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1、1,分形几何,分形的数学描述在计算机上生成分形结构的方法很多，目前使用数学系统来实现具有自相似性的分形结构的方法最成功的是迭代函数系统（Iterated Function System）。,2,分形几何,仿射变换仿射变换是一种实现几何变换的公式，平移、比例、旋转、对称和错切变换是二维仿射变换的特例，任何常用的二维仿射变换总可表示为这五种变换的组合。,3,分形几何,其数学表达为：一个二维仿射变换：R2 R2,a,b,c,d,e,f均为实数。 这是一种最广泛的线性变换。,4,分形几何,我们可以通过一系列的收缩仿射变换，使某图形具备自相似性，从而得到分形结构。,5,分形几何,科赫曲线给定线段AB，科
2、赫曲线可以由以下步骤生成： 将线段分成三等份（AC,CD,DB）； 以CD为底，向外（内外随意）画一个等边三角形DMC ； 将线段CD移去； 分别对AC,CM,MD,DB重复13。,6,分形几何,7,分形几何,8,分形几何,康托三分集合取一条长度为1的直线段E0，将它三等分，去掉中间一段，剩下两段记为E1，将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段记为E2，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集。,9,分形几何,10,分形几何,康托三分集中有无穷多个点，所有的点处于
3、非均匀分布状态。此点集具有自相似性，其局部与整体是相似的，所以是一个分形系统。,11,分形几何,Mandelbrot集合曼德博集合可以用复二次多项式来定义： fc(z)=z2+C; 其中 c 是一个复数参数。 从 z = 0 开始对 fc(z) 进行迭代：,12,分形几何,13,分形几何,上图是曼德布洛特集最常见的表现形式，它给我们提供了一种理解周围世界的粗糙程度的方式。这一以数学家贝努瓦曼德布洛特命名的理论观察到，不管是在物理、生物和经济等各种领域中的许多复杂现象，都可以“以严格而有力的定量形式逼近。”,14,分形几何,15,分形几何,16,分形几何,17,分形几何,18,分形几何,19,分
4、形几何,20,分形几何,Julia集合在复平面上，对于复数Z和C， 如果存在变换 Zn+1= Zn2+C，那么所有这些初始的复数Z所构成的集合称为Julia集，它随着C的变化而变化。,21,分形几何,经迭代后，最后的Z值有三种可能： 1、Z值没有界限增加（趋向无穷）； 2、Z值衰减（趋向于0）； 3、Z值是变化的，即非1或非2 Julia集的形状基本上分三种：象尘埃一样的结构、稳定的固态型或象树枝状。,22,分形几何,23,分形几何,分析的获取 1. 关于复数由于承认“负数也能开平方”将会带来很多幽雅和便利的结论，因此我们发明了虚数，用 i 来表示 -1 的平方根（即虚数单位），并把实数扩展为
5、复数（即一切形如 a + b i 的数）。,24,分形几何,正如实数可以用数轴上的点来表示一样，复数可以用平面直角坐标系上的点来表示。令 x 轴表示复数的实数部分，令 y 轴表示复数的虚数部分，则 a + b i 就对应了平面上的点 (a, b) 。我们把这个平面直角坐标系叫做“复平面”。,25,分形几何,复数与复数之间不但可以相加相减，还可以相乘相除。(a + b i) + (c + d i) 就等于 (a + c) + (b + d) i ，而 (a + b i) (c + d i) 则等于 (ac - bd) + (bc + ad) i 。需要注意的是，我们不能讨论一个复数乘以另一个复数
6、后是变大了还是变小了，因为复数根本没有大小之分。如果真的要比较它们的大小，我们可以比较它们的模。复数 a + b i 的模就是 a2 + b2 的平方根，也就是它到复平面原点的距离。,26,分形几何,我们用不同的颜色来表示不同大小的模，那么整个复平面大致如下图所示。,27,分形几何,如果我们用 |z| 来表示复数 z 的模，那么上图也就是函数 f(z) = |z| 的“等高线地图”。 复数的模有一个重要的性质：乘积的模等于模的乘积，即 |ab| = |a|b| 。 我们对复平面上的所有点都进行平方，画出 f(z) = |z2| 的等高线地图。,28,分形几何,f(z) = |z2|,29,分形
7、几何,可以看到，这一操作让模的变化更剧烈了，等高线变得更加密集了。外面浩瀚的蓝色空间，就对应着那些模已经相当大了的复数。,30,分形几何,如果对上图中的每个点再加上某个数，比如 0.3 ，那么整个图会怎样变化呢？ 对于模相同的复数来说，给实数部分加上 0.3 ，这对实数部分本来就较大的数影响会更大一些。因此，上图将会变得更扁，整个图形会在水平方向上拉伸。这也就是 f(z) = |z2 + 0.3| 的等高线地形图。见下图（为便于观察，对图像进行了旋转）。,31,分形几何,32,分形几何,接下来，我们再对所得的图形进行平方，继续加剧模的变化。,33,分形几何,然后，再给每个点的实数部分加上 0.
8、3 ，于是得到 f(z) = |(z2 + 0.3)2 + 0.3| 的图像。,34,分形几何,再加上 0.3,35,分形几何,再平方,36,分形几何,再加上0.3.这也就是函数 f(z) = |(z2 + 0.3)2 + 0.3)2 + 0.3)2 + 0.3| 的图像，它反映了对复平面上的各个复数“平方再加 0.3 ”迭代 4 次后模的大小情况。,37,分形几何,我们照这个思路（加0.2然后平方）迭代12次后，可得到右图图形。可以看见整个图形已经具有了分形图形的复杂程度（图形的“黑边”其实是密集的等高线）。,38,分形几何,上图中，大部分区域内的数都变得越来越大，直达无穷。而原点附近这个四
9、叶草形区域内的数，至少目前还不算太大。 这给出了上图的另外一种解读方法：随着迭代次数的增加，复平面上各个点的模的发散速度。,39,分形几何,有没有什么复数，随着迭代次数的增加，最终并不会趋于无穷呢？当然有。比如方程 z2 + 0.3 = z 的两个复数解，它是这个迭代下的不动点，每次迭代后都维持原来的值，自然不会趋于无穷。我们把所有这种迭代后不会趋于无穷的点所组成的集合就叫做 Julia 集，它是以法国数学家 Gaston Julia 命名的。,40,分形几何,z z2 + 0.3 的 Julia 集是由一些孤点组成的，我们无法把它画出来。上图中的四叶草形区域也只是那些发散比较慢的点，但再多迭
10、代几次，最终也会趋于无穷。,41,分形几何,是否存在适当的常数 c ，使得迭代 z z2 + c 的 Julia 集能够形成一块连通的区域呢？答案是肯定的。 右图是对复平面上的点执行 12 次 z z2 - 1 迭代后的结果，中间这些紫色和黄色的点已经稳定下来，不会发散了，它们构成了一块连通的 Julia 集.,42,分形几何,常数 c 还可以是复数。右图则是迭代过程 z z2 + (0.2 + 0.5 i) 迭代 12 次的结果，其中也有一些模非常小的点，它们不会发散，构成了连通的 Julia 集。,43,分形几何,在 Julia 集相关领域中，有一个非常漂亮而且非常重要的定理叫做 fund
11、amental dichotomy theorem ，它告诉我们，一个 Julia 集要么是完全连通的，任意两点间都有一条通路；要么是完全不连通的，整个图形全是一个个孤立的点。 随着常数 c 的变化，对应的 Julia 集也会连续地发生变化。我们比较关心的一个问题就是，哪些 c 值会让对应的 Julia 集形成一个连通的区域？,44,分形几何,在研究 Julia 集时，我们通常假设 c 的模总是小于 2 的。注意到，对任意一个满足 |z| 2 的复数 z ，都有 |z2| = |z|2 2|z| ，也就是说，对这样的 z 进行平方后，它的模至少都会变成原来的两倍。 即使常数 c 的方向和 z2
12、 的方向完全相反，也不足以把 z2 的模抵消到原来的水平。因此，在迭代运算过程中，一旦某一步结果的模大于 2 了，可以断定它必将发散到无穷。,45,分形几何,因此，我们有了 Julia 集合的另一个定义。 z z2 + c 对应的 Julia 集，就是无限迭代下去后模仍然不超过 2 的点。于是，我们立即有了 Julia 集的另一种生成方法。 我们可以从复平面上模不超过 2 的所有点，也就是以原点为中心半径为 2 的圆盘出发，看看哪些点的平方加 c 后会落在这个圆盘内，进而考察哪些点平方加 c 再平方加 c 后将会落在这个圆盘内，如此反向迭代，不断找出原象，反推出符合要求的点集。,46,分形几何
13、,我们在复平面上画出模为2的点的集合。,47,分形几何,我们把上图右移一个单位，得到所有加上 -1 后模小于 2 的点。,48,分形几何,我们再找出上图区域中的每个点的平方根（别忘了，每个数都有两个平方根，因此每个点都有两个原象），于是得到所有平方再加 -1 后模仍然小于 2 的点。,49,分形几何,由于开平方是一个连续函数，而每个点都有一正一负两个平方根，因此整个图像本该变为两个关于原点对称的连通区域。不过，这两个连通区域有所重合，它们将会并在一起成为一整块连通区域。为了看出这一点，只需要注意到，0 是一个非常特殊的数，它的原象只有一个，就是它本身。由于上图中的区域内包含零点，因此它的两组原
14、象也都包含原点，这就表明两个区域是有重合的。,50,分形几何,51,分形几何,按照迭代思路。把上图再次右移1个单位。,52,分形几何,再次开平方，求出平方根。,53,分形几何,再次右移。,54,分形几何,再次找平方根，由于零点始终没有跑出去，因此图像始终是一整块连通区域。,55,分形几何,继续进行“右移” “平方根”的步骤。,56,分形几何,可以看到，此时得到的点集已经非常接近之前给出的 z z2 - 1 的 Julia 集了。,57,分形几何,右图则是反推 12 次后的结果，它基本上可以看作是 z z2 - 1 的 Julia 集了。,58,分形几何,我们再来看一个无法构成连通区域的 Jul
15、ia 集的例子。取 c = - 1 - 0.9 i ，让我们来看看逆推的过程。还是先画出半径为 2 的圆盘。,59,分形几何,找出所有加上 - 1 - 0.9 i 后会落进该圆盘的点，实际上相当于把圆盘右移 1 个单位，再上移 0.9 个单位。,60,分形几何,再寻找上图中的点的平方根。,61,分形几何,然后迭代（平移求平方根）,62,分形几何,然后再次平移,63,分形几何,这里发生了一个非常值得注意的现象：原点现在跑到了灰色区域的外边。也就是说，这个点在若干次迭代之后不能落入那个半径为 2 的圆盘里，表明这个点的模最终将会发散。换句话说， 0 不属于 c = - 1 - 0.9 i 时的 J
16、ulia 集。,64,分形几何,我们可以证明，一个不包含原点的区域，开平方后必然会得到两块不连通的区域。 故对上图再次求方根后，得到两个关于原点对称的图像。,65,分形几何,而此后每经过一次“平移求方根”的迭代过程，就会多出一对联通的图像。,66,分形几何,如此跌打下去，连通块的数量将会越来越多，它们的总面积则会越来越小，最后就只剩下一些孤立的点了。 就如同我们最早所说的 z z2 + 0.3 的 Julia 集一样。,67,分形几何,z z2 + 0.3多次迭代的图像变化。,68,分形几何,从上图可以看出，直到第 12 次迭代，零点仍然还在候选区域中；到了第 13 次迭代，才把零点排除在 J
17、ulia 集之外。此后，图形很快便收缩为了一堆离散的点。,69,分形几何,也就是说，为了判断 z z2 + c 的 Julia 集是否连通，我们只需要测试一下，看对初始值 0 迭代无穷多次，所得的模是否会趋于无穷大。,70,分形几何,我们自然希望知道，能够使 Julia 集连通的常数值 c 在复平面上组成了一个什么样的图形。为此，我们只需要固定初始值为 0 ，把复平面上不同的点当作 c ，画出迭代过程中模的发散速度（和最开始制作 Julia 集一样，我们用不同的颜色来表示不同的发散速度）。,71,分形几何,72,分形几何,这本身竟然又是一个漂亮的分形图形！数学家 Benot B. Mandel
18、brot 是最早对其进行系统研究的人之一，因此我们就把所有不会让零点发散的复数 c 组成的集合叫做 Mandelbrot 集。,73,分形几何,整个 Mandelbrot 集可以包含于一个以原点为圆心，半径为 2 的圆里。这也就是我们在考虑 Julia 集时往往假设常数 c 的模小于 2 的原因。,74,分形几何,生成 Mandelbrot 集的算法和生成 Julia 集的算法完全一样，只是这一次我们固定的是初始值，而把 c 当作了变量。Mandelbrot 集内的每一个点就对应了一个连通的 Julia 集，Mandelbrot 集合外的点则对应了不连通的 Julia 集，并且很容易想到，越靠
19、近 Mandelbrot 集的边界，对应的 Julia 集形状就越诡异。因此， Mandelbrot 集还有另外一种解读方法：它就是 Julia 集的缩略图！,75,分形几何,Mandelbrot 集可以说是所有无穷多个 Julia 集的一个高度总结。究其原因，还是因为 Julia 集的零点太重要了。Julia 集的零点的迭代结果，很大程度上决定了 Julia 集的形状，就好像这个零点“知道” Julia 集是什么样子似的。而 Mandelbrot 集则把所有的零点信息都汇聚在了一起，自然高度归纳出了所有的 Julia 集。,76,分形几何,77,分形几何,Julia 集和 Mandelbrot 集的关系在迭代过程 z z2 + c 中，我们有四个参数： z 的初始值的实部、虚部，以及 c 的实部、虚部。 Julia 集就是给定 c 的实部、虚部后所得的结果，而 Mandelbrot 集则是限定 z 的初始值的实部和虚部均为 0 后的结果。,