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1、利息理论 知识回顾 什么是利息什么是利息 影响利息的因素影响利息的因素 支付利息的方式支付利息的方式 计算利息的方法计算利息的方法 定义定义2.1（积累函数）表示时刻0时的1单位 货币到时刻 t时的积累值。 具有如下几点性质： （1）； （2）通常是增函数。 ( )ta ( )10 =a ( )ta 接下来考察一下不同支付方式和计息方法 下的利息和利息率。 定义定义2. 2（金额函数）表示时刻0时的初始 投资到时刻 时的积累值。 若初始投资为（即），则 ( )tA ( )CA=0 C ( )( )tCatA= t ( )( )()1=tAtAtI 利息可以定义为：利息可以定义为： 支付利息的方
2、式支付利息的方式 1.期末支付 设在期初投入1单位货币资本，则在期 末可收回资本，即这一时期的利息率， 简称利率。以表示时刻上的有效 利率，则 i+1 i ( )ti tt1 ( ) ( )() ()1 1 = ta tata ti ( ) ( )() ()1 1 = tA tAtA ti 2.期初支付 它是在投入资本之初就获得利息。设在 期初投入1单位货币资本，以表示该方式 下获得的预付利息率（即“贴现率”），则投 资者期初实际投入的资本为，到期末 时，该投资者可收回资本1。以表示时刻 上的有效贴现率，则 d d1 ( )td tt1 ( ) ( )() ( )ta tata td 1 =
3、( ) ( )() ( )tA tAtA td 1 = 计算利息的方法 1.单利法 设第一年年初的本金为，第 年的有 效率为，则第一年年末的资本额为 ，则第年年末的资本额为 ( )0A t ( )ti ( )( )()110iA+ n ( )( )( )( )( )niiiAnA+=L2110 ( )( ) ( )kiAkI0= ( )( )( ) ( )( )( )niiiAAnA+=L2100 ( )( )()niAnA+=10 ( )( )iAkI0= ( )( )( )( )niAAnA00 = 若各年有效利率相同，则若各年有效利率相同，则 2.复利法 设第一年年初的本金为，第 年的有
4、 效率为，则第一年年末的资本额为 ，则第年年末的资本额为 ( )0A t ( )ti ( )( )()110iA+ n ( )( )( )( )( )niiiAnA+=121110L ( )( )() ( )( )( )()( )kikiiiA kAkAkI 1121110 1 += = L ( )( )( )( )( )( )11211100+=niiiAAnAL ( )( )()niAnA+=10 ( )( )()iiAkI k 1 10 += ( )( )( )()1100+= n iAAnA 3.单利与复利的比较单利与复利的比较 A.设年有效利率不变，虽然单利与复利对 单个度量时期会产
5、生同样的结果，但对较 长时期，复利比单利产生较大的积累值， 而对较短时期来说，情况正好相反。 ()ti+1 ()it+1 t1 1 考虑函数 有 又 ( )()()ititg t +=11 ( )( )010= gg ( )()()iiitg t +=1ln1 ( )()() 2 1ln1iitg t += 所以是一个凸函数。 ( )tg 故， 当时， 当时， 即， 当时， 当时， 当时， 1t( )0tg 10 t ( )0tg 10 t()tii t +t ()tii t +11 B. 常数单利并不意味着有效利率也为常数。 ( ) ( )() () ()in i na nana ni 11
6、 1 1 + = = ( ) ( )() () ()() () i i ii na nana ni n nn = + + = = 1 1 1 11 1 1 C.在单位有效利率不变的情况下，单利在 同样长的时期的增长的绝对金额为常数， 而复利则是增长的相对比率保持为常数。 ()( )()sitiisttasta=+=+11 ()( ) ( ) ()() () ()11 1 11 += + + = + + t t tst i i ii ta tasta 2.2 对利息的度量对利息的度量有效利率、名义有效利率、名义 利率利率 定义定义2.3 若计算利息的期间与基本的时间单位一 致，则资本在该段时间内
7、获得利息的能力就是有 效利率，又称实际利率。 2.2.1有效利率有效利率 2.2.2名义利率名义利率 定义定义2.4 设利息在每 （）长的时间内支付 一次（或说计算一次），称为时刻时的每 单位时间内的名义利率，如果在时刻时每时 间段内的有效利率为。 h0h ( )tiht h t ( )thih ( ) hh iti= 很多时候i不依赖于t 考虑考虑 p h 1 =（ p 为正整数）的情况，为正整数）的情况， 此 时在 基本 的时 间单 位内 计息此 时在 基本 的时 间单 位内 计息 p 次 ，次 ，记记 ( ) p ii p 1 =，即单位时间内的名义利率为，即单位时间内的名义利率为 (
8、)p i， 每每 p 1 时间内的有效利率为时间内的有效利率为 ( ) p i p 。 2.2.3 等价的名义利率和有效利率的转化等价的名义利率和有效利率的转化 如果对给定的投资金额，名义利率和有效利如果对给定的投资金额，名义利率和有效利 率在同样长的时间内产生相同的积累值。则称这率在同样长的时间内产生相同的积累值。则称这 样的名义利率和实际利率等价。样的名义利率和实际利率等价。 设单位时间（一般为一年）内支付设单位时间（一般为一年）内支付 p 次次 利息，每单位时间内的名义利率为利息，每单位时间内的名义利率为 ( )p i，有效，有效 利率为利率为i，则二者之间的关系为，则二者之间的关系为:
9、 在单位时间的期初投入在单位时间的期初投入 1 单位货币，则单位货币，则 在单位时间的期末资本额用有效利率表示为在单位时间的期末资本额用有效利率表示为 i+1，用名义利率表示则为，用名义利率表示则为 ( ) p p p i +1 ( ) p p p i i +=+11 ( ) ()11 1 += p ipi p 推论推论2.1 证明：考虑函数（） ()( )pp iix 求的一阶导：( )xf ( )()111 = x e x e exf x x x ()11 ye y () () = 00 00 y y 所以，即是一个减函数。 ( )0 x f( )xf 令即得结论 px = ( )= xf
10、 x lim ( ) = p x i lim 例例 设年名义利率为5%，求年有效利率及 1000元的本金在1年后的复利积累值，设利 息：（1）一天转换一次（2）一个月转换一 次（3）一个季度转换一次（4）一年转换一 次（一年按365天计算） 05127. 01 365 05. 0 1 365 = +=i ( )()27.1051110001=+=iA 解 （1） 2.3贴现率和利息率贴现率和利息率 令 d 为 实 际 的 年 贴 现 率 ， 某 人 若 投 资 了 金 额 C ， 将 立 刻 被 记 入 dC 的 利 息 ， 而 投 资 额 C 则 将 在 年 末 回 收 ， 该 投 资 者
11、将 利 息 dC 按 同 样 的 条 件 投 资 ， 又 将 获 得 附 加 的 利 息()CddCd 2 =， 并 在 此 年 末 回 收 追 加 的 投 资 额 继 续 投 资 所 得 的 利 息 又 将 产 生 新 的 附 加 利 息()CdCdd 32 =， 如 此 以 往 ， 重 复 上 述 过 程 直 至 无 穷 。 d C CddCC =+ 1 2 L i d += 1 1 1 d d i = 1 i i d + = 1 同利率类似，贴现率也有名义贴现率 和实际(或称有效)贴现率之分 设 ( )p d为每 年计息p次的名义预付利率， 即： 每 p 1 时 间内的有效贴现率为 (
12、) p d p 令d 为年有效贴现率则一个度量时期末 的单位资本在当期期初的现值为 ( ) p p p d 1， 用 有效贴现率表示为d1，于是 ( ) () p dpd p 1 11= ( ) p p p d d =11 ( ) p p p d d =11 推论推论2.2 ( )()1+ pp dd ( )= xg x lim ( ) = p x d lim ( )( ) = p x p x di limlim ( )( )pp ipd 111 += 2.4 利息力利息力 定义定义2.5 称 t ( )( )tit h h lim 0+ = 为时刻 时每单位时间的利息力 ( )( ) ()(
13、 ) ( )tha tahta tit h h h + = = + + lim lim 0 0 ( ) ( ) ( )ta ta t = ( ) ( ) ( )tA tA t = ( ) ( )( )tAtAt= ( ) ( )( )( )( )0dt 00 AnAtAdtAt nn = 定理定理2.1 证明 ( ) ( ) = t dss eta 0 ( ) dt tadln = ( )( )taddttln= ( ) ( ) ( )ta ta t = ( ) h e i th t dss h 1 = + ( )( ) ( ) = t dss eAtA 0 0 2.5积累因子和贴现因子积累因
14、子和贴现因子 称为积累因子。即原始投资1到时刻t 时的值为. 时刻t时的资本值为1，可知在时刻0时需投资 才能保证在时刻t时资本额为1我们称 为贴现因子，以记之. ( ) t dss e 0 ( ) t dss e 0 ( ) t dss e 0 ( ) t dss e 0 ( )tv ( )( ) ( )tvtAA=0 例例2.5 设利息力函数如下所示，求贴现因子 的表达式及第6年末的1000元在第一年 初时的值 ( )tv ( ) () () () = t t t tv 1007 . 0 10508 . 0 5009 . 0 解解 由已知条件和 ( ) ( ) = t dss etv 0
15、( ) ( ) () ( )( ) () ( )( )( ) () = = 0)时间内的连续现金流量 在时刻 0 时的现值为 ( )( ) ( ) = T dtttvPV 0 0 若现金流量由连续投入部分和不连续 投入部分组成，则该现金流量在时刻 0 时 的现值为 ( )( ) ( )( ) = += n j jj T tvCdtttvPV 1 0 0 间断的现金流量在时刻 t 时的终值为 ( ) ( )tv tvC n j jj =1 连续的现金流量在时刻 t 时的终值为 ( ) ( ) ( )tv dtttv T 0 一般的现金流量在时刻t 时的终值为 ( ) ( )( ) ( )tv t
16、vCdtttv n j jj T = + 1 0 当利息力为常数时， 对现值和终值的计算 就简单多了，此时， ( ) ()t t i vtv + = 1 1 时刻 t 时的累积因子为()ti+1 例例 2.7 考虑例 2.5 中的( )tv求从时刻 0 开始的资 本投入率为1的连续支付15年的现金流量在时刻0 时的现值 ( )( ) ( ) 4572 . 8 111 0 5 0 07 . 0 015. 0 10 5 08 . 0 05 . 0 5 0 09 . 0 15 0 = += = dtedtedte dtttvPV ttt 例例2.8 设某公司在1996年1月1日投资1000元， 在1997年1月1日投资2500元，在1997年7月1日 投资3000元年利息力为常数0.06求这些投入 在1994年1月1日和1995年3月1日时的价值 ( ) tt eetv 06 . 0 = ( )( )( )() 85.5406 300025001000 5 . 3300032500210000 21 . 0 18 . 0 12 . 0 = += += eee vvvPV 89.579885.5406 12 14 85.5046 12 14 06. 0 = e v 解解