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1、专题3：角平分线与垂直平分线一、角平分线1、角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。三角形三个角平分线的交点叫做内心（仅作了解）。 2、角平分线的性质1）角平分线上的一点到角的两边距离相等。 2）角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。（逆运用） 三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。 三角形的三条角平分线相交于一点，该点为三角形的内心，且内心到三条边的距离相等。 已知：如图，OP是AOB的平分线，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别为D，E求证：PD=PE 证明: 1=2 , OP=OP
2、PDO=PEO=90PDOPEO (AAS)PD=PE (全等三角形的对应边相等) 结论：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 PDOA，PEOB，垂足分别是D，E，PD=PE. 求证：点P在AOB的平分线上证明: 在RtODP和RtOEP中,ODP=OEP=90又OP=OP, PD=PERtOPDRtOPE (HL) 1=2 即点P在AOB的平分线上结论：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。3、角平分线做法在角AOB中，画角平分线 3.1以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M，N 3.2分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P
3、 3.3作射线OP二、垂直平分线1.定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。垂直平分线，简称“中垂线”，是初中几何学科中占有绝大部分的非常重要的一部分。 1）垂直平分线垂直且平分其所在线段。 2）垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。 3）三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心（仅作了解），并且这一点到三个顶点的距离相等。2.垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。3.逆运用：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段
4、的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明 通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。 可以通过全等三角形证明。 4.用圆规作垂直平分线 4.1在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。 4.2分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到一个交点。 4.3连接这两个交点。 证明垂直平分线的性质：已知：MNAB于C，AC=BC，点P在MN上。求证：PA=PB证明：MNAB（已知）PCA=PCB（垂直定义）在PCA和PCB中：AC=CB（已知）PCA=PCB（已证）PC=PC（公共边）PCAPCB（SAS）PA=PB（全等三角形的对应边相等）反过来：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上三、角平分线与垂直平分线的比较四、拔高训练【感悟】