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1、第三十一讲 含绝对值的不等式回归课本1.绝对值不等式的性质：(aR)(1)|a|0(当且仅当a0时取“”)；(2)|a|a；(3)|a|a|a|；(4)|a2|a|2a2；(5)|ab|a|b|，|.2两数和差的绝对值的性质：|a|b|ab|a|b|.特别注意此式，它是和差的绝对值与绝对值的和差性质应用此式求某些函数的最值时一定要注意等号成立的条件|ab|a|b|ab0；|ab|a|b|ab0；|a|b|ab|(ab)b0；|a|b|ab|(ab)b0.3解含绝对值不等式的思路：化去绝对值符号，转化为不含绝对值的不等式解法如下：(1)|f(x)|a(a0)af(x)a；(2)|f(x)|a(a
2、0)f(x)a或f(x)a；(3)|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)；(4)|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)；(5)|f(x)|g(x)|f(x)2g(x)2.(6)含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|xa|xb|m或|xa|xb|m(m为正常数)的不等式，利用实数绝对值的几何意义求解较简便考点陪练1.设ab0，下面四个不等式中，正确的是( )|ab|a|；|ab|b|；|ab|a|b|.A和 B和C和 D和解析：ab0，a，b同号，|ab|a|b|，和正确答案：C2如果x是实数，那么使|x|2成立的必要且不充分条件是( )A|x1|1
3、 B|x1|2C|x1|3 D|x1|1解析：|x|22x2.又|x1|12x0；|x1|23x1；|x1|34x2；|x1|10x2，|x|2|x1|3.答案：C3(天津八校联考)如果a、b是满足ab0的实数，则下面结论一定不正确的是( )A|ab|ab|B|ab|ab|C|ab|a|b|D|ab|0时，则A正确，B错，C错，D正确当ab0时，则A错，B正确，C错，D错一定不正确的为C.答案：C4不等式1|x1|3的解集为( )A(0,2)B(2,0)(2,4)C(4,0)D(4，2)(0,2)解析：1|x1|31x13或3x110x2或4x2.不等式的解集为(4，2)(0,2)答案：D5不
4、等式|x22x1|2的解集是_解析：|x22x1|2x22x12或x22x12，由x22x12得(x1)20，故x1；由x22x12得x3或x1.综上知，原不等式解集为x|x3或x1或x1答案：x|x3或x1或x1类型一绝对值不等式的性质应用解题准备：|a|b|ab|a|b|，当ab0时，|ab|a|b|，当ab0时，|ab|a|b|.【典例1】(1)设xy|xy| B|xy|x|y|C|xy|xy| D|xy|x|y|(2)已知|a|b|，m，n，则m，n之间的大小关系是_解析(1)解法一：特殊值法取x1，y2，则满足xy20，这样有|xy|12|1，|xy|1(2)|3，|x|y|123，
5、|x|y|12|1，只有选项C成立，而A、B、D都不成立解法二：由xy0得x，y异号，易知|xy|x|y|，选项C成立，A、B、D均不成立(2)因为|a|b|ab|，所以1，即m1，又因为|ab|a|b|，所以1，即n1，所以m1n.点评绝对值不等式性质的重要作用在于放缩，放缩的思路主要有两种：分子不变，分母变小，则分数值变大；分子变大，分母不变，则分数值也变大注意放缩后等号是否还能成立 类型二 含绝对值不等式的解法解题准备：若不等式中有多个绝对值符号，一般可用数形结合和区间讨论两种方法1数形结合是根据绝对值的几何意义在数轴上直接找出满足不等式的数，写出解集，或构造函数，画出图象，由图象直接写
6、出未知数的取值范围，得出解集；2分区间讨论是先求出绝对值内因式的根，这些根把实数集分成若干个区间，在每个区间上解不等式，最后求出并集，即为原不等式的解集(2)解法一：|x1|x3|，两边平方得(x1)2(x3)2，8x8，x1.原不等式的解集为x|x1解法二：分段讨论当x1时，有x1x3，此时x；当1x3，此时13时，有x1x3成立，x3.原不等式解集为x|13x|x1 类型三 含绝对值不等式的证明解题准备：把含有绝对值的不等式等价转化为不含有绝对值的不等式，再利用比较法、综合法及分析法等进行证明，其中去掉绝对值符号的常用方法是平方法证法二：当ab时，原不等式显然成立，当ab时，|ab|，原不等式成立快速解题技法 求证：快解：由题中两端形式联想到函数f(x)1(x0)，不等式的左端f(|a|b|)，右端f(|ab|)f(x)在(1，)上单调递增，由|a|b|ab|0知原不等式成立