如图7.18所示，已知O1A=O1B=R，O1O2=AB，杆O1A以不变转速n转动。试分析构件ABM上M点的轨迹及其速度和加速度。,7.6 习题及思考题,图7.17 揉茶机的揉桶

17、,图7.18 搅拌机,图7.19 电动绞车,5. 电动绞车由皮带轮I和II以及鼓轮III组成，如图7.19所示鼓轮III和皮带轮II刚性地固定在同一轴上。各轮的半径分别为：r1=30cm，r2=75cm，r3=40cm。轮I的转速为n1=100r/min。设皮带轮与皮带之间无滑动，求重物Q上升的速度和皮带各阶段上点的加速度的大小。,7.6 习题及思考题,6. 刨床的曲柄摆杆机构如图7.20所示，曲柄OA长r，以匀角速度绕O轴转动，其A端用铰链与套筒相连，套筒可沿摇杆O1B滑动，且OO1=h，求摇杆的转动方程及角速度方程和角加速度方程。 7. 钟表内由秒针A到分针B的齿轮传动机构由如图7.21所

18、示的四个齿轮组成。轮和刚性连接，其齿数分别为：Z1=8,Z2=60,Z4=64。求齿轮III的齿数。,图7.20 曲柄摆杆机构,图7.21 齿轮传动机构,7.6 习题及思考题,8. 如图7.22所示，摩擦传动的主动轴的转速n=600r/min，轴的轮盘与轴的轮盘接触，接触点按箭头所示的方向移动。距离d按d=100.5t的规律变化，其中d的单位为cm，t的单位为s。已知：r=50mm,R=150mm，求： (1) 以距离d表示轴的角加速度； (2) 当d=r时，轮盘边缘上一点的全加速度的大小。 9. 如图7.23所示，一飞轮绕固定轴O转动，其轮缘上任一点的全加速度在某段运动过程中与轮半径的交角恒为60。当运动开始时，其转角0等于零，角速度为0。求飞轮的转动方程以及角速度与转角的关系。,图7.22 摩擦传动机构,图7.23 飞轮,7.6 习题及思考题,10. 已知蒸汽涡轮机在发动时，其转轮的转角与时间的三次方成正比。当t=3s时，转轮的转速为n=800r/min。求转轮的转动方程。 11. 某飞轮由静止开始转动，已知轮的半径R=0.3m，轮缘上一点M的切向加速度 。试求：(1)第3s时点M的法向加速度；(2)第4s至第8s这4s钟时间内，飞轮转过的圈数。,