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1、信息安全数学基础 -群计算机科学与技术系 王常远13980688127184780948,群,一般来说，一个代数结构是指一个非空集合S以及定义在S上的二元运算的总体，要求二元运算满足一定的条件。,定义 群的定义,.,注意：,有限群和无限群： 如果集合 G 中的元素个数有限，就称群G为 有限群；否则称为无限群。,阿贝尔群 阿贝尔群又称交换群（commutative group)，本章中出现的所有群都是指交换群。,举例,下面，我们给出群的一些具体例子。,群的例子（1）,整数集 Z 在加法下构成群，记为(Z, +). (Z, +)是一个无限群、阿贝尔群。 有理数集Q、实数集R和复数集C关于加法都形成
2、无限群。单位元，逆元素的定义与整数加法群相同。,群的例子（2）,Q、R 和 C中的非零元素在乘法下构成群。将这些群分别记为Q*、R*和C*。 这三个群的完整表示是(Q*, , (R*, , (C*, 。 将这些群称为乘法群。,群的例子（3）,对任意自然数 n , 整数模 n 集合构成一个包含 n 个元素的有限加法群，这里的加法运算是模 n 加，将这个群记为Zn 。 这个群的完整表示为（Zn，+(mod n)）. 注意: Zn 是 Z/nZ的简化表示。,群的例子（4）,时钟上表示小时的数字在模12加法下构成群Z12 , 将（ Z12 , +(mod 12)称为时钟群。,群的例子（5）,Zn=0,
3、 1, 2, , (n-1) Zn中所有与 n 互素的的元素是Zn的一个子 集, 这个子集按照模 n 乘法运算构成一个群，用Zn*表示。 例如， (Z15*, (mod15) ) = (1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, (mod15) ),群的例子（6）,集合B=0,1，在异或运算下形成群。,群的例子（7）,x3 -1=0的根在乘法运算下构成一个有限群。 x =1是方程的一个解，该方程有三个根。 用u和v表示其它两个根。由于 x3 -1=(x-1)(x2 + x + 1) 则u和v是 x2 + x + 1=0的两个根。 由二次方程根与系数的关系， u和v互逆。 封闭性: (
4、x2)3 1 =0 。,群的例子(8),置换群 S=1,2,n Sn是S上所有置换构成的集合 | Sn |=n! , 是Sn中置换, 表示和的复合, 即(x)=(x) Sn构成群, 称为n阶对称群.,置换的表示 = = =,(1234)(56) = = (132) (1432) = (1423),重复群运算的简化表示,群的性质,子群,子群,对于群 G 的一个非空子集H，要判别H是否是G的子群，需要验证4条： 封闭性 结合律（不必验证） 单位元 逆元素,子群的例子（1）,在加法运算下，Z Q R C. 注意，在这个例子中： 子群中的单位元和群中的单位元相同，都是0 子群中元素的逆元素和群中该元素
5、的逆元素一致,子群的例子（2）,全体偶数的集合（包括0），在加法运算下，是整数加法群的一个子群。因此也是 （1）中所有群的子群。,子群的例子（3）,在乘法运算下， Q* R* C*。,子群的例子（4）,子群的例子（5）,B=0,1在异或运算下是一个群。 0是B的一个真子群 1不是B的子群,子群的例子（6）,设G是一个群，e是它的单位元 e和G是群G的两个平凡子群。,群的阶,有限群G中元素的个数称为G的阶，记为#G. #Zn = n B=0,1按照异或运算，#B = 2 #Roots (x3-1) = 3,子群中的单位元,在我们给出的例子中，子群的单位元就是包含它的群的单位元！ 事实上，对任意子
6、群都有这样的结论成立： 证明: 设H是G的一个子群，H中的单位元为eH，G 中的单位元为eG。那么，在H中，有eH 。eH = eH； 在G中，有eH 。eG = eH。从而可得到eH = eG。,子群中的逆元素,由于eH = eG，因此子群H中元素的逆元正是它在G中的逆元。,子群的判别 (1),子群的判别方法：,子群的判别(2),设H是群G的一个非空子集, H是G的子群的充要条件是对任意的元素x, y H, 有xy-1 H.,子群的判别 (3),当 H 是一个有限集合时，判别会变得容易些，只需满足封闭性即可：,拉格朗日定理,陪集（Coset）的定义,拉格朗日定理：,商群的概念,注: 此处，首
7、先应说明商群上的运算是一个二元运算。 实际上，商群上的运算可以看作集合之间的乘法运算，因为：,商群的例子(1),设 n0 是一个整数，在加法运算下，集合 nZ=0, n, -n, 2n, -2n,是Z的一个子群， 那么商群 Z/nZ=x+nZ | x为任一整数 有n个元素，即 Z/nZ=0+nZ,1+nZ,n-1+nZ 可以看出Z/nZ=Zn 事实上，Z/nZ是Zn的正式和标准记法，为了表达的方便， 用Zn代替Z/nZ。,商群的阶,商群的例子(2),群元素的阶,注：当一个元素g的阶ord(g)有限时，如果有gn =e成立，则必有ord(g)|n，即n一定是ord(g)的倍数。,例子（1）,在时钟群Z12中： 12是满足112=0 (mod 12)的最小正整数，所有ord(1)=12； 类似地，ord(2)=6，ord(3)=4，ord(4)=3， ord（5）=12。,例子（2）,0, 1关于异或运算形成一个群，ord(0)=1, ord(1)=2.,例子（3）,在群Roots(x3-1)中，ord(u)=ord(v)=3，ord(1)=1.,例子（4）,在Z中，ord(1)= 。,推论 （拉格朗日）,推论提供了群的阶和群中元素的阶之间的关系。 欧拉定理和费马小定理可以直接由推论得到： 欧拉函数： 欧拉定理： 费马小定理：,