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1、1,图论及其应用,2,本次课主要内容,最小生成树,(一)、克鲁斯克尔算法,(二)、管梅谷的破圈法,(三)、Prim算法,(四)、计算机中的树简介,3,最小连接问题：,交通网络中，常常关注能把所有站点连接起来的生成树，使得该生成树各边权值之和为最小。例如：,假设要在某地建造5个工厂，拟修筑道路连接这5处。经勘探，其道路可按下图的无向边铺设。现在每条边的长度已经测出并标记在图的对应边上，如果我们要求铺设的道路总长度最短，这样既能节省费用 ，又能缩短工期 ，如何铺设？,4,不难发现：最小代价的连接方式为：,最小连接问题的一般提法为：,在连通边赋权图G中求一棵总权值最小的生成树。该生成树称为最小生成树
2、或最小代价树。,(一)、克鲁斯克尔算法,5,克鲁斯克尔(Kruskal):1928年生，一家3弟兄都是数学家，1954年在普林斯顿大学获博士学位，导师是Erds,他大部分研究工作是数学和语言学，主要在贝尔实验室工作。1956年发表包含克鲁斯克尔算法论文，使他名声大振。,1、算法思想,从G中的最小边开始，进行避圈式扩张。,2、算法,(1)、选择边e1,使得其权值最小；,(2)、若已经选定边e1, e2, ek, 则从E- e1, e2, ek 中选择边ek+1,使得：,(a)、Ge1, e2, ek+1为无圈图,(b)、ek+1的权值w(ek+1)尽可能小。,6,(3)、当(2)不能进行时，停止
3、。,例1 用克鲁斯克尔算法求下图的最小生成树。,7,解：过程如下：,8,2、算法证明,定理1 由克鲁斯克尔算法得到的任何生成树一定是最小生成树。,证明：设G是一个n阶连通赋权图，用T*=Ge1,e2,en-1表示由克鲁斯克尔算法得到的一棵生成树，我们证明：它是最小生成树。,9,设T是G的一棵最小生成树。若T*T,由克鲁斯克尔算法容易知道：TT*。,于是令f (T)= k 表示T*中的边ei不在T中的最小i值。即可令T=Ge1,e2,ek-1, ek,en,考虑：Tek ,则由树的性质，它必然为G中圈。,作 T1= T ek- e ,容易知道：T1还为G的一棵生成树。,设e是圈T ek中在T中，
4、但不在T*中的边。,由克鲁斯克尔算法知道：,所以：,这说明T1是最小树，但这与f(T)的选取假设矛盾！所以：T = T*.,10,例2 在一个边赋权G中，下面算法是否可以产生有最小权值的生成路？为什么？,算法: (1) 选一条边e1,使得w(e1)尽可能小；,(2) 若边e1,e2,ei已经选定，则用下述方法从Ee1,.,ei中选取边ei+1：,(a) G e1,e2,ei ,ei+1为不相交路之并；,(b) w(ei+1)是满足(a)的尽可能小的权。,(3)当 (2)不能继续执行时停止。,解：该方法不能得到一条最小生成路。,11,例如，在下图G中我们用算法求生成路：,用算法求出的生成路为：,
5、12,直接在图中选出的一条生成路为：,后者的权值小于前者。,(二)、管梅谷的破圈法,在克鲁斯克尔算法基础上，我国著名数学家管梅谷教授于1975年提出了最小生成树的破圈法。,13,管梅谷（）。我国著名数学家，曾任山东师范大学校长。中国运筹学会第一、二届常务理事，第六届全国政协委员。从事运筹学及其应用的研究，对最短投递路线问题的研究取得成果 ，冠名为中国邮路问题，该问题被列入经典图论教材 和著作。,管梅谷教授1957年至1990年在山东师范大学工作。1984 年至1990年担任山东师范大学校长，1990年至1995年任复旦 大学运筹学系主任。1995年至今任澳大利亚皇家墨尔本理工 大学交通研究中心
6、高级研究员，国际项目办公室高级顾问及 复旦大学管理学院兼职教授。,自1986年以来，管教授致力于城市交通规划的研究，在 我国最早引进加拿大的交通规划EMME软件，取得一系列重 要研究成果 。,14,破圈法求最小生成树的求解过程是：从赋权图G的任意圈开始，去掉该圈中权值最大的一条边，称为破圈。不断破圈，直到G中没有圈为止，最后剩下的G的子图为G的最小生成树。,证明可以参看数学的认识与实践4，(1975),38-41。,例3 用破圈法求下图G的最小生成树。,15,解： 过程如下：,16,(三)、Prim算法,Prim算法是由Prim在1957年提出的一个著名算法。作者因此而出名。,Prim(192
7、1-) 1949年在普林斯顿大学获博士学位，是Sandia公司副总裁。,Prim算法：,对于连通赋权图G的任意一个顶点u，选择与点u关联的且权值最小的边作为最小生成树的第一条边e1;,在接下来的边e2,e3,en-1 ,在于一条已经选取的边只有一个公共端点的的所有边中，选取权值最小的边。,用反证法可以证明该算法。即证明：由Prim算法得到的生成树是最小生成树。(证明略),17,例4 用Prim算法求下图的最小生成树。,解：过程如下：,18,最小生成树权值为：w (T) =10.,例5 连通图G的树图是指这样的图，它的顶点是G的生成树T1,T2,T, Ti与Tj相连，当且仅当它们恰有n-2条公共
8、边。证明任何连通图的树图是连通图。,证明：只需证明,对任意Ti与Tj ，在树图中存在连接它们的路即可！,19,对任意Ti与Tj , 设e1,e2,ek(k n-2) 是它们的公共边。,由树的性质：,使得： 。该圈中：,作：,则Ti与Ti+1有n-2条边相同，于是，它们邻接。此时，Ti+1与Tj有k+1条边相同。,如此这样作下去，可以得到连接Ti与Tj的一条路为：,所以，连通图G的树图是连通的。,20,(四)、计算机中的树简介,在计算机科学中，常常遇到所谓的根树。,定义2：一棵树T，如果每条边都有一个方向，称这种树为有向树。对于T的顶点v来说，以点v为终点的边数称为点v的入度，以点v为起点的边数
9、称为点v的出度。入度与出度之和称为点v的度。,注：指出上图中顶点的入度、出度和度。,21,定义3：一棵非平凡的有向树T，如果恰有一个顶点的入度为0，而其余所有顶点的入度为1，这样的的有向树称为根树。其中入度为0的点称为树根，出度为0的点称为树叶，入度为1，出度大于1的点称为内点。又将内点和树根统称为分支点。,注：根树常画成倒置形式，方向由上指向下。,22,定义4：对于根树T，顶点v到树根的距离称为点v的层数；所有顶点中的层数的最大者称为根树T的树高。,上图中，根树高为3 ；,树根1：0层； 点2，3，4：第1层；余类推。,23,计算机中数据结构常采用根树结构。族谱图是根树。,定义5：对于根树T
10、，若规定了每层顶点的访问次序，这样的根树称为有序树。,注：一般次序为从左至右。有时也用边的次序代替顶点次序。,定义6：对于根树T，由点v及其v的后代导出的子图，称为根树的子根树。,24,定义7：对于根树T，若每个分支点至多m个儿子，称该根树为m元根树；若每个分支点恰有m个儿子，称它为完全m元树。,对于完全m元树T，有如下性质：,定理2 在完全m元树T中，若树叶数为t , 分支点数为i , 则：,25,证明：一方面，由树的性质得：,另一方面，由握手定理得：,由(1)与(2)消去m (T)得：,例6 一台计算机，它有一条加法指令，可以计算3个数的和。如果要求9个数的和，问至少执行多少次加法指令？,
11、解：用3个顶点表示3个数，用一个父结点表示3个数的和。问题转化为求一棵有9个叶点的完全3元树的分支点数。,26,即：m=3 , t= 9,求i=? 由定理2得：,i=4,至少要执行4次。两种可能情况是：,在m元树中，应用最广泛的是二元树，原因是它在计算机中容易处理。,27,对于一棵有序树，常要转化为二元树。方法是：,(1) 从根开始，保留每个父亲同其最左边儿子的连线，撤销与别的儿子的连线；,(2) 兄弟间用从左至右的有向边连接；,(3) 按如下方法确定二元树中结点的左右儿子：直接位于给定结点下面的儿子，作为左儿子，对于同一水平线上 与给定结点右邻的结点，作为右儿子，依此类推。,例7 将下根树转
12、化为二元树。,28,解：,29,二元树的遍历问题,找到一种方法，能系统访问根结点，使得每个结点恰好访问一次。有三种常用方法：,(1) 先根次序遍历：,1） 访问根；,2）按先根次序遍历根的左子树；,3）按先根次序遍历根的右子树；,即：先左后右！例如：,30,先根次序遍历次序为：v1v2v4v6v7v3v5v8v9v10v11v12.,(2) 中根次序遍历：,2） 访问根；,1）按中根次序遍历根的左子树；,3）按中根次序遍历根的右子树；,中根次序遍历次序为：v6v4v7v2v1v8v5v11v10v12v9v3.,31,(3)后根次序遍历：,3） 访问根；,1）按后根次序遍历根的左子树；,2）按
13、后根次序遍历根的右子树；,后根次序遍历次序为：v6v7v4v2v8v11v12v10v9v5v3v1.,32,最优二元树,定义8 设T是一棵二元树，若对所有t片树叶赋权值wi(1it),且权值为wi的树叶层数为L(wi),称：,为该赋权二元树的权。而在所有赋权为wi的二元树中 W(T)最小的二元树称为最优二元树。,哈夫曼算法：,(1) 初始：令S=w1,w2,wt;,(2) 从S中取出两个权值最小者wi与wj ,画结点vi ,带权wi,画结点vj，带权wj，画vi与vj的父亲v，连接vi与v,连接vj与v,令v带权wi + wj ;,33,(3) 令S = (S-wiwj)wi+wj;,(4) 判断S是否只含一个元素，若是，停止，否则转2).,例8 求带权为：7、8、9、12、16的最优树。,解：由哈夫曼算法：,34,作业,P43 习题2 ： 16, 17, 18,35,Thank You !,