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1、7.4 线性变换在基下的矩阵,第七章 线性空间,下的像为,定义,设,是向量空间,中的线性变换，,在,中取定一个基,，若基,在线性变换,（7.6）,记,（7.6）式可表示为,其中,（7.7）,下的矩阵。,称,为线性变换,在基,下面介绍求线性变换在基下矩阵的方法：,（1）定义法。,的导数。,例,在,中取一个基,求线性变换,在此基下的矩阵,，其中,表示对,解,即,下的矩阵为,故,在基,下的坐标分别为,（2）坐标变换法。此法是利用结论：若,与,在基,则,下的矩阵。,其中,为线性变换,在基,（3）基变换法。此法是利用结论：设线性空间,中有两个基,，则,由基,到基,的过渡矩阵为,，,中的线性变换,在这两个
2、基下的矩阵,分别为,与,此结论证明如下：,可逆，及,按定理的假设，有,于是,证毕。,就是相似变换矩阵。,因为,线性无关，所以,，,说明 此定理表明,与,相似，且两个基,之间的过渡矩阵,下面讨论线性变换矩阵的一些性质。,，这个对应具有如下性质：,设,是,维线性空间,的一个基，,在这组基下，每个线性变换,均对应一个,阶矩阵,（1）线性变换的和对应矩阵的和；,（2）线性变换的乘积对应矩阵的乘积；,（3）线性变换和数的乘积对应于矩阵和数的乘积；,（4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆矩阵对应于逆变换。,下面仅证明性质（1）。,，即,证（1） 设,是,中的两个线性变换，,它们在基,下的矩阵是,则,，证毕。,由此可知在基,下，线性变换,的矩阵是,