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1、,一、二重积分概念,二、二重积分的计算,三、 三重积分概念,四、三重积分的计算,五、重积分的应用,重积分复习,一、二重积分的概念,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,(一)、定义,(二)、几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是以被积函数为曲顶、以积分区域为底的曲顶柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是曲顶柱体的体积的负值,(三)、物理意义,平面薄片的质量,设有一平面薄片,占有 面上的闭区域 ,在点处 的面密度为 ,平面薄片的质量,(四)存在条件,(五)性质,性质,性质,若 为D的面积，,性质,特殊地,则有,若在 上,性质,（估值不等式）,性质,（二重积分中值定理）
2、,解,解,例3 求极限,。,解 因为被积函数,在区域,上连续，根据积分中值定理知：,存在,使得,解毕。,二、二重积分的计算,(一)、利用直角坐标系计算二重积分,其中函数 、 在区间 上连续.,先y后x:平行于 轴的直线穿过区域内部与其边界最多交于两点。,先x后y 平行于 轴的直线穿过区域内部时与其边界最多交于两点。,求二重积分的步骤,(1) 画出积分区域图形,判断类型;,(2) 定积分上下限,(3) 写出二次积分再求即可.,若区域如图，则必须分割。,在分割后的三个区域上分别使用积分公式。,如果被积函数具有,等形式，则应选择先对,积分。,注：,解 积分区域如图,与两坐标轴围成.,解:,其中 是由
3、 所围区域, 则,等于( ),令,由已知等式得,两边在 上取二重积分, 则,例2,设 连续, 且,故选,解得,解,(二)、利用极坐标系计算二重积分,解 在极坐标系下,例2 将 (其中 为 围成) 化为极坐标下的累次积分.,在极坐标系下,解,在极坐标系下,解,在极坐标系下,解,在极坐标系下,解,和,在极坐标系下,解,例7,证,三、三重积分的概念,定义：,物理意义:若 ,则三重积分的值等于以 为分布密度的几何体 的质量.,二重积分与三重积分有类似的存在条件及性质.,四、三重积分的计算,1. 利用直角坐标计算三重积分,方法1 . 投影法 (“先z后xy”),方法2 平行截面法,先假设连续函数,并将它
4、看作某物体,通过计算该物体的质量引出下列各计算,的密度函数 ,方法:,当被积函数只含有一个变量用与此变量所在坐标轴垂直的平面截积分区域所的截面面积容易求出时，用平行截面法比较简单。,方法1. 投影法 (“先一后二” ),该物体的质量为,细长柱体微元的质量为,解,的范围:,方法2. 截面法 (“先二后一”),为底, d z 为高的柱形薄片质量为,该物体的质量为,例,解,解,原式,我们称此种方法为平行截面法。,当被积函数只含有一个变量用与此变量所在坐标轴垂直的平面截积分区域所的截面面积容易求出时，用平行截面法比较简单。,2. 利用柱坐标计算三重积分,就称为点M 的柱坐标.,直角坐标与柱面坐标的关系
5、:,坐标面分别为,圆柱面,半平面,平面,如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为,因此,其中,适用范围:,当积分区域由柱面、锥面、旋转抛物面与其它曲面围成且被积函数具有如下形式：,例（970105）,计算 其中 为平面曲线,解：,旋转曲面的方程为,绕 轴旋转一周形成的曲面与平,面 所围成的区域。,3. 利用球坐标计算三重积分,就称为点M 的球坐标.,直角坐标与球面坐标的关系,坐标面分别为,如图所示, 在球面坐标系中体积元素为,因此有,其中,适用范围:,当积分区域由球面与锥面，球面与平面围成且被积函数具有如下形式：,例 计算,其中,解,解,时用球坐标。,、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的,补充
6、：利用对称性化简三重积分计算,使用对称性时应注意：,、积分区域关于坐标面的对称性；,奇偶性,解,积分域关于三个坐标面都对称，,被积函数是 的奇函数,例8,解,利用球面坐标,五、重积分的应用, 二重积分,1: 二重积分的被积函数等于1时,二重积分的值等于积分区域的面积.所以我们可以利用二重积分求平面图形的面积.,2: 由二重积分的几何意义可知,二重积分可用来求体积. (当被积函数大于零时，二重积分是以被积函数为曲顶、以积分区域为底的曲顶柱体的体积),一、平面面积、体积、质量,3: 由二重积分的物理意义可知,二重积分可用来求平面薄片的质量.,解,由,得,从而投影曲线,解,由二重积分的物理意义可知,
7、设光滑曲面,设它在 D 上,则,(二)、 曲面的面积,的投影为 d ,若光滑曲面方程为,则有,若光滑曲面方程为,则有,解,上半球面,在 面上的投影,由,得,令,因此, 整个球面的面积为,占有空间有界域 的空间形体，体密度为 的空间形体的质量,(二)、 三重积分,占有空间有界域 的空间形体的体积为,占有空间有界域 的空间形体，体密度为 的空间形体的质量,*用三重积分计算*,(三)、物体的重心,若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片,则它的质心坐标为,其面密度, 对 x 轴的 静矩, 对 y 轴的 静矩,(四)、物体的转动惯量,如果物体是平面薄片,面密度为,则转动惯量的表达式是二重积分.,设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数,对 x 轴的转动惯量,对 y 轴的转动惯量,对 z 轴 的转动惯量:,测 验 题,测验题答案,