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1、第 2 章 刚体运动及复合运动刚体及刚体运运动动、刚体定点运动本讲内容刚体的平面运动：基点法速度、加速度合成定理、速度瞬心法I do not know what I may appear to the world; but to myself I appear to have been but a little boy, playing on the sea-shore, and diverting myself, in now and then finding a smooth pebble or a prettier shell than ordinary, whilst the grea
2、t ocean of truth lay all undiscovered before me.- Issac Newton刚体的平面运动: 刚刚体体上上任任意意点点的的运运动动轨轨迹迹都都在在一一固固定定平平面面之之内内，且且这这些些固固定定平平面面相相互互平平行行。平平面面图图形形在在刚刚体体上上作作平平行行于于固固定定平平面面的的平平面面，这这样样的的平平面面与与刚刚体体轮轮廓廓的的交交线线所所构构成成的的图图形形。平平面面图图形形上上的的任任意意直直线线这这一一直直线线的的运运动动可可以以代代表表平平面面图图形形的的运运动动，也也就就是是刚刚体体的的平平面面运运动动。A: 称为基点自自
3、由由度度NN33刚体平面运运动动的的方方程程（基点法）xA = f1 (t)yA = = f3f2 (t(t)平面运动刚体的角速度、角加速度速度相对vry平面运动刚体的角速度、角加速度p基点法:借助刚体上任意一点的运动B和随该点运动的平动坐标系研究刚体rAB运动的方法。基点是任意选定的刚体xp上的一个点, 一般选运动情况已知y或部分已知的点。A刚体相对基点平动系作定轴转rOAB点相对动，角速度、角加速度分别为：x轨迹：圆 = k = kOB点相对平动系的速度vr = rABB点的相对平动系的加速度：ar = art + arn相相对对法法向向加加速速度度：arn = ( rAB )= 2rAB
4、相相对对切切向向加加速速度度： art = rABypartBarnAxpa (b c ) = (c a ) b (b a ) c引理：动点绝对(加)速度等于其相对平动系（加）速度与平动系的（加）速度之和: vB = vA + vr , aB = aA + ar 。vr , ar 记为B点相对平动系Axpypzp的速度、加速度。rOB = rOA + rABrAB = x AB i p + yAB jpjpyp根据速度、加速度的定义B平动系中观察到的矢量变化率jy rOBrABipv r=drAB= x AB ip+ yAB jpAdtrOAxp定系中观察到的矢= xAB i + yAB j
5、= drAB = rABxi量变化率Odt矢量相对平动系的时间导数等于相对定系的导数！B点的绝对速度v B = rOB = rOA + rAB = v A + vrB点的绝对加速度 aB= r= r+ r= aA+ arOBOAAB速度合成定理：平面图形上任意点的速度，等于基点的速度及该点相对基点平动系的速度之矢量和。B点的速度v B = v A + vr= vA + rAB基点速度vA相对速度vr = rABvBvrvAypBrABvAyA xprOAOx有时记作vBA平平面面运运动动刚刚体体的的加加速速度度合合成成定定理理加速度合成定理：平面图形上任意点的加速度，等于基点的加速度及该art
6、点相对基点平动系的加速度之矢量和。BaB = aA + arypa aA rnaA 基点加速度aByAxpar = art + arnaA相对平动系的加速度rOA相相对对法法向向加加速速度度Oxarn = ( rAB ) = 2rAB相相对对切切向向加加速速度度art = rAB例例 题题 22已已知知：曲曲柄柄滑滑块块机机构构中中，曲曲柄柄B OAOArr，以以等等角角速速度度 0绕绕OO轴轴转转动动，连连杆杆ABABll。在在图图示示情情形形下下连连杆杆与与曲曲柄柄垂垂直直。y求求：11、滑滑块块的的速速度度vvBB；AxO 022、连连杆杆ABAB的的角角速速度度 ABAB 。0vB =
7、 vA + vr= vA + AB rAB例例 题题 22vAvB基基点点法法解解：11、选选择择基基点点：AA(速速度度已已知知)B vrvvAA= 0 rr22、建建立立平平移移系系 AA x yvAyAx0O0vB = vA + vr= vA + AB rAB33、将将滑滑块块沿沿铅铅垂垂方方向向的的运运动动(绝绝对对运运动动)分分解解为为：跟跟随随基基点点的的平平动动；以以AA点点为为圆圆心心ABAB为为半半径径的的圆圆周周运运动动相相对对运运动动。44、应应用用速速度度合合成成定定理理vvBB= vvAA+ vvrrv B = v A cos 0 = r 0 cos0例例 题题 22
8、vA vB解解：vr = AB rAB0vr = ABlvrBAB连连杆杆的的瞬瞬时时角角速速度度yvAAB= v lrAxO 0= v A tan 0 l = r 0 tan0 l0AB顺时针方向！vB = vA + vr= vA + AB rAB加加速速度度分分析析 加加速速度度合合成成定定理理的的应应用用例例 题题 33AA9090oo0B6060ooOOB曲曲柄柄滑滑块块机机构构，OAOArr，ABABll，曲曲柄柄以以等等角角速速度度 00绕绕OO轴轴旋旋转转。求求：图图示示瞬瞬时时，滑滑块块BB的的加加速速度度aaBB和和连连杆杆ABAB的的角角速速度度及及加加速速度度 AB例例
9、题题 33解：1、确定连杆的角速度：以A为基点，建立平移系A xy，vB = vA + vr= vA + AB rAByvvAAAAx9090oov06060ooABvAABvBOOvBBvvrrv A = r0 ,vr = vA tan30Dvr = AB lABAB = vr lAB = 0 3加加速速度度合合成成定定理理的的应应用用yAB = 032、加速度分析：B点的加速AA解解：x度 aB 和 AB杆的角加速度 AB9090oo ABaaB 沿着水平方向aaaartrtarnrnA点的加速度 aA ，方向AAAB30oo0030BOOaBOB指向，大小aBaA= r 2a0根据基点法
10、B点的加速度：aAAa B = a Aar = a rtarnart = ABlarn = AB AB2 = l02 9将加速度合成公式等式两边各项向AB方向投影acos30Daa B = 23l0227Brn投影法!将加速度合成公式等式两边各项向art方向投影 asin30D a+ artBAa= a asin30DABlAB= 83227（逆时针）解毕！rtAB0速速度度瞬瞬心心瞬瞬时时速速度度中中心心：刚体上瞬时速度为零的点(1) 已知两点的速度方(2) 两点速度方向平行且向，且互不平行垂直于这两点的连线vAvBAvAAvAvBABBCvA = rCACvBBv AvB(3) 已知一点的
11、速度(4)=瞬时平动，及刚体的角速度AvAvAvBA B = v A rCAC例例 题题 44已已知知：半半径径为为RR的的圆圆轮轮在在直直线线轨轨道道上上作作纯纯滚滚动动。轮轮心心速速度度为为vvOO 。CBODvO求求：轮轮缘缘上上AA、BB、CC、DD四四点点的的速速度度。AA例例 题题 44C解解：圆圆轮轮与与地地面面接接触触点点AA，由由于于没没有有相相对对滑滑动动，因因而而在在这这一一瞬瞬时时，即为速度瞬BODAA点点的的速速度度vvAA00。AA点点即为速度瞬的角速度为vO心心CC 。假假设设这这一一瞬瞬时时的角速度为 。得得到到由vvOO = v O RAARRCCv B =
12、rC *BvA = 0 ,vB = 2v0vC = 2v0 ,vD = 2v0UU 瞬瞬时时速速度度中中心心及及其其应应用用例例 题题 55杆机构中AABB已已知知：四四连连杆机构中DDoo9090O1 B = l , AB = 3l 2 , AD = DB04545oo9090ooOO11OA以以绕绕O轴轴转转动动。OOOA00 O求求：11、BB和和DD点点的的速速度度；22、ABAB杆杆的的角角速速度度。例例 题题 55vvAAAA 04545ooOO解解：机机构构作作平平面面运运动动，OAOA ABAB CC 和和O B都都作作定定轴轴转转动动，A、BO11BA B二二点点的的速速度度
13、v 和和v 的的方方向向都都vAAvBB者的垂直线，可可以以确确定定。作作二二者的垂直线，vvDD速度瞬心。vvBBBB相相交交于于CC ，此此即即速度瞬心。DD 9090oo图图中中的的几几何何关关系系：OO11OA 2l , AB = BC = 3l 29090ooAC = 3 2l2 , DC = 3 5l4vA = OA0 = 2l0 AB = v A AC = 20 3v B = BC AB = l0v D = DC AB = 5l0 2定定瞬瞬心心轨轨迹迹和和动动瞬瞬心心轨轨迹迹定瞬心轨迹：瞬心在固定坐标系中的轨迹。动瞬心轨迹：瞬心在固连的动坐标系中的轨迹。Rv0 C3 C2C1C
14、3CC1 C2 车轮沿着直线轨道作纯滚动例例77 梯子AB长 l，一端靠在墙上，如图所示。如将梯子下端 A 以等速 u 向右水平地拖动。求求 定瞬心轨迹和动瞬心轨迹。BluA例例77 梯子AB长 l，一端靠在墙上，如图所示。如将梯子下端 A 以等速 u 向右水平地拖动。求求 定瞬心轨迹和动瞬心轨迹。y解：建立固定坐标系 Oxy ，BC瞬心 C 点的坐标为：lxC = l sin yC = l cos 定瞬心轨迹为以 O 为圆心的uOAx1/4圆周:xC2 + yC2 = l2建立固联坐标系，瞬心 C 的坐标为：AC = l cos sin 2+ ( l / 2) 2 = l2 / 42C =
15、l cosCC动瞬心轨迹为以杆中点为圆心的1/2圆周。刚体的平面运动要点刚体平面运动模型与运动方程速速度度分分析析基基点点法法、投投影影法法、瞬瞬心心法法加加速速度度分分析析基基点点法法本周作业习题2-10, 2-14, 2-17 例例66 轮轮系系已知: 行星轮系固定轮半径R, 行星轮半径r (只滚不滑), 曲柄角速度。求：行星轮上M点速度。 例例66 轮轮系系已知: 行星轮系固定轮半径R, 行星轮半径r (只滚不滑), 曲柄角速度。求：行星轮上M点速度。解法一：瞬心法vA = (R + r) A = vrA = R r+ r v M = CM A =2 ( R +r)vM CM解解法法二二
16、：基基点点法法取A为基点v C =v A +vrv A=( R+v =r vC =0r)rr = ( R +r) =( R+r ) /r对M点： v M = v A + vrvr = r = ( R + r) vM = 2 ( R + r) = A例例 题题 11已知：半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚动。轮心速度为BOvO 、加速度为aO 。aOvOAA求：轮缘上A、B二点的速度和加速度。例例 题题 11y解：1、基点法的速度分析：OO以O点为基点，建立平动系O xy。轮缘上任意点P 的BOOOx运动可以分解为：vOaO跟随基点O 的平动牵连PP运动；相对于平动系O xy、PPAAss绕O点的
17、转动相对运动。确确定定圆圆轮轮的的转转动动角角速速度度s = R ,s = R = RO, v= RO,O=vOOR = = vO进进而而求求得得圆圆轮轮滚滚动动时时的的角角加加速速度度= aOOORR例例 题题 11yO OOOOxvOaOarnaaartAAAaO解解：O=vOO =aORRAA点点加加速速度度分分析析：aA = aO + art + arnart = RO = aOarn = RO2 =vO2Ra A =v 2jO向上！Rarty析：BB点点速速度度与与加加速速度度分分析：B aOOOOOxv 2arn OvOaOaB = (aO +O) i+ aO jRvB = vO i + vO j