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1、,3.2立体几何中的向量方法 空间角,1、两条直线的夹角:,l,m,l,m,所以 与 所成角的余弦值为,解:以点C为坐标原点建立空间直角坐标 系 ,如图所示,设 则:,所以:,例:,2、直线与平面的夹角:,l,例:,D,C,B,A,3、二面角:,方向向量法:,二面角的范围:,法向量法,法向量的方向:一进一出,二面角等于法向量夹角; 同进同出,二面角等于法向量夹角的补角,设平面,例:,1. 三棱锥P-ABC PAABC,PA=AB=AC, ,E为PC中点 ,则PA与BE所成角的余弦值为_ .,2. 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2, AB=AC=1, 则AC1与截面BB1CC1所成
2、角的余弦值为_ .,3.正方体中ABCD-A1B1C1D1中E为A1D1的 中点, 则二面角E-BC-A的大小是_,利用“方向向量”与“法向量”来解决 距离问题.,第三问题:,1、点与点的距离:,2、点与直线的距离:,CD中点,求:点F到直线AE的距离.,例:在正方体,中,E、F分别是BB1,,,3、点到平面的距离:,3、点到平面的距离:,D,A,B,C,G,F,E,a,b,C,D,A,B,CD为a,b的公垂线,A,B分别在直线a,b上,已知a,b是异面直线,4. 异面直线间的距离,A,B,C,C1,取x=1,则y=-1,z=1,所以,E,A1,B1,5. 其它距离问题:,(1)平行线的距离(
3、转化为点到直线的距离) (2)直线与平面的距离(转化为点到平面的距离) (3)平面与平面的距离(转化为点到平面的距离),练习1:如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点, (I)求证:AO平面BCD; (II)求异面直线AB与CD所成角的大小; (III)求点E到平面ACD的距离.,解:(I)略 (II)解:以O为原点,如图建立空间直角坐标系,,所以异面直线AB与CD所成角的 余弦值为,(III)解:设平面ACD的法向量为,则,令,得,是平面ACD的一个法向量,又,所以点E到平面ACD的距离,如图,已知:直角梯形OABC中, OABC,AOC=90,SO面OABC, 且OS=OC=
4、BC=1,OA=2. 求:(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值; (2)OS与面SAB所成角的余弦值; (3)二面角BASO的余弦值.,练习2:,如图,已知:直角梯形OABC中, OABC,AOC=90,SO面OABC, 且OS=OC=BC=1,OA=2. 求:(1)异面直线SA和OB所成的 角的余弦值;,如图,已知:直角梯形OABC中, OABC,AOC=90,SO面OABC, 且OS=OC=BC=1,OA=2. 求:(2)OS与面SAB所成角的余弦值 ;,所以OS与面SAB所成角的余弦值为,所以二面角BASO的余弦值为,如图,已知:直角梯形OABC中, OABC,AOC=90,SO面O
5、ABC, 且OS=OC=BC=1,OA=2. 求:(3)二面角BASO的余弦值.,练习3:如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD 底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点. (1)证明:PA/平面EDB; (2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值.,A,B,C,D,P,E,(1)证明:设正方形边长为1,则PD=DC=DA=1.连AC、BD交于G点,(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。,所以EB与底面ABCD所成的角的正弦值为,所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为,练习5: 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EFPB交PB于点F. (1)求证:PA/平面EDB (2)求证:PB平面EFD (3)求二面角C-PB-D的大小.,A,B,C,D,P,E,F,