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1、04.11.2020,线性空间与欧几里得空间,1,2 线性子空间的和与直和,线性子空间的和 线性子空间的和的维数公式 线性子空间的和的基的求法 线性子空间的直和,04.11.2020,线性空间与欧几里得空间,2,线性子空间的和,两个线性子空间的交是线性子空间，但两个线性子空间 的并集一般不是线性子空间。,则集合,也是一个线性子空间，,proof,04.11.2020,线性空间与欧几里得空间,3,线性子空间的和(2),从线性子空间的和的定义很容易看出：,(3) 多个子空间的和：,04.11.2020,线性空间与欧几里得空间,4,线性子空间的和的维数,以上 4 个线性子空间都是 2 维的,04.1
2、1.2020,线性空间与欧几里得空间,5,线性子空间的和的维数(理论结果),引理 2.3:线性子空间中的线性无关的向量组可以被扩充成该子空间的一组基。,proof,proof,proof,04.11.2020,线性空间与欧几里得空间,6,线性子空间的和的求法：例子,主元所在的列对应的向量组就是一个极大线性无关组,04.11.2020,线性空间与欧几里得空间,7,线性子空间的和的求法：例子,基础解系:,04.11.2020,线性空间与欧几里得空间,8,线性子空间的直和: 定义,下面介绍子空间的和的一种重要的特殊情形-直和.,必要性是显然的, 下证充分性.,04.11.2020,线性空间与欧几里得
3、空间,9,线性子空间的直和，补子空间,proof,proof,04.11.2020,线性空间与欧几里得空间,10,多个线性子空间的直和,proof,04.11.2020,线性空间与欧几里得空间,11,命题2.1的证明,所以 W 是线性子空间。,back,证明：,04.11.2020,线性空间与欧几里得空间,12,命题 2.2 的证明,证明:,由定义, 有,back,04.11.2020,线性空间与欧几里得空间,13,引理.的证明,如果这个向量组不是W的基, 则用同样的方法扩充 线性无关的向量组, 直到不能扩充为止,最后得到W的一组基.,back,引理 2.3:线性子空间中的线性无关的向量组可以
4、 被扩充成该子空间的一组基。,证明:,04.11.2020,线性空间与欧几里得空间,14,定理2.4的证明,证明:,注意到,只要证明,线性无关,04.11.2020,线性空间与欧几里得空间,15,定理 2.4 的证明(2),设,有,所以,即,有,back,04.11.2020,线性空间与欧几里得空间,16,定理 2.6 的证明,证明：由维数公式可以得到(2)与(3)的等价性。 下面证明(1)与(2)的等价性。,back,04.11.2020,线性空间与欧几里得空间,17,定理 2.7 的证明,由于基的扩充是不唯一的，所以当W是不平凡子空间时， 它的补子空间是不唯一的。,back,04.11.2020,线性空间与欧几里得空间,18,命题 2.8 的证明,证明:,04.11.2020,线性空间与欧几里得空间,19,命题 2.8 的证明(2),=0,所以,04.11.2020,线性空间与欧几里得空间,20,命题 2.8 的证明(3),其中,则有,于是,=0,所以,back,