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1、 高次多项式因式分解的几种方法 广东顺德勒流职业中学 廖列宏 因式分解在中学数学中占有一个比较重 要的位置,但大部分同学对高次多项式的因 式分解却比较陌生.这里,我们对一些高次多 项式的因式分解的方法作分析介绍. 1 高次多项式因式分解的一般方法 首先,先介绍下面两个定理. 定理1 设 1 11 ( ) nn nn f xa xaxa x =+? 0 a+是一个整系数多项式,如果有理数/v u 是 它的一个根,其中 u 与 v 互素,则| n u a , 0 | v a . 特别地,当1 n a = 时,( )f x 的有理根都是整数, 且为常数项 0 a 的因数. 证明 因为/v u 是(
2、)f x 的根,故uxv整 除( )f x ,设 1 110 ( )()() n n f xuxv bxb xb =+?, 则比较两端 n 次项系数和常数项,得: 100 ,() nn aubavb =. 由于( )f x 与uxv都是整系数多项式,而ux v 又是本原的,故可知 1 1 n n bx +? 1 b x + 0 b 是一个整系数多项式,因此 1n b 与 0 b 都是整数, 于是由知:| n u a , 0 | v a . 这个定理说明,欲求整系数多项式( )f x 的有理根,可先求其常数项 0 a 的全部因数(包 括负因数),设为 12 , s v vv?;再求出首项系数 n
3、 a 的全部因数(也包括负因数),设为 12 ,u u ? t u ,则如果( )f x 有有理根,它的有理根必在 所有有理数/(1,2, ;1, ij v u is j=? 2, ) t? 之中.但是这些有理数中究竟哪些是( )f x 的 根,还需要通过综合除法来逐个进行检验.但 这样太麻烦,会浪费太多的时间,为了更简便 地判断它的根,我们再引出下面一个定理. 定理2 若既约分数 /v u 是整系数多项式 ( )f x 的根,则|(1),|( 1)uvfuv f+. 证明 因为/v u 是( )f x 的根,由定理 1 中 的知有: 110 (1)()() n fuv bbb =+?, (
4、1)f 11 110 ()( 1)( 1) n n uvbbb = + +?. 但由于( )f x 是整系数,(1)f与( 1)f 都 是整数,又 110 , n bb b ?也是整数,故: |(1)uvf,|( 1)uv f+. 下面,我们用上面两个定理来对一些多 项式进行因式分解. 例1 把 32 6552xxx+因式分解. 解 我们先把它转化为求 32 ( )65f xxx= 52x+的有理根.由定理 1 知:( )f x 的常数项 2 的全部因数是: 1, 2 ;其中首项系数 6 的 全部因数是: 1, 2, 3, 6 .因此要进行检验的 有理数为: 1, 2, 1/2, 1/3, 2
5、/3, 1/6 . 但易知(1)4f=,( 1)18f =,故 1 都不是 ( )f x 的根,再由定理 2,由于: 12| (1),f31|+( 1),f 32|+( 1),f 32| (1),f16|+( 1),f 61| (1),f 故 2,1/3, 2/3, 1/6都不是( )f x 的根, 因此剩下只需检验2,1/2, 1/3这三个数 了.由综合除法易知,只有1/2是它的根. 32 6552xxx+ 2 (1/2)(624)xxx=+ 2 (21)(32)xxx=+. 例2 把 432 471052xxxx+因式分 解. 解 先把它转化成求 43 ( )47f xxx=+ 2 105
6、2xx+的有理根. ( )f x 的常数项和首项系数的全部因 数分别为:1, 2 与1, 2, 4 .需要检验的有 理数为: 1, 2, 1/2, 1/4 . 由于 ( 1)0f =故 1 是 ( )f x 的根,且易知, 32 ( )(1)(4372)f xxxxx=+ 按照同样方法可求 43 ( )4372g xxxx=+的 有理根,易知( )g x 的有理根为:1/4,由综合整 除法: 1 4 4 3 7 2 1 1 2 4 4 8 0 15 432 471052xxxx+ 2 (1)(1/4)(448)xxxx=+ 2 (1)(41)(2)xxxx=+. 下面介绍两种特殊的高次多项式因
7、式分 解. 2与首末两项等距离的项的系数相等的高次 多项式的因式分解的方法 2.1 最高次数是偶次的多项式 例3 分解多项式 432 231632xxxx+. 解 把多项式的各项除以中间项 2 x ,经整 理,转化为方程得: 22 2(1/)3(1/ ) 160 xxxx+=. 用换元法: 令1/xxy+=有, 222 1/2xxy+=, 代入得 2 2(2)3160yy+=, 即 2 23200yy+=. 解之得: 1 5/2y =, 2 4y = . 于是确定 x 的两个方程: 1/5/2xx+=, 1/4xx+= . 解之得 12 2,1/2xx=, 3 23x = +, 4 23x =
8、 . 432 231632xxxx+ 2(2)(1/2)(23)(23)xxxx=+ (2)(21)(23)(23)xxxx=+ 2.2 最高次数是奇数的多项式 例4 分解多项式 5432 22xxxxx+1 . 分析 这是与首末两项等距离的项的系 数成相反数,必然有系数和等于 0,所以 1 是 5432 2210 xxxxx+ =的根,所以多项 式可以化为: 432 (1)(3231)xxxxx+ 而 432 3231xxxx+ 又是与例 3 同样的解 法. 例5 分解多项式 5432 251313xxxx+52x+. 分析 这是与首末两项等距离的项的系 数相等而最高次数为奇数,所以1x =
9、 是 5432 251313520 xxxxx+=的根,从而 原多项式可以化为: 432 (1)(231632)xxxxx+, 而 432 231632xxxx+又同例 3 同样的解 法. 3 各项系数和等于零的高次多项式 例6 分解多项式: 432 25412xxxx+. 解 多项式的各项系数和: 1254120+=, 因此1x =必为 432 254120 xxxx+=的 根,因此由综合除法可得: 所以多项式可化为: 32 (1)(3812)xxxx+， 接着对 32 3812xxx+进行因式分解,按 1 中的方法可以求出: 322 3812(2)(6)xxxxxx+=+, 432 25412xxxx+ 2 (1)(2)(6)xxxx=+. 数列求和中难点突破的策略 江苏省苏州大学附中 房之华 在数列求和的问题中,常常会碰到一些 难以解决的问题,困扰着学生不能将问题得 以解决.怎样突破这些难点,开拓学生的解题 思路,发展学生的能力,是值得深入探讨的课 题.本文就此问题谈谈笔者的教学策略. 1 解剖麻雀, 以点窥面 对于某些数列的求和,无须从整体出发. 可以抓住通项,从通项入手进行解剖,探索规 律,然后以点窥面,寻找难点的突破口. 例1 求数列 111 , 12 12312(1)n+ ? ? 1 1 2 5 4 12 1 3 8 12 1 3 8 12 0 16