《计算方法小论文.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《计算方法小论文.docx（4页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、计算方法小论文数值分析与计算方法，是一门研究并解决数学问题的数值近似解方法。计算机是数值计算方法最常用的工具，随着计算机技术的迅速发展和普及，这门课程的应用也越来越广泛。这学期的计算方法课程包含了插值、数值微分和数值积分、曲线拟合的最小二乘法、非线性方程求根、解线性方程组的直接法和迭代法、计算矩阵的特征值和特征向量、常微分方程的数值解等。现在我想阐述一下对所学的解线性方程组方法的认识。在线性代数课程的学习中，我们知道克莱姆法则解的非常简洁的表达式，该表达式虽然理论上完美，但由于计算量太大，通常无法用于实际计算。实际计算通常使用直接法和迭代法。直接法就是经过有限步算术运算求得方程组解的方法，假定
2、每一步运算过程中没有舍入误差，那么最后得到的解就是精确解。但是在实际计算中，完全消除舍入误差是不可能的，只能控制和约束误差的增长和其带来的危害。虽然这样直接法带来的不是精确解，但在较短的时间内获得此解，还是在可以接受的范围内。直接法主要包括高斯消元法及其变形，如：高斯主元消去法、消元法。给定线性代数方程组 Ax = b, A = (aij)n n Rn n, x, b Rn ,高斯消元法主要包括消元和回带两个过程消元就是将系数矩阵经过行初等变换为上三角形的线性代数方程组，回带就是求解化简后的上三角形线性代数方程组。在编写程序时，消元和回带均使用 A 和 b 的存储单元，计算公式为：消元计算，对
3、于计算aik aik / akk,aij aij -aikakj, j = k +1,.,n,i = k +1,.,nbi bi -aikbk,回带计算，xn = bn , xi = (bi - n aijxj) / aii, i = n -1,.,2,1annj =i+1实际消元时，akk 有可能为零或者很小，导致计算中断或不稳定，这时应该加上选主元策略，通常使用列主元技巧，即在元素akk ,.ank中选取绝对值最大者，该行与第 行交换，然后继续消元的过程。这种方法称为列主元高斯消元法。此外，在实际计算时，对于特殊类型的线性代数方程组，高斯消元有许多变形，如求解对称正定线性代数方程组的 分解
4、法；求解三对角线性代数方程组的追赶法等。另外，对矩阵进行三角分解时，我们也可以将矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵的乘积，这种非常规的矩阵分解有可能得到更好的计算效果。接下来讨论解线性方程组的迭代法。迭代法师将方程组的解看作某种极限过程的向量极限的值，与非线性方程求解一样，极限过程是用迭代过程完成的。在用迭代算法时，我们不可能将极限过程运算到底，只能讲迭代进行有限多次，得到满足一定精度的方程组的近似解。在科学与工程计算中，经常遇到大型稀疏线性代数方程组的求解问题，对于这类问题，使用迭代法是较为恰当的。常用的迭代方法有雅可比 迭代法、高斯赛德尔 迭代法和松弛迭代法。设线性方程组为 其中：A= (a
5、 ij ) n n , b = (bi ) n , x = ( xi ) n , 给定雅克比迭代的计算公式为，对于1i-1nxi (k +1)=(bi - aijx j(k) - aijx j(k) ), i =1,2,., naiij=1j=i+1高斯赛德尔迭代公式为，对于1i-1nxi (k +1)=(bi - aij x j(k +1)- a ij x j(k ) ), i =1,2,., naiij =1j =i+1SOR 迭代是在高斯赛德尔迭代的基础上，对前后两次迭代的结果进行加权平均得到新的迭代值，即：wxi (k +1) + (1-w)xi (k ) xi (k +1) ,这里称
6、为松弛因子。若选择恰当，则迭代可以得到有效加速，加速最快的称为最优松弛因子，这通常需要经过实际的计算得到。线性代数方程组的迭代法是否收敛由迭代矩阵的谱半径决定，谱半径定义为迭代矩阵特征值的按模最大值。设迭代矩阵为 ,通常用 表示其谱半径。若 ,则迭代方法 x( k +1) = Bxk + g 收敛。应用迭代矩阵的谱半径判断迭代是否收敛最准确，但计算计算谱半径需要花费大量的时间。通常直接根据方程组系数矩阵的性质判定迭代是否收敛。如果系数矩阵对角占优，则雅克比迭代和高斯赛德尔迭代均收敛。对于对称正定矩阵，若松弛因子,则方法收敛。在数值计算的历史上，直接解法和迭代法交互发展，一种解法的兴起与计算机的硬件环境、问题的规模是密切相关的。一搬来说，等同规模的线性方程组，直接法对计算机的要求高于迭代法。对于中等规模的线性方程组阶数小于，一般采用直接法求解。对于高阶方程组和系数稀疏的方程组，一般采用迭代法求解。