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1、1.3 重集的排列与组合,1.3.1 重集的概念 1.3.2 重集的排列 1.3.3 重集的组合,1.3.1 重集的概念,定义1.3.1 元素可以重复出现的集合称为重集(multiset)。元素a出现的次数叫做该元素的重数(repetition number)。 重集S表示为 Sn1a1, n2a2, nkak 其中a1,a2,ak为S中k个不同类型的元素，ni(ni是正整数或)(i1,2,k)为ai的重数。,1.3.1 重集的概念,重集S的r排列 S的r个元素的有序摆放 重集S的全排列或排列 重集S的r组合 S中r个元素的无序选择 S的子重集(submultiset),1.3.2 重集的排列
2、,定理1.3.1重集Sa1,a2,ak 的r排列的个数为kr 证明 重集合S的r排列形为：,第一位,第二位,第r位,从k个元个元素中任取一个,从k个元素中任取一个,从k个元个元素中任取一个,1.3.2 重集的排列,定理1.3.2重集Sn1a1, n2a2, nkak，且S的元素个数为nn1n2nk，则S的全排列的个数为 P(n; n1, n2, nk) ,1.3.2 重集的排列,证明 重集S的全排列形为： 一步，放好n1个a1 ， 二步，放好n2个a2 ， 三步，放好n3个a3 ， ,第一位,第二位,第n位,1.3.2 重集的排列, P(n;n1, n2, nk),1.3.2 重集的排列,例1
3、.3.1 某停车场有6个入口处，每个入口处每次只能通过一辆汽车。有9辆汽车要开进停车场，试问有多少种入场方案？,1.3.2 重集的排列,解 设9辆车分别标号为1,2,9 排列123456789 排列123456789 则汽车的入场方案 一一对应 重集S11,12,19,5的全排列 故入场方案数为 P(14;1,1,1,1,1,1,1,1,1,5)726485760,1.3.2 重集的排列,例1.3.2 求关于x1, x2, x3, x4的方程 x1x2x3x415 的非负整数解的个数,1.3.2 重集的排列,解 该方程的非负整数解一一对应重集 S151,30的全排列 ? ?,1.3.2 重集的
4、排列,1.3.2 重集的排列,推广一般，关于x1, x2, xk的方程 x1x2 xkn 的非负整数解 一一对应 重集Sn1,(k1)0的全排列,1.3.3 重集的排列,例1.3.5 设有16个字母，其中a,b,c,d各四个，从中任取10个，但每种字母至少取两个，能组成多少个不同的10排列？,1.3.3 重集的排列,解 按题意4a,4b,4c,4d的10排列分两类 (1)一个字母取4次，其余各取2次 P(10;4,2,2,2) (2)两个字母各取3次，其余各取2次 P(10;3,3,2,2),4a,2b,2c,2d,3a,3b,2c,2d,1.3.3 重集的组合,定理1.3.3 重集Sa1,a2,ak 的r组合的个数为 证明 重集Sa1,a2,ak的r组合 重集x1a1, x2a2, xkak，其中 x1x2xkr且xi(i1,2,k)非负整数 方程x1x2xkr的非负整数解,P(r+k-1;r,k-1)=,