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1、1,理 论 力 学 (2),2,内 容 提 要,三.力偶理论,3-1.力对点的矩,3-2.两平行力的合成,3-3.力偶与力偶矩,3-4.力偶的等效条件,3-5.力偶系的合成与平衡,3,3-1.力对点的矩,(1)力对点的矩,A,B,F,r,mo(F),mo(F) = rF,mo(F)表示力F绕O点转动的效应.O点称为矩心.力矩矢是定位矢量.,力矩的三要素:力矩的大小;力矩平面的方位;力矩在力矩平面内的转向.,d,力矩的几何意义: mo(F) =2OAB面积=Fd,力矩的单位: Nm 或 kNm,4,同一个力对不同矩心之矩的关系:,mA(F) = r1F,mB(F) = r2F,mA(F) - m
2、B(F) = (r1 - r2)F,B,D,F,r1,r2,A,R,= R F,若RF则mA(F) = mB(F),B,D,F,r1,r2,A,显然,mA(F) = r1F = r2F,即与D点在力F作用线上的位置无关.,5,(2)力对点的矩的解析表示,mo(F) = rF =,若各力的作用线均在 xy 平面内.则Fz = 0, 即任一力的坐标 z = 0 则有,mo(F) = x Fx - y Fy =,6,例题3-1.如图所示,力 F作用在边长为 a 的正立方体的对角线上.设 oxy 平面与立方体的底面 ABCD平行,两者之间的距离为b.计算力F对O点之矩.,7,解:写出力F的解析表达式.
3、,F = Fy+,Fz +,Fx,Fz =,Fy,Fz,Fx,rA,rA = a i + a j + b k,8,在力F的作用线上取点E,r,E,则有,9,3-2.两平行力的合成,A,B,C,D,F1,F2,S1,S2,R1,R2,R1,R2,S,S,F,F,R,设有两力F1与F2同 向平行.分别作用在刚 体的A,B两点上.,S1 + S2 = 0,F1+F2= (F1 +S1)+(F2+S2),= R1+R2,= (F +S)+(F+S),= R,(1)两同向平行力的合成,= F + F,10,根据几何关系得:,两同向平行力合成的结果为一合力.其大小等 于两力大小之和,方向与两力相同.而其作
4、用线内 分两分力作用点间的距离为两线段,此两线段的 长度与已知两力的大小成反比.,(2)两个大小不等的反向平行力的合成,11,两大小不等的反向平行力合成的结果为一合力.其大小等于两力大小之差,方向与两力中较大的一个相同.而合力作用线在两力作用线外,并靠近较大力的一边.合力作用线外分两分力作用点间的距离为两线段,此两线段的长度与已知两力的大小成反比.,3-3.力偶与力偶矩,d,(1)力偶(F ,F),由大小相等,方向相反而 不共线的两个力组成的力系.,12,力偶所在的平面为力偶作用面.力偶两力之间的垂直距离 d 称为力偶臂.,力偶没有合力.因此力偶不能与一个力等效, 也不能用一个力来平衡.力偶只
5、能与力偶等效, 也只能与力偶平衡.,(2)力偶矩矢,m = rBAF = rABF,rBA,d,m,在平面问题中则有 m = Fd,13,3-4.力偶的等效条件,(1)力偶两力的矩之和定理:,rB,rA,O,证明:在空间任取一点o为矩心.,mo(F, F) = mo(F) +mo(F),= rBAF,= (rB - rA) F,= rBF + rA F,= m,力偶中两力对空间任一点的矩的矢量和等于该力矩矢 ,而与矩心的选择无关.,14,(2)力偶的等效条件: 力偶矩矢相等.,推论1:只要力偶矩矢保持不变.力偶可以从刚体 的一个平面移到另一个平行的平面内,而 不改变其对刚体的转动效应.,推论2
6、:力偶可以在其作用面内任意转移,而不会 改变它对刚体的转动效应.,推论3:在保持力偶矩大小不变的条件下,可以任 意改变力偶的力的大小和力臂的长短,而 不改变它对刚体的转动效应.,力偶矩矢是自由矢量.,15,3-5.力偶系的合成与平衡,设一空间力偶系由 n 个力偶组成,其力偶矩矢 分别为: m1 , m2 , mn .由于力偶矩矢是自由矢 量,则n 个力偶矩矢组成一个汇交矢量系.利用合 矢量投影定理进行力偶系的合成与平衡.,(1)力偶系的合成,m = mi,对于平面力偶系则有: M = mi,16,(2)力偶系的平衡,空间力偶系平衡的必要合充分条件是:力偶系 中所有各力偶矩矢在三个直角坐标轴中每
7、一轴 上的投影的代数和等于零.,对于平面力偶系则有: mi = 0,17,例题3-2.有四个力偶(F1, F1) (F2, F2) (F3, F3)和(F4, F4)分别作用在正方体的四个平面DCFE,CBGF,ABCD和BDEG内.各力偶矩的大小为m1= 200N.m; m2 = 500N.m;m3=3000N.m;m4=1500N.m,转向如图所示.求此四个力偶的合力偶矩.,18,解:写出每个力偶矩矢的解析表达式,m1 = 200 i,m2 = - 500 j,m3 = 3000 k,m4 =1500cos45o i+1500sin45o j,Mx =200 +1500cos45o =12
8、61 N.m,My = -500 +1500sin45o = 560.7 N.m,Mz = 3000 N.m,19,例题3-3.不计自重的杆AB与DC在C处为光滑接触,它们分别受力偶矩为m1与m2的力偶作用 ,转向如图.问m1与m2的比值为多大,结构才能平衡?,20,解:取杆AB为研究对象画受力图.,杆A B只受力偶的作用而平衡且C处为光滑面约束.则A处约束反力的方位可定.,RC, mi = 0,RA = RC = R,AC = a,a R - m1 = 0,m1 = a R (1),RA,21,取杆CD为研究对象.因C点约束方位已定 , 则D点约束反力方位亦可确定.画受力图.,RD,R C,
9、RD = RC = R,CD = a, mi = 0,- 0.5aR + m2 = 0,m2 = 0.5 aR (2),联立(1)(2)两式得:,22,例题3-4. 一正六面体,在其两对角点B及D用竖直链杆吊住如图所示.六面体上作用两个力偶(P, P) (Q, Q).若不计六面体和竖杆的自重,并假定铰链是光滑的.问P与Q的比值应为多少,才能维持六面体的平衡?链杆的反力又等于多少?,23,解:解除约束代之约束反力.,mp = a i(-Pk)= a P j,mQ = -b j(-Qk)= b Q i,mS = (b j -a i)(-S k), mix = 0,b Q - b S = 0 (1)
10、, miy = 0,a P - a S = 0 (2),联立(1)(2)两式得:,S = P,S,S,x,y,z,= - b S i - a S j,24,例题3-5. 若三个力偶作用于楔块上使其保持平衡.设Q = Q=150N.求力P与F的大小.,25,解:取楔块为研究对象.,Mp = -0.6iP j,mF = 0.6 iFk,mQ=(-0.4 j+0.3k)150i, miy = 0,-0.6F + 45 = 0,F = 75 N, miz = 0,-0.6P + 60 = 0,P = 100 N,= - 0.6Pk,= - 0.6F j,= 60k + 45 j,26,阅读材料和作业,阅读材料 (1)P53-P65; P150-P162 (2)P64-P83 作业 (1)2-31 ; 2-34 ;4-4 (2)3-6; 3-15; 3-20 预习内容 (1)P83-P91 (2)P95-P114,27,