对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的分析与预测.docx

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1、2012年北京师范大学珠海分校数学建模竞赛题目：对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的分析与预测摘要本文研究的是对自数学建模竞赛开展以来各高校建模水平的评价比较和预测问题。我们将针对题目要求，建立适当的评价模型和预测模型，主要解决对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的评价、排序和预测问题。首先我们用层次分析法来评价广东赛区各校2008年至2011年及全国各大高校1994至2011年数学建模成绩，从而给出广东赛区各校及全国各大高校建模成绩的科学、合理的评价及排序；其次运用灰色预测模型解决广东赛区各院校2012年建模成绩的预测。针对问题一，首先我们对比了2008到2011年参加建模比赛的学校，通过分析我们

2、选择了四年都参加了比赛的学校进行合理的排序（具体分析过程见表13），同时对本科甲组和专科乙组我们分别进行排序比较。在具体解决问题的过程中，我们先分析得出影响评价结果的主要因素：获奖情况和获奖比例，其中获奖情况主要考虑国家一等奖、国家二等奖、省一等奖、省二等奖、省三等奖，我们采用层次分析法，并依据判断尺度构造出各个层次的判断矩阵，对它们逐个做出一致性检验，在一致性符合要求的情况下，通过公式与matlab求得各大学的权重，总结得分并进行排序（结果见表11）；在对广东赛区各高校2012建模成绩预测问题中，我们采用灰色预测模型，我们以华南农业大学为例，得到该校2012年建模比赛获奖情况为：省一等奖、省

3、二等奖、省三等奖及成功参赛奖分别为5、9、8、8(其它各高校预测结果见表10）。针对问题二，我们对全国各院校的自建模竞赛活动开展以来建模成绩排序采用与问题一相同的数学模型，在获奖情况考虑的是全国一等奖、全国二等奖。运用matlab求解，结果见表12。针对问题三，我们通过对一、二问排序的解答及数据的分析，得出在对院校进评价和预测时还应考虑到各院的师资力量、学校受重视程度、学生情况、参赛经验等因素，考虑到这些因素，为以后评价高校建模水平提供更可靠的依据。关键词：层次分析法 权向量 灰色预测模型 模型检验 matlab一 问题重述数学建模竞赛培养了利用数学知识和计算机技术解决实际问题的能力，激发和训

4、练学生们的创新意识和动手。为了使我国各大高校在2012年的建模竞赛中总体成绩得到进一步提升、获得更好的成绩，有必要对以往的数学建模工作进行总结及对未来的发展进行预测。为此我们需要完成以下任务： 1、利用附件1中的数据，我们建立适当的评价模型，给出了广东赛区各校建模成绩的科学、合理的排序；并对广东赛区各院校2012年建模成绩进行了较为科学的预测； 2、利用附件2中的数据，我们给出了全国各院校的自数学建模竞赛活动开展以来建模成绩的科学、合理的排序；3、我们给出了今后我们在进行科学、合理的评价及预测之时，除全国竞赛成绩、赛区成绩外，还需要考虑的一些因素。二 问题分析关于问题一，要对广东省各大高校数学

5、建模成绩进行评价和排序，我们首先需要明确的是影响各校水平的因素及其影响程度的大小，通过分析我们得出影响各校水平的主要因素有：获奖数量（国家一、二等奖，省级一、二、三等奖的数量）、获奖比例两个方面，对于获奖比例我们通过成功参赛奖的比例来估计。获奖数量与获奖比例对一所学校成绩优异与否关系密切，同时他们在评价标准中所占的比重也有相对的重要性，但当获奖率的具体值比较小，即便是赋予权重也很难体现获奖比例这个评价指标。所以我们把评判指标分为国家一等奖、国家二等奖、省一等奖、省二等奖、省三等奖和没有获奖（成功参赛奖）这六个指标，所以我们可以用层次分析法模型来做评价模型，我们可以通过构造判断矩阵来确定其各因素

6、对整体影响的权重，进而根据已知数据进行加权求和，最终给出一种合理的排序。三 问题假设（1）假设对各高校数学建模成绩评价的影响因素只有给出的两种；（2）假设个评价指标之间互不影响；（3）假设能报到全国的在省内为省一等奖；（4）假设数学建模比赛中，获奖等级以外因素对学校建模评价构成的影响小，可以不考虑；四 符号说明A： 高校数学建模水平；B1： 获奖情况；B2： 获奖比例；C1： 国家一等奖；C2： 国家二等奖；C3： 省一等奖；C4： 省二等奖；C5： 省三等奖；C6： 未获奖；CI： 一致性指标；RI： 同阶的随机一致性指标；CR： 一致性比率；max：A的最大特征根；W： max对应的正规划

7、特征向量；： 第i层对第1层的权向量；： 是以第k层对第k1层的权向量为列向量组成的矩阵；五 评价模型的建立5.1 建立层次结构模型高校数学建模成绩水平A获奖情况B1获奖比例B2国家一等奖C1国家二等奖C2省一等奖C3未获奖C6省二等奖C4省三等奖C5图5-1层次结构图5.2 构造判断矩阵判断矩阵的定义： 设某层有n个因素，X =，要比较它们对上一层某一准则（或目标） 的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把n个因素对上层某一目标的影响程度排序）上述比较时两两因素之间进行比较，比较时取1 9尺度。用表示第i个因素相对于第j个因素的比较结果，则 ，称为判断矩阵。5.2.2 判断矩

8、阵的元素尺度标准 判断尺度的标准及含义见下表表1判断尺度尺度的含义1表示两个因素相比，具有相同重要性3表示两个因素相比，前者比后者稍重要5表示两个因素相比，前者比后者明显重要7表示两个因素相比，前者比后者强烈重要9表示两个因素相比，前者比后者极端重要2,4,6,8表示上述相邻判断的中间值1,1/2,1/9若因素i与因素j的重要性之比为，那么因素j与因素i重要性之比为=1/5.3 计算层次单排序及其一致性检验5.3.1 层次单排序定义 所谓单排序是指本层各因素对上层某一因素的重要性次序。它由判断矩阵的特征向量表示。例如，判断矩阵A的特征问题AW=maxW的解向量W，经规一化后即为同一层次相应因素

9、对于上一层某因素相对重要性的排序权值，这一过程就称为层次单排序。 式中，max为A的最大特征根；W为max对应的正规划特征向量；W的分量即是相应因素单排序的权值。 为保证层次单排序的可信性，需要对判断矩阵一致性进行检验，亦即要计算随机一致性比率。5.3.2 计算一致性指标：CI （1）显然当判断矩阵具有完全一致性时，CI=0，max-n越大，CI越大，矩阵的一致性就越差。为了检验判断矩阵是否具有一致性，需要将CI与平均一致性指标RI进行比较。5.3.3 查找相应的平均随机一致性指标：RI 对于n=1,2,3，9的RI的值，如下表所示：表2 随机一致性指标RI值n1 2 3 4 5 6 7 8

10、9 10 11 RI0 0 0.58 0.9 1.12 1.42 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51R的值是这样得到的，用随机方法构造 500 个样本矩阵：随机地从 19 及其倒数中抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征根的平均值得到的。5.3.4 计算一致性比例：CR , （2） 为了检验判断矩阵是否具有满意的一致性，需要CI与平均随机一致性指标RI进行比较。当CR 0.10时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。5.4 计算层次总排序权值及一致性检验5.4.1 层次总排序定义 确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程称为层次总排序。若共有s层

11、，则第k层对第1层的组合权向量满足： ， （3）其中是以第k层对第k1层的权向量为列向量组成的矩阵。于是最下层（第s层）对最上层的组合权向量为： . (4)5.4.2 一致性检验 在层次分析法的整个过程中，除了对每一个判断矩阵进行一致性检验外，还要进行所谓的组合一致性检验。组合一致性检验可以逐层进行。假设第层有个因素第P层的一致性指标为第P层的随机一致性指标为定义 （5） （6）为第P-1层对第一层的排序权向量则第层的组合一致性比率为： （7）第层用过组合一致性检验的条件为0.1.六 评价模型求解6.1 构造判断矩阵： 根据各因素对高校成绩水平的影响，评价学校成绩水平指标的两个因素的重要程度，

12、根据5-1确定各影响因素间的判断程度，构造指标的判断矩阵，然后利用公式（1）计算CI并进行一致性检验，利用matlab的相关计算最大特征值以及其对应的特征向量，然后在对特征向量归一化得到相应的权向量，以下为相应的结果：表3 B对A的判断矩阵AB1B2B111/30.25B21/310.75CI=0 影响学校成绩水平的两个主要因素，同时又受其内部各因素的影响。其中，影响或将队伍总数量的因素：国家一等奖、国家二等奖、省一等奖、省二等奖、省三等奖分别的数量；影响获奖比例的因素：没获奖的队伍数量。各指标的重要程度也采取上述方法构造判断矩阵见下表：表4 C对B1的判断矩阵B1C1C2C3C4C5C113

13、5790.5128C21/313570.2615C31/51/31350.1290C41/71/51/3130.0634C51/91/71/61/310.0333CI=0.0530表5 C对B2的判断矩阵B2C6C6-1-0.25CI=0从以上表中计算可以得出判断矩阵均通过一致性检验，即以上所得的因素的权重值是可信的。根据公式（5），（6），可以计算出CR=0.950.800.700.50不合格=0.65 八 预测模型的求解8.1 以华南农业大学为例预测表7 华南农业大学获奖情况统计计量 （单位：个）年份2008200920102011省一等奖个数7455省二等奖个数57310省三等奖个数10

14、527未获奖个数7328参赛队伍29191230 数据来自附件1：2008年-2011年广东赛区成绩（1） 累加生成（以一等奖的预测为例）对数列累加生成（2） 求解、（3） 运用matlab工具算得=-0.1033，=3.2546可用于短期预测，符合我们需要预测2012年广东省个各高校数学建模获奖情况的需要。（4） 建立灰色预测模型 把、带入时间响应方程，由于，故时间响应方程为 （5）计算拟合值，再用后减运算还原计算得模型计算值，见下表第一列。 表8 预测值与实际值得对比 模型计算值实际值残差相对误差4-0.018710.46775%50.6252812.50556%50.237734.754

15、5%（6）模型检验与预测 ， C=0.059010.35，可见预测精度为“好”。 小误差概率，即预测精度为“好”。 由此可知预测方程 可用进行外推预测：依次令n=3、4,代入时间响应方程得到 ， 因此，2012处该校一等奖预测为： =-=6（5） 信息递推 表9 华南农业大学2012年获奖情况预测 单位：个年份2012省一等奖个数6省二等奖个数9省三等奖个数8未获奖个数8参赛队伍40分析表10可知，在今年，华南农业大学有可能派40队参加省赛，获得省一等奖5队，获得省二等奖9队，获得省三等奖8队，其余8支队伍为成功参赛。8.2 全部预测结果 下面列举对广东省所有高校运用如上模型进行预测的预测结果

16、：表10 广东赛区各院校2012年建模成绩初步预测表 单位：个学校省一省二省三成功参赛奖北京师范大学珠海分校11313电子科技大学中山学院22410东莞理工学院2024东莞理工学院城市学院0108佛山科学技术学院1533广东白云学院02412广东工业大学23410广东技术师范学院1114广东金融学院11886广东商学院5451广东外语外贸大学0135广东药学院2228广州大学3434广州大学松田学院1123广州中医药大学0139韩山师范学院1343华南理工大学08918华南农业大学36988华南师范大学48414惠州学院1675暨南大学5435暨南大学珠海学院6842嘉应学院0161南方医科大

17、学3345汕头大学11313韶关学院1354深圳大学10321五邑大学0245湛江师范学院22212肇庆学院1354中山大学261320仲恺农业工程学院2333广东海洋大学12213 九 科学合理评价和预测还需要考虑的因素 （1）师资力量数学建模培训课程的老师的水平；教师授课方式、资历、能被学生理解的程度； （2）学校受重视程度是否开设有数学建模专业课程，专业选课情况、非专业选课情况；课程是否配有相关教材；学校是否有定期开设数学建模的大、小型比赛； （3）学生情况本科院校与专科院校的比例工科院校、理科院校、文科院校、综合类院校的差别； （4）参赛经历累计获奖对学生积极性的培养程度；历年的参赛经

18、验。十 模型评价10.1 评价模型优点(1) 系统性：该模型把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行评价。 (2) 实用性：把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广。 (3) 简洁性：一般非专业人士看后即可以了解层次分析法的基本原理并掌握该法的基本步骤，计算也非常简便，并且所得结果简单明确。 (4) 运用Matlab软件求解最大特征值和权向量并且对矩阵进行一致性判定，大大的提高了评价效率。10.2 评价模型的缺点 (1) 该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙的，不适用于精度较高的问题。 (2) 在层次分析法使用的过程中

19、，无论建立结构层次还是构造判断矩阵。人的主观判断、选择、偏好对结果的影响极大，这就使得评价结果难以让所有的决策者接受。10.3预测模型的优点 (1) 适用性：灰色预测模型适用于少量数据的预测分析，特别针对短期预测给出了强力有效的预测手段。 (2) 准确性：灰色预测模型较Malthus拟合、Logistic拟合、Leslie矩阵方法及多项式拟合来讲，对本体的分析更为准确，考虑的因素更充足。预测模型的缺点 10.4预测模型的缺点 (1) 对处理大量的数据这一情况，该模型显得十分繁琐。 (2) 同评价模型类似的，该模型也受主观因素影响较大，相比其他方法虽更加降低了预测误差，但还是不可避免主观因素给结

20、果带来的误差。 十一 参考文献【1】李吉明，祁新娥，统计学院里M，复旦大学出版社，2007年1月第四版【2】李鸿吉，模糊数学基础及其算法M北京：科学出版社，2005年【3】王鹏飞，模糊数学综合评判在推荐三好学生中的应用J，2005年4月附录表11 广东省各大高校08-11年数学建模成绩排名表 参赛学校2008加权2009加权2010加权2011加权得分暨南大学珠海学院1.5945-0.08470.7549暨南大学珠海学院-0.16771.59450.16660.5311广东工业大学华立学院-0.5375-0.375-0.3750.4291广东科学技术职业学院0.32090.3209广东商学院-

21、0.47440.17850.24630.15080.0253肇庆科技职业技术学院-0.34170.35360.00595韶关学院-0.32750.6339-0.3943-0.7666-0.21363揭阳职业技术学院-0.1147-0.3433-0.229广东机电职业技术学院-0.2541-0.3417-0.2979广东交通职业技术学院-0.1152-0.5381-0.32665广东金融学院-0.99470.1703-0.3347-0.1805-0.3349华南农业大学-0.92430.49340.1417-1.122-0.3528肇庆学院-0.22210.1744-0.5375-0.84-0.

22、3563广州科技贸易职业学院-0.3667-0.3667茂名职业技术学院-0.375-0.375华南师范大学增城学院-0.375-0.375广东大学华软软件大学-0.375-0.53-0.4525广东工程职业技术学院-0.3584-0.5542-0.4563北京理工大学珠海学院-0.0593-0.8725-0.4659北师-香港浸会大学联合国际学院0.3667-0.4343-1.4342-0.5006仲恺农业工程学院-1.28-0.1913-0.2309-0.3025-0.50118广州大学松田学院-0.5375-0.92920.1365-0.7175-0.51193河源职业技术学院-0.92

23、16-0.1069-0.51425深圳信息职业技术学院-0.4341-0.5994-0.51675广东水利电力职业技术学院-0.7258-0.3186-0.5222罗定职业技术学院-0.3342-0.7258-0.53东莞理工学院-1.0925-0.19790.0167-0.8647-0.5346广州大学-0.8808-0.67-0.1158-0.5004-0.54175汕尾职业技术学院-0.3667-0.7417-0.5542广州铁路职业技术学院-0.5542-0.5542广东商学院华山学院-0.5542-0.5542吉林大学珠海校区-0.5625-0.75-0.3508-0.55443华农

24、珠江学院-0.5625-0.5625广东外语外贸大学-0.3667-0.7017-0.5542-0.9125-0.63378暨南大学-0.7682-0.7844-0.2201-0.7792-0.63798广东技术师范学院-1.1167-0.6291-0.1717-0.9292-0.71168华南农业大学珠江学院-0.7258-0.7258中山大学南方学院-0.5458-0.3667-1.4833-0.7986惠州学院-0.4819-0.9336-0.4824-1.2977-0.7989广东药学院-0.2619-0.9321-0.35-1.7705-0.82863广东农工商职业技术学院-0.92

25、92-0.7333-0.83125广东建设职业技术学院-0.9292-0.7417-0.83545东莞理工学院城市学院-0.7258-0.7314-0.375-1.6717-0.87598广州中医药大学-0.2606-1.0766-0.3584-2.0542-0.93745广州民航职业技术学院-0.9216-0.9562-0.9389南方医科大学-1.4267-1.1499-0.1308-1.1102-0.9544嘉应学院-1.0844-1.85-0.1709-0.8392-0.98613广东工贸职业技术学院-0.905-1.1-1.0025佛山科学技术学院-1.5916-2.0134-0.1

26、625-0.9404-1.17698广东第二师范学院-1.2792-1.2792韩山师范学院-2.0459-2.0217-0.3592-0.8002-1.30675北京师范大学珠海分校-1.3042-1.0595-1.0438-2.1769-1.3961华南理工大学-2.048-0.1435-0.4101-3.0107-1.40308广东白云学院-0.7417-1.8583-0.3183-2.7634-1.42043电子科技大学中山学院-1.5024-2.0309-0.5383-1.9481-1.50493五邑大学-1.8919-2.6008-0.5225-1.0519-1.51678广东海洋

27、大学-0.4833-2.0793-0.7341-2.78-1.51918中山大学新华学院-1.6708-1.6708湛江师范学院-1.0844-2.7149-0.375-2.6596-1.70848茂名学院-1.5193-1.9725-1.7459广东石油化工学院-0.7341-3.0505-1.8923深圳大学-1.7293-1.4758-1.3125-3.3011-1.95468汕头大学-2.1688-2.5842-0.9133-2.3803-2.01165广东工业大学-3.4653-2.6999-0.4729-1.8766-2.12868深圳职业技术学院-1.8462-2.72-2.28

28、31华南师范大学-1.1115-0.2039-0.8728-6.9603-2.28713中山大学-2.5774-2.5777-1.4592-4.4787-2.77325表12 全国各大高校数学建模成绩排名表学校国家一等奖国家二等奖 得分国防科技大学5116479.25浙江大学5011666.5解放军信息工程大学4510459.75武汉大学449857.5南京大学3910655.75大连理工大学3510853.25北京邮电大学3310851.75吉林大学2114251.25东南大学3011250.5云南大学2512449.75重庆大学2810848哈尔滨工业大学2910447.75解放军理工大学

29、368247.5上海交通大学2910046.75中南大学289645山东大学337643.75清华大学269443电子科技大学347043北京大学298041.75四川大学375441.25西北工业大学346241西南交通大学239039.75华南理工大学228638厦门大学218837.75南昌大学247436.5中山大学207634杭州电子科技大学217233.75南京邮电大学294633.25复旦大学236232.75重庆邮电大学187231.5西安交通大学186630华南农业大学176428.75华南师范大学166628.5西南财经大学195427.75中国矿业大学195427.75东

30、北大学107225.5北京航空航天大学136225.25北京师范大学155224.25华中农业大学125422.5南开大学125222北京理工大学115421.75华中科技大学153820.75武汉理工大学124219.5南京理工大学104218中央财经大学123618北京化工大学84417东北电力学院62811.5中央民族大学7189.75苏州大学4187.5广州大学1185.25 表13 这四年参加建模比赛的学校比较2008年2009年2010年2011年2008到2011仲恺农业工程学院仲恺农业工程学院仲恺农业工程学院仲恺农业工程学院仲恺农业工程学院中山大学中山大学南方学院中山大学新华学

31、院中山大学新华学院中山大学肇庆学院中山大学中山大学南方学院中山大学南方学院肇庆学院湛江师范学院肇庆学院中山大学中山大学湛江师范学院五邑大学湛江师范学院肇庆学院肇庆学院五邑大学深圳大学五邑大学湛江师范学院湛江师范学院深圳大学韶关学院深圳大学五邑大学五邑大学韶关学院汕头大学韶关学院深圳大学深圳大学汕头大学南方医科大学汕头大学韶关学院韶关学院南方医科大学茂名学院南方医科大学汕头大学汕头大学嘉应学院嘉应学院茂名学院南方医科大学南方医科大学暨南大学珠海学院暨南大学珠海学院嘉应学院嘉应学院嘉应学院暨南大学暨南大学暨南大学珠海学院暨南大学珠海校区暨南大学珠海校区惠州学院惠州学院暨南大学暨南大学暨南大学华南师

32、范大学华南师范大学吉林大学珠海校区吉林大学珠海学院吉林大学珠海校区华南农业大学华南农业大学惠州学院惠州学院惠州学院华南理工大学华南理工大学华南师范大学增城学院华南师范大学华南师范大学韩山师范学院韩山师范学院华南师范大学华南农业大学珠江学院华南农业大学珠江学院广州中医药大学广州中医药大学华南农业大学华南农业大学华南农业大学广州大学松田学院广州大学松田学院华南理工大学华南理工大学华南理工大学广州大学广州大学韩山师范学院韩山师范学院韩山师范学院广东药学院广东药学院广州中医药大学广州中医药大学广州中医药大学广东外语外贸大学广东外语外贸大学广州大学松田学院广州大学松田学院广州大学松田学院广东商学院广东商

33、学院广州大学广州大学华软软件学院广州大学华软软件学院广东金融学院广东金融学院广东药学院广州大学广州大学广东海洋大学广东技术师范学院广东外语外贸大学广东药学院广东药学院广东工业大学华立学院广东海洋大学广东商学院广东外语外贸大学广东外语外贸大学广东工业大学广东工业大学华立学院广东金融学院广东石油化工学院广东石油化工学院广东白云学院广东工业大学广东技术师范学院广东商学院广东商学院华商学院佛山科学技术学院广东白云学院广东海洋大学广东金融学院广东商学院东莞理工学院城市学院佛山科学技术学院广东工业大学华立学院广东技术师范学院广东金融学院东莞理工学院东莞理工学院城市学院广东工业大学广东海洋大学广东技术师范学院电子科技大学中山学院东莞理工学院广东白云学院广东工业大学华立学院广东海洋大学北京师范大学珠海分校电子科技大学中山学院佛山科学技术学院广东工业大学广东工业大学华立学院北京师范大学珠海分校东莞理工学院城市学院广东白云学院广东工业大学东莞理工学院佛山科学技术学院广东第二师范学院电