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1、线性变换复习1、线性变换线性变换是研究线性空间和矩阵的重要几何工具，我们可以借助线性变换来探讨空间的元素之间关系，可以利用线性变换和矩阵关系来研究矩阵的结构。这就是线性变换的意义。所谓线性变换是指数域上线性空间（不一定有限维）上的变换，它满足：1）上2） 其中。如果假设为的基，则有矩阵使得：这个矩阵称为在此基下矩阵。如果，则有：上线性变换的全体组成一个线性空间，由此线性变换和矩阵关系可以描述为：l 线性变换的和对应矩阵的和l 线性变换的的乘积对应矩阵的乘积l 线性变换和数的乘积对应矩阵的和数的乘积l 如果线性变换可逆，则对应的矩阵可逆，而且可逆变换对应可逆矩阵因为这样的关系，我们可以利用线性变
2、换的方法去解决矩阵的问题-这就是矩阵的几何化方法，同样线性变换的问题有时候可以通过矩阵来解决，这就是线性变换数值化方法。关于线性变换的有关结论可以总结如下：l 有限维线性空间上线性变换可逆的充分必要条件是其为单射，充分必要条件是其为满射，充分必要条件是其对应的矩阵可逆，充分必要条件是其核为零子空间，充分必要条件是其值域为线性空间自己。l 有限维线性空间上线性变换在不同基下矩阵相似，矩阵相似关系是一个等价关系。l 有限维线性空间上线性变换的值域的维数和核的维数之和等于线性空间维数，但要注意：有限维线性空间上线性变换的值域与核的和不等于线性空间自己。l 线性变换的特征子空间和是直和。2、对角化问题
3、在线性变换这一章中一个重要的问题是矩阵对角化问题，即什么矩阵可以与对角矩阵相似。我们有：l 数域上阶矩阵在数域上与对角矩阵相似的充分必要条件是：在数域上有个线性无关的特征向量；充分必要条件是在数域上的每个特征值的代数重数（即特征值重数）等于其几何重数（即特征子空间的维数），而且所有在数域上特征值的代数重数之和等于；充分必要条件是其存在在数域上化零多项式其在在数域上可以分解为互素的一次式乘积。l 如果数域上阶矩阵在数域上存在个不同的特征值，则其可以对角化（但相反结论不成立）；l 相似矩阵具有相同的特征多项式，最小多项式（但相反结论不成立）。三、特征值、特征向量、值域、核的计算。设为线性变换，为的
4、基，有关量的计算如下l 特征值、特征向量计算：1） 求在的下矩阵；2） 计算的特征值，即计算的特征多项式的根。3） 如果为的根，则求线性方程组的非零解（计算出的基础解系，则基础解系的线性组合即为的解），这些非零解为对应于特征值的特征向量。4） 如果为的非零解，则为对应于的特征向量。l 核的计算：的核是。因此求核，即计算的解。此方程的基础解系对应的元素为核的基。l 值域的计算：的值域是 。因此求值域，即求的列向量组极大无关组，此无关组对应的中元素即为值域的基。是非题1）。设是有限维线性空间上线性变换，则有。2）。设是有限维线性空间上线性变换，则有，则是0变换或者是可逆变换。3）。设是有限维线性空
5、间上线性变换，则有。4）。设是有限维线性空间上线性变换，则两个不同特征值下的两个特征向量线性无关。5）。设是维线性空间上线性变换，则在某组基下矩阵为对角矩阵的充分必要条件是其有个不同特征值。6）。设是有限维线性空间上线性变换，其最小多项式无重根，则在某组基下矩阵为对角矩阵。7）。数域上两个阶矩阵相似充分必要条件是其特征多项式相同。8）。数域上两个阶矩阵相似充分必要条件是其最小多项式相同。9）。如果数域上阶矩阵最小多项式为，则其可以对角化。10）。如果为数域上两个阶矩阵，则和的迹相同。11）。数域上阶矩阵可逆的充分必要条件是其没有零特征值。12）。维线性空间上线性变换可逆充分必要条件是其为单射，
6、充分必要条件是其为满射。13）。设是线性空间上线性变换，则两个不同特征值下的两个特征向量之和可以为的特征向量。14）。设是维线性空间上线性变换，如果为其在某组基下矩阵，则。20设 是维线性空间的一组基,已知线性变换A在这组基下的矩阵为, 求A的核及值域。解： 已知(A,A,A,A)=,其中：.设Ker(A),则：.解此齐次线性方程组,得它的一个基础解系.于是A的核为：Ker(A)从上面的推导可知,的秩为2,的前两列构成列向量组的一个极大无关组,所以rank(A,A,A,A)=2,且A,A构成A,A,A,A的一个极大无关组.因此,A的值域为：A()=(A,A,A,A)=(A,A),其中：A,A2
7、3设是复数域，在定义线性变换其中是的次项系数（如果的次数小于或者为0，则）。1） 求在基下的矩阵；2） 是否可逆，如果是求其逆变换在上述基下矩阵；如果不是说出理由；3） 是否存在中一组基使得在其下矩阵为对角矩阵，为什么？解：我们有， 1）所以所求矩阵为2）可逆，因为可逆，其逆变换的矩阵为。3）因为，所以，则在上有个互不相同根，所以可以对角化，即存在一组基使得在其下矩阵为对角矩阵。25设为欧氏空间，是的线性子空间，定义如下：有，则。求证：1) 是上线性变换；2) 是上对称变换，且。证明：1）任意，其中，所以和。这样是上线性变换。1） 任意其中，此时：所以2） 任意，其中，所以：即，所以是上对称变
8、换。32设，取定，对于任意，设。求证：1）是上线性变换；2）当时候，可逆的充分必要条件是。解：1）因为所以是上线性变换。2）当时，有，则，因此可逆的充分必要条件是只由零解，充分必要条件是可逆。33设，是二维向量空间的一组基，。是上的一个线性变换，且，。（1）写出线性变换在基之下的矩阵。（2）求出线性变换的逆变换。（3）求出线性变换的特征值和特征向量。（4）求出线性变换的全部不变子空间。37设为实数域，是上线性变换，而且在基下的矩阵是，证明：1）如果，则是的不变子空间；2）不能表示为任意的不变子空间和的直和。证明：1）任意有，而且，所以是的不变子空间。2）：如果，则，当和是的不变子空间时候有，则有，这样有，矛盾。11设为维线性空间上非零线性变换，而且，： 1：）如果，则； 2：）若，求证：存在使为的一组基，并求在这组基下的矩阵。证明：1）设为的子空间，则为子空间的充要条件为或者。因为为非零线性变换，所以，由此，而且。2）：因为，所以存在，使，由此可以证明：线性无关，又为维线性空间，所以此为的基，在此组基下矩阵为：7设为数域上维线性空间，设为上线性变换，为的值域，为的核。 （1）：求证：； （2）：求证：充分必要条件为：。并举出这样的线性变换。注：表示空间的维数。解：（1）：因为由，所以有：则（2）：由（1）知道充分必要条件为：，所以有。例如：，为的基，定义，则满足要求。