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1、第三章 统计案例 3.1 回归分析的基本思想及其 初步应用,比数学3中“回归”增加的内容,数学统计 画散点图 了解最小二乘法的思想 求回归直线方程 ybxa 用回归直线方程解决应用问题,选修2-3统计案例 引入线性回归模型 ybxae 了解模型中随机误差项e产生的原因 了解残差图的作用 了解相关指数 R2 和模型拟合的效果之间的关系 利用线性回归模型解决一类非线性回归问题 正确理解分析方法与结果,回归分析的内容：,数学3中，已对具有相关关系的变量利用回归分析的方法进行了研究，其步骤为画散点图，求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报。,回归分析对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用的方
2、法，也就是通过一个变量或一些变量的变化解释另一变量的变化。,最小二乘法：,称为样本点的中心。回归直线过样本点中心,例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。,求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。,案例1：女大学生的身高与体重,解：1、选取身高为自变量x，体重为 因变量y，作散点图：,2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。,分析：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量，体重为因变量,2.回归方程：,1. 散点图；,探究： 身高为172cm的女大
3、学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？,答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg，但一般可以认为她的体重接近于60.316kg。,即，用这个回归方程不能给出每个身高为172cm的女大学生的体重的预测值，只能给出她们平均体重的值。,例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。,求根据一名女大学生的身高预报 她的体重的回归方程，并预报一 名身高为172cm的女大学生的体重。,案例1：女大学生的身高与体重,解：1、选取身高为自变量x，体重 为因变量y，作散点图：,2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性
4、回归方程刻画它们之间的关系。,3、从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。,函数模型与回归模型之间的差别,函数模型：,线性回归模型：,当随机误差恒等于0时， 线性回归模型就变为函数模型,函数模型与回归模型之间的差别,函数模型：,回归模型：,线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e，因变量y的值由自变量x和 随机误差项e共同确定，即自变量x只能解析部分y的变化。,在统计中，我们也把自变量x称为解析变量，因变量y称为预报变量。,我们可以用下面的线性回归模型来表示： y=bx+a+e， (3) 其中a和b为模型的未知参数，e
5、称为随机误差。,另一方面，由于公式(1)和(2)中 和 为截距和斜率的估计值，它们与真实值a和b之间也存在误差，这种误差是引起预报值与真实值y之间误差的另一个原因。,思考: 产生随机误差项e的原因是什么？,随机误差e的来源(可以推广到一般）： 1、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差； 2、忽略了其它因素的影响：影响身高 y 的因素不只是体重 x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素； 3、身高 y 的观测误差。 以上三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合效果越好。,探究: e 是 用预报真实值Y的随机误差，它是一个不可观测的量，那么怎样研究随机误差呢？,回归模型：,其估计值为,而言
6、，它们的随机误差,对于样本点,表3-2列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。,在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关， 是否可以用回归模型来拟合数据。,残差分析与残差图的定义：,然后，我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始 数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。,我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本 编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。,残差图的制作及作用。 坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择； 若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；
7、对于远离横轴的点，要特别注意。,身高与体重残差图,几点说明： 第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。 另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。,显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。,在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报变量变化的贡献率。,R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解析变量和预报变量的
8、 线性相关性越强）。,如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值 来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。,总的来说： 相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。 在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。,从表3-1中可以看出，解析变量对总效应约贡献了64%，即R2 0.64，可以叙述为 “身高解析了64%的体重变化”，而随机误差贡献了剩余的36%。 所以，身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。,这些问题也使用于其他问题。,涉及到统计的一些思想： 模型适用的总体； 模型的时间性； 样本的取值范围对模型的影响； 模型预报结果的正确理解。,小结,一
9、般地，建立回归模型的基本步骤为：,（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。,（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系 （如是否存在线性关系等）。,（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）.,（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。,（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。,什么是回归分析？ （内容）,从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式 对这些关系式的可信程度进行各种统计
10、检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著 利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度,回归分析与相关分析的区别,相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化 相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量；回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由回
11、归方程进行预测和控制,相关系数,1.计算公式 2相关系数的性质 (1)|r|1 (2)|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小 问题：达到怎样程度，x、y线性相关呢？它们的相关程度怎样呢？,负相关,正相关,相关系数,正相关；负相关通常， r-1,-0.75-负相关很强; r0.75,1正相关很强; r-0.75,-0.3-负相关一般; r0.3, 0.75正相关一般; r-0.25, 0.25-相关性较弱;,例2：一只红铃虫的产卵数y与温度x有关,现收集了7组观测数据,试建立y与x之间的回归方程,解:1)作散点图;,从散点图中可以看出产卵数和温度之间的关系并不能用线性回归
12、模型来很好地近似。这些散点更像是集中在一条指数曲线或二次曲线的附近。,解: 令 则z=bx+a,(a=lnc1,b=c2),列出变换后数据表并画 出x与z 的散点图,x和z之间的关系可以用线性回归模型来拟合,2) 用 y=c3x2+c4 模型,令 ,则y=c3t+c4 ,列出变换后数据表并画出t与y 的散点图,散点并不集中在一条直线的附近，因此用线性回归模型拟合他们的效果不是最好的。,非线性回归方程,二次回归方程,残差公式,在此处可以引导学生体会应用统计方法解决实际问题需要注意的问题：对于同样的数据，有不同的统计方法进行分析，我们要用最有效的方法分析数据。,现在有三个不同的回归模型可供选择来拟合红铃虫的产卵数与温度数据，他们分别是：,可以利用直观（散点图和残差图）、相关指数来确定哪一个模型的拟合效果更好。,含有两个未知参数模型,