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1、,3.2立体几何中的向量方法 空间角,1、两条直线的夹角：,l,m,l,m,所以 与 所成角的余弦值为,解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标 系 ,如图所示，设 则：,所以：,例：,2、直线与平面的夹角：,l,例：,D,C,B,A,3、二面角：,方向向量法：,二面角的范围：,法向量法,法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角,设平面,例：,1. 三棱锥P-ABC PAABC,PA=AB=AC, ,E为PC中点 ,则PA与BE所成角的余弦值为_ .,2. 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2, AB=AC=1, 则AC1与截面BB1CC1所成
2、角的余弦值为_ .,3.正方体中ABCD-A1B1C1D1中E为A1D1的 中点, 则二面角E-BC-A的大小是_,利用“方向向量”与“法向量”来解决 距离问题.,第三问题：,1、点与点的距离：,2、点与直线的距离：,CD中点，求:点F到直线AE的距离.,例：在正方体,中，E、F分别是BB1,，,3、点到平面的距离：,3、点到平面的距离：,D,A,B,C,G,F,E,a,b,C,D,A,B,CD为a,b的公垂线,A，B分别在直线a,b上,已知a,b是异面直线,4. 异面直线间的距离,A,B,C,C1,取x=1,则y=-1,z=1,所以,E,A1,B1,5. 其它距离问题：,（1）平行线的距离(
3、转化为点到直线的距离） （2）直线与平面的距离（转化为点到平面的距离） （3）平面与平面的距离（转化为点到平面的距离）,练习1：如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点， （I）求证：AO平面BCD； （II）求异面直线AB与CD所成角的大小； （III）求点E到平面ACD的距离.,解：（I）略 （II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，,所以异面直线AB与CD所成角的 余弦值为,（III）解：设平面ACD的法向量为,则,令,得,是平面ACD的一个法向量，又,所以点E到平面ACD的距离,如图，已知：直角梯形OABC中， OABC,AOC=90，SO面OABC， 且OS=OC=
4、BC=1，OA=2. 求：(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值; (2)OS与面SAB所成角的余弦值; (3)二面角BASO的余弦值.,练习2：,如图，已知：直角梯形OABC中， OABC,AOC=90，SO面OABC， 且OS=OC=BC=1，OA=2. 求：(1)异面直线SA和OB所成的 角的余弦值;,如图，已知：直角梯形OABC中， OABC,AOC=90，SO面OABC， 且OS=OC=BC=1，OA=2. 求：(2)OS与面SAB所成角的余弦值 ;,所以OS与面SAB所成角的余弦值为,所以二面角BASO的余弦值为,如图，已知：直角梯形OABC中， OABC,AOC=90，SO面O
5、ABC， 且OS=OC=BC=1，OA=2. 求：(3)二面角BASO的余弦值.,练习3：如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD 底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点. (1)证明：PA/平面EDB； (2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值.,A,B,C,D,P,E,(1)证明：设正方形边长为1，则PD=DC=DA=1.连AC、BD交于G点,(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。,所以EB与底面ABCD所成的角的正弦值为,所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为,练习5： 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EFPB交PB于点F. (1)求证：PA/平面EDB (2)求证：PB平面EFD (3)求二面角C-PB-D的大小.,A,B,C,D,P,E,F,