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1、零极点对系统性能的影响 零极点对系统的性能影响分析论文摘 要 . . 1 1 设计任务 . . 2 2 原开环传递函数G0（s ）的性能分析 . 2 3 增加零点后的开环传递函数G1（s ）的性能分析 . 5 3.1绘制系统的根轨迹和奈奎斯特曲线 . 6 3.2 增加不同零点时的阶跃响应分析 . 7 3.3 增加零点对系统性能的影响分析 . 17 4 增加极点时对系统的影响分析 . . 18 4.1开环传递函数为G2（s ）时系统的根轨迹和奈奎斯特曲线 . 18 4.2增加不同极点时系统的伯德图 . 20 4.3增加极点对系统性能的影响分析 . 29 5 开环函数的零极点对系统性能的影响 .
2、. 30 6 心得体会 . . 31 参考文献 . . 32本次课程设计主要是分析零极点对系统性能的影响。首先从根轨迹、奈奎斯特曲线、伯德图和阶跃响应四方面分析原开环传递函数时的系统性能，然后在原开环传递函数基础上增加一个零点，并且让零点的位置不断变化，分析增加零点之后系统的性能，同时与原系统进行分析比较，发现增加的零点与虚轴的距离决定了对系统影响的大小；再在原开环传递函数基础上增加一个极点，并且令极点位置不断变化，分析增加极点后系统的性能，同时与原系统进行分析比较，同样发现增加的极点与虚轴的距离决定了对系统的影响大小。关键词：零极点 开环传递函数 系统性能 MATLAB 谐振 带宽零极点对系
3、统性能的影响分析1 设计任务（1）当开环传递函数为G 1（s ）时，绘制系统的根轨迹和奈奎斯特曲线；（2）当开环传递函数为G 1（s ）时，a 分别取0.01，0.1，1，10，100时，用Matlab 计算系统阶跃响应的超调量和系统频率响应的谐振峰值，并分析两者的关系； （3）画出(2)中各a 值的波特图；（4）当开环传递函数为G 2（s ）时，绘制系统的根轨迹和奈奎斯特曲线；（5）当开环传递函数为G 2（s ）时，p 分别取0.01，0.1，1，10，100时，绘制不同p 值时的波特图；（6）对比增加极点后系统带宽和原二阶系统的带宽，分析增加极点对系统带宽的影响； （7）用Matlab 画
4、出上述每种情况的在单位反馈时对单位阶跃输入的响应；2 原开环传递函数G0（s ）的性能分析原开环传递函数的表达式：G 0(s)=（1）G 0（s ）的根轨迹绘制根轨迹的MATLAB 命令： n=1; d=1,1,1; rlocus(n,d) 运行得到如下图1所示。1s +s +12图1 G0（s ）的根轨迹由根轨迹分析系统稳态性能：根轨迹是在左半平面的两条对称直线，系统是稳定的。 （2）G 0（s ）的奈奎斯特曲线 绘制奈氏图的MATLAB 命令：G=tf(1,conv(1,1,1,1); nyquist(G) 运行得到如下图2所示。图2 G0（s ）的奈奎斯特曲线由奈氏图分析系统的稳态性能：
5、系统有0个开环极点在S 右半平面，当w 从负无穷变化到正无穷时，奈氏曲线包围（-1，j0）0圈，即P=0，N=0，因此Z=P+N=0，系统没有极点在S 右半平面在故系统是稳定的，与上面根轨迹的分析一致，只是分析方法不同。 （3）G 0（s ）的阶跃响应曲线 原二阶系统闭环传递函数：(s ) =12s +s +2单位阶跃响应的MATLAB 命令： num=1den=1,1,2 step(num,den) grid on xlabel(t) ylabel(c(t)系统响应曲线如图3所示。图3 G0（s ）的阶跃响应曲线由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：响应曲线是震荡衰减的，最大峰值为0.652，稳态
6、值为0.5， 上升时间tr=1.47s超调时间tp=2.35s 调节时间ts=7.78s, 超调量p %=0.652-0.50.5=2100%=30.4%（4）G 0（s ）的伯德图 绘制伯德图的MATLAB 命令：G=tf(1,conv(1,1,1,1); bode(G)运行得到如下图4所示。图4 G0（s ）的伯德曲线由伯德图分析系统的相对稳定性：谐振峰值M r =1.23 ，谐振频率F r =0.6883 增加零点后的开环传递函数G1（s ）的性能分析为了分析开环传递函数的零点对系统性能的影响，现在在原开环传递函数的表达式上单独增加一个零点S=-a,并改变a 值大小，即离虚轴的距离，分析
7、比较系统性能的变化。 增加零点S=-a后系统开环传递函数表达式：G 1(s)=(sp)+1(s2+s +1)的根轨迹为广义轨迹，系统闭环特征方s程为(p ) +1(s +s +1) +1=0，恒等变换为32(s +s p+s )s +s +22+1=0P可以看出，如果绘制一个开环传递函数G (s ) =是原系统的根轨迹。(s +s +s ) s +s +2232的系统根轨迹，实际上就取p=1时，绘制G 2（s ）根轨迹的MATLAB 命令：n=1,1,1,0 ;d=1,1,2 ; rlocus(n,d) ; 键入Enter 键，可得图17。图17 p=1时G 2（s ）的阶跃响应曲线取p=1时
8、，绘制奈奎斯特曲的MATLAB 命令： G=tf(1,1,1,0,1,1,2)； nyquist(G)运行得到如下图18所示。图18 p=1时G 2（s ）的根轨迹4.2增加不同极点时系统的伯德图（1）P=0.01时，系统闭环传递函数为：2(s ) =单位阶跃响应的MATLAB 命令：num=1;den=100,101,101,2; step(num,den); grid on xlabel(t ); ylabel(c(t)32100s +101s +101s +2得到如下图19所示。图19 p=0.01时G 2（s ）的阶跃响应曲线由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：响应曲线是单调上升的，最大值
9、为0.499，稳态值为0.5， 上升时间tr=109s 调节时间ts=195s , 超调量p % =0=2绘制伯德图的MATLAB 命令：G=tf(1,conv(100,1,1,1,1); bode(G)得到如下图20所示。图20 p=0.01时G 2（s ）的伯德图带宽频率Wb=0.01，截止频率Wc=0，相位裕度r=-180度，幅值裕度Kg=101.0104。 （2）p=0.1时，系统闭环传递函数：2(s ) =单位阶跃响应的MATLAB 命令： num=1;den=10,11,11,2; step(num,den); grid on xlabel(t ); ylabel(c(t) 得到如
10、下图21所示。3210s +11s +11s +2图21 p=0.1时G 2（s ）的阶跃响应曲线由阶跃响应曲线分析系统暂态性能： 响应曲线是单调上升的，稳态值为0.499 上升时间tr=9.54s 调节时间ts=18.5s , 超调量p % =0绘制伯德图的MATLAB 命令： G=tf(1,conv(10,1,1,1,1); bode(G)得到如下图22所示。=2图22 p=0.1时G 2（s ）的伯德图由曲线可得，带宽频率Wb=0.102，截止频率Wc=0， 相位裕度r=-180度，幅值裕度Kg=1.0490。 (3)p=1时，系统闭环传递函数:2(s ) =单位阶跃响应的MATLAB
11、命令：num=1; den=1,2,2,2; step(num,den); grid on xlabel(t ); ylabel(c(t)32s +2s +2s +2得到如下图23所示。图23 p=1时G 2（s ）的阶跃响应曲线由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：响应曲线是衰减震荡的，峰值为0.7，稳态值为0.5， 上升时间tr=1.34s超调时间tp=3.59s 调节时间ts=15.5s , 超调量p % =0. 7-0. 50. 5=2100%=40%绘制伯德图的MATLAB 命令： G=tf(1,conv(1,1,1,1,1); bode(G)得到如下图24所示。图24 p=1时G 2（s
12、 ）的伯德图由曲线可得,带宽频率Wb=0.995，截止频率Wc=0.0087， 相位裕度r=-179.0009度，幅值裕度Kg=3.0000。 (4)p=10时，系统闭环传递函数:2(s ) =单位阶跃响应的MATLAB 命令： num=1;den=0.1,1.1,1.1,2; step(num,den); grid on xlabel(t ); ylabel(c(t)得到如下图25所示。10.1s +1.1s +1.1s +232图25 p=10时G 2（s ）的阶跃响应曲线由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：响应曲线是衰减震荡的，峰值为0.673，稳态值为0.5， 上升时间tr=0.972s
13、超调时间tp=2.41s 调节时间ts=8.04s , 超调量p % =0. 673-0. 50. 5=2100%=34. 6%绘制伯德图的MATLAB 命令：G=tf(1,conv(0.1,1,1,1,1); bode(G)得到如下图26所示。图26 p=10时G 2（s ）的伯德图由曲线可得，带宽频率W b =1.27， 截止频率W c =0.9947 相位裕度r=84.9272度 ，幅值裕度Kg=11.1000 （5）p=100时，系统闭环传递函数：2(s ) =单位阶跃响应的MATLAB 命令： num=1;den=0.01,1.01,1.01,2; step(num,den); gr
14、id on xlabel(t ); ylabel(c(t) 得到如下图27.0.01s +1.01s +1.01s +232图27 p=100时G 2（s ）的阶跃响应曲线由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：响应曲线是衰减震荡的，峰值为0.673，稳态值为0.5， 上升时间tr=0.999s超调时间tp=2.36s 调节时间ts=7.77s , 超调量p % =0. 654-0. 50. 5=2100%=30. 8%绘制伯德图的MATLAB 命令：G=tf(1,conv(0.01,1,1,1,1)； bode(G) 得到如下图28.图28 p=100时开环传递函数G 2（s ）的伯德图由曲线可得，
15、带宽频率W b =1.27， 截止频率W c =0.9999 相位裕度r=89.4331度 ，幅值裕度Kg=101.02934.3增加极点对系统性能的影响分析当在原开环传递函数上增加一个零点s=p，p 分别取0.01,0.1,1,10,100时，运用MATLAB 绘制各自阶跃响应曲线和伯德图，分别得到如下系统性能参数，如表2所示：表2由表2可以得到如下结论：（1）当p 增大时，系统的带宽频率Wb 不断增大，由p=0.01时，Wb=0.01增加到，p=100时，Wb=1.27。即当极点离虚轴很近(p=0.01)时，系统的带宽频率很小，与原系统相差很大，当极点远离虚轴（p=100）时，带宽频率与原
16、系统相同。（2）当p 取很小时，阶跃响应曲线呈单调上升，超调量为零，当p 值增大时，阶跃曲线呈震荡衰减，超调量先增大后减小，最后趋近于原二阶系统的值。所以当p 远大于阻尼系数时，可以忽略增加极点对原二阶系统的影响。（3）增加极点会使系统截止频率减小，随着极点离虚轴距离的增加，截止频率不断靠近原系统的截止频率。因此，增加的极点离虚轴越近，对系统暂态性能影响越大，增加的极点离虚轴越远，对系统的影响越小。故，若附加的极点离虚轴很远，可忽略它对系统的影响，按原二阶系统处理。5 开环函数的零极点对系统性能的影响增加开环函数的零点对系统的性能有影响，同时，所增加的零点的位置，即与虚轴的距离远近决定了对系统
17、性能的影响程度。当零点离虚轴的距离增大时，谐振峰值Mr 不断减小，谐振频率Fr 不断减小，超调量也相应减小。同时，增加零点，系统的截止频率会增加，随着零点离虚轴的距离增大，截止频率不断向原系统靠近。因此，零点离虚轴越近，对系统暂态性能影响越大，零点离虚轴越远，对系统的影响越小。故，若增加的零点远离虚轴，可忽略它对系统的影响，按原二阶系统处理。增加开环函数的极点对系统的性能也有影响。当极点离虚轴距离增加时，超调量先增大后减小；增加极点会使系统截止频率减小，随着极点离虚轴距离的增加，截止频率不断靠近原系统的截止频率；增加极点，系统的带宽频率降低，带宽减小，当极点远离虚轴时，带宽频率慢慢接近原系统的
18、带宽频率，带宽接近原系统。因此，极点离虚轴越近，对系统暂态性能影响越大，极点离虚轴越远，对系统的影响越小。故，若增加的极点远离虚轴，可忽略它对系统的影响，按原二阶系统处理。由此可得，增加开环函数的零极点，会影响系统的性能，增加的零极点距离虚轴越近，影响越大，距离虚轴越远，影响越小，远到一定程度时，可以忽略对系统的影响。6 心得体会通过一个多星期的自动控制课程设计，我收获了很多宝贵知识和经验，相信这次的课设也会给我今后的深入学习带来很大影响，不断提高我对知识的渴望与自学能力。首先，课设几乎所有题目要用到一款功能非常强大的软件，即Matlab 。在之前已经接触到了这款强大的软件，这是这次又要将之运
19、用于自动控制中来，不仅感叹MATLAB 真的是非常实用，包括了高等数学、线性代数、复变函数、概率统计、运筹学以及微分差分方程等数学各个领域的知识点，拥有强大的数学功能！至今，Matlab 软件的应用已经渗透到社会各个领域，比如我们的电类专业，这次自动控制课设中涉及的根轨迹，阶跃响应曲线，奈奎斯特曲线，伯德图等知识都可以利用它来解决，其中我所选的题目，需要利用Matlab 编程，绘图，通过图形来分析系统的暂态性能和稳态性能。其次，在真正解决问题的时候需要具备各种预备知识，在我这道题里面，首先清楚系统有哪些暂态性能指标，如上升时间，超调时间，调节时间，超调量，有哪些稳态性能指标，如稳定性，稳态误差
20、终值；然后要清楚一些概念，阶跃响应曲线是通过系统的闭环传递函数绘制的，而根轨迹，奈氏图，伯德图都是通过开环传递函数绘制的，即通过开环特性研究闭环性能等等。这些知识都需要在平时上课的时候就掌握的概念，因此课设是对我们基本功的考察。最后，课设最终目的是为了学习知识，利用知识，以达到我们熟练的目的。另外还考察了我们要到困难时的应对能力，是否懂得从结果中发现问题，分析问题并解决问题，相信这是一种很重要的能力，我们学习专业知识不能只停留于理论，重点在于实践，否则就会成为所谓的书呆子，而社会需要的是人才，拥有能力的人才。经过这次课设我感触良多，也希望以后会有更多这样的学习锻炼机会，不断提高自己发现问题，分析问题，解决问题的能力，以达到提升自己的目的，是自己所学知识真正有用武之地，发挥它的价值！参考文献1 胡寿松, 自动控制原理(第四版). 北京：科学出版社，20012王万良, 自动控制原理. 高等教育出版社，x3 何联毅，陈晓东. 自动控制原理同步辅导及习题全解. 北京：中国矿业大学出版社，x4 谢克明，自动控制原理. 北京：电子工业出版社，x5 冯巧林，自动控制原理. 北京：北京航空航天大学出版社，x6 刘叔军，MATLAB7.0控制系统应用与实例. 北京：机械工业出版社，x