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1、第二章 被控过程的数学建模,主讲：李晓媛 E-mail： 郑州大学电气工程学院自动化系,主要内容,被控过程数学模型 建模目的与方法 数学模型的典型参数 自衡能力及自衡过程典型对象数学模型 无自衡过程典型对象数学模型 响应曲线法建模及由阶跃响应曲线获取特征参数,控制系统的控制过程品质主要取决于系统的结构和系统中各组成环节的特性。 系统特性是指控制系统输入输出之间的关系。 环节特性是指环节本身输入输出之间的关系。,一、被控过程数学模型,过程在输入量（包括控制量和扰动量）作用下，其输出量（被控量）随输入量变化的数学函数关系表达式。 被控过程输入量与输出量之间的信号联系称为通道。 控制通道：控制作用与
2、被控变量之间的信号联系通道。 扰动通道：扰动作用与被控变量之间的信号联系通道。,被控过程分类：,1、多输入单输出模型,2、多输入多输出耦合模型,3、线性模型与非线性模型,4、集中参数与分布参数模型,5、时不变与时变模型,讨论的重点：单输入单输出、线性定常、集中参数模型,过程数学模型分类：,1、非参数模型 例如：阶跃响应曲线、脉冲响应曲线和频率特性曲线。,2、参数模型,（1）微分方程形式：,(3)传递函数形式,(2)差分方程形式：,二、建立过程数学模型的目的,设计过程控制系统； （即选择控制通道、确定控制方案、分析控制性能、探讨最佳工况、实现最优控制等） 整定调节器参数； 指导生产工艺设备设计；
3、 进行试验研究等。,三、被控过程数学模型的建立方法,（三）混合法,（一）机理演绎法（解析法） 即根据过程的内在机理，通过静态与动态物料平衡和能量平衡关系求取过程的数学模型。,（二）实验辨识法（响应曲线法、相关分析法、最小二乘法） 即根据过程输入、输出数据，通过过程辨识与参数估计的方法建立被控过程的数学模型。,总结：由于影响生产过程的因素较多，单纯用机理法建模较困难，一般用机理法的分析结论，指导测试结果的辨识。,（一）机理演绎法建模 1.机理法建模的基本原理 通过分析生产过程的内部机理，找出变量之间的关系。如物料平衡方程、能量平衡方程、化学反应定律、电路基本定律等，从而导出对象的数学模型。 2.
4、有自平衡能力对象的动态特性 过程在扰动（输入）作用下，平衡状态被破坏，依靠自身的能力，被控量逐渐达到新的平衡。该过程具有自衡能力，称自衡过程。 典型代表是水槽的水位特性。,（一）机理演绎法建模,2.1无滞后单容过程建模 只有一个储存容积的过程叫单容，一般工业对象的输入输出可以用一阶微分方程式来描述时，称为单容过程或一阶特性对象。 大部分工业对象可以用一阶特性描述。,如图是一个水槽，水经过阀门l不断地流入水槽，水槽内的水又通过阀门2不断流出。工艺上要求水槽的液位h保持一定数值。在这里，水槽就是被控对象，液位h就是被控变量。,如果想通过调节阀门1来控制液位，就应了解进水流量Q1变化时，液位h是如何
5、变化的。,此时，对象的输入量是流入水槽的流量Q1，对象的输出量是液位h。,机理建模步骤： 从水槽的物料平衡关系考虑，找出表征h与Q1关系的方程式。 设水槽的截面积为A Ql= Q2时，系统处于平衡状态，即静态。 这时液位稳定在h,假定某一时刻，阀门1突然开大1 ， 则Q1突然增大，不再等于Q2，于是 h也就开始变化。 Q1与Q2之差被囤积在水槽中，造成液位上升。,R2 阀门2阻力系数；K 液位过程放大系数；T 液位过程时间常数；C过程容量；,式中：,或,单容对象阶跃响应特性曲线：,2.2多容过程建模 有一个以上贮蓄容量的过程称为多容过程。 如图所示为双容对象。,由两个一阶惯性环节串联起来，输入
6、量是Q1 ，被控变量是第二个水槽的水位h2。,可以求出传递函数：,由两个一阶惯性特性乘积而成。又称二阶惯性。,式中： T1C1 R2 T2C2 R3 K R3,当输入量是阶跃增量Q1时，被控变量h2的反应（飞升）曲线呈S型。,通常将图中 称为容量滞后时间，不难想象，被控过程中串联的容积越多和越大，容量滞后时间也越长，这种过程也就越难控制。,与单容过程的阶跃响应曲线相比，曲线一开始变化比较慢，其原因是：由于增加了一个容积，增加了惯性或容量，同时也由于两个容积之间存在液体流通阻力，延缓了被控量的变化。,其阶跃响应曲线为：,被控过程的容量系数C越大，c越大；容量个数越多（阶数n越多），阶跃响应曲线上
7、升越慢。,切线在时间轴上截出的时间段c为容量滞后。,多容过程的传递函数为：,2.3 纯滞后 由信号或能量的传输时间造成的滞后现象，是纯粹的滞后。,如图是一个用蒸汽来控制水温的系统。蒸汽作用点与被调量测量点相隔 l 距离，蒸汽量阶跃增大引起的水温升高，要经过路程 l 后才反应出来。,v 水的流速；,纯滞后时间,有些对象容量滞后与纯滞后同时存在，很难严格区分。常把两者合起来，统称为滞后时间,= o +c,自平衡的概念及其实质,所谓有自平衡能力的过程是指被控过程在干扰作用下，原有的平衡状态被打破后，在没有人或控制装置的干预下，自身可以恢复到新的平衡状态，这种过程称为有自平衡能力的过程（如例1），否则
8、称为无自平衡能力的过程（如例2）。,具有自平衡能力的过程其输出和输入之间有负反馈，如例1的方块图,被控过程数学模型的几个参数,放大系数K： 在数值上等于对象处于稳定状态时输出变化量与输入变化量之比： 放大系数是描述对象静态特性的参数。,被控过程数学模型的几个参数,时间常数T ： 指当对象受到阶跃输入作用后，被控变量如果保持初始速度变化，达到新的稳态值所需的时间。或： 当对象受到阶跃输入作用后，被控变量达到新的稳态值的63.2%所需时间。 反映被控变量变化快慢的一个重要动态参数。,被控过程数学模型的几个参数,阻力R ： 物质或能量的转移，都要克服阻力，阻力的大小决定于不同的势头和流率。 电阻、流
9、阻、热阻等 阻力R跟放大系数K和时间常数T有关。,被控过程数学模型的几个参数,容量C： 生产设备和传输管道都具有一定储存物质或能量的能力，被控对象储存能力的大小，称为容量或容量系数。 电容、液容、热容、气容等 容量C是一个动态参数，只跟时间常数T有关，不影响放大系数K。,被控过程数学模型的几个参数,滞后时间： 是纯滞后时间0和容量滞后C的总和。 纯滞后的产生一般是由于介质的输送或热的传递需要一段时间引起的。 容量滞后一般是因为物料或能量的传递需要通过一定的阻力而引起的。 滞后时间是反映对象动态特性的另一个重要参数。,Q：对于同一个液位系统，通过调节负载阀开度使流阻发生变化，过程在相同的阶跃输入
10、下的响应曲线如下图所示，则系统的流阻满足什么关系？,Q：对于3个不同的液位系统，通过调节负载阀开度使流阻相等，即，如果系统在相同的阶跃输入下的响应曲线如下图所示，则3个系统的容量满足什么关系？,3.无自平衡能力对象的动态特性 过程在扰动（输入）作用下，平衡状态被破坏，依靠自身的能力不能使被控量逐渐达到新的平衡。该过程无自衡能力，称非自衡过程。 3.1单容过程,其输入输出特性：,积分时间常数,而无自平衡能力的过程其输出和输入之间无反馈连接，如例2的方块图。,3.2多容过程,Ta双容水箱积分过程时间常数，Ta=A2 T第一只水箱的时间常数；,输入-输出特性：,3.3滞后过程,由对象的阶跃响应曲线基
11、本可以辨识对象的特性模型结构和特性参数。,无自衡过程单容、双容及纯滞后对象数学模型,（二） 实验测试法建模 根据工业过程中某因果变量的实测数据，进行数学处理后得到的数学模型。 测定对象特性的实验方法主要有三种： （1）时域法输入阶跃或方波信号，测对象的飞升曲线或方波响应曲线。 （2）频域法输入正弦波或近似正弦波，测对象的频率特性。 （3）统计相关法输入随机噪音信号，测对象参数的变化。,（二） 实验测试法建模,1、依据阶跃响应曲线建模（阶跃响应法）,1）定义：通过操作被控过程的调节阀，使过程的输入产生一个阶跃变化，测记被控量随时间变化的曲线（称响应曲线），再依据响应曲线，求出被控过程的输出与输入
12、的数学关系。,（二） 实验测试法建模,（4）一次试验后，应使被控过程恢复到原来工况并稳定一定时间， 再作第二次试验；,（5）输入阶跃变化既不能太大，也不能太小，一般取正常输入信号 最大幅值的515。,（二） 实验测试法建模,3）常见的数学模型结构,1.阶跃响应曲线的直接测定,在被控过程处于开环、稳态时，将选定的输入量做一阶跃变化（如将阀门开大） ，测试记录输出量的变化数据，所得到的记录曲线就是被控过程的阶跃响应曲线。,有些工艺对象不允许长时间施加较大幅度的扰动，那么施加脉宽为t的方波脉冲，得到的响应曲线称为“方波响应”。,矩形脉冲法测定被控过程的阶跃响应曲线,一个是在t = 0时加入的正阶跃信
13、号x1（t） 另 一个是在 t =a 时加入的负阶跃信号x2（t） x（t）= x1（t）+ x2（t） 或者：xp（t）= xs（t）+ xs（t-a）,其中， x2（t）= - x1（t -a）,方波响应可以转换成飞升曲线。 原理：方波信号是两个阶跃信号的代数和。,根据此式，方波响应可逐点拆分为飞升曲线y1（t）和 y2（t）。,对应的响应也为两个 阶跃响应之和： y（t）= y1（t）+ y2（t） = y1（t）- y1（t-a） y1 （t）= y（t）+ y1（t-a） 或者： ys （t）= yp（t）+ ys（t-a）,例题采用矩形方波法测定某热工对象的动态特性，所用方波宽度为
14、 t0 =5min。方波幅值为，测试记录如下表所示,（三）由阶跃响应曲线确定过程的传递函数,无滞后一阶对象（单容）传递函数 1.计算法,由,T0计算方法很多,还可根据测试数据标准化计算求得：,由以上求得的 ，若有差异，则可取平均值。,在标准曲线上选两点,校验,2.半对数图解法,当t=T0时,代入上式计算,校验,（三）由阶跃响应曲线确定过程的传递函数,纯滞后一阶对象（单容）传递函数 1.切线法,直观，不需要计算，但是人为误差大。,有滞后的一阶惯性环节，单位阶跃响应为：,在无量纲飞升曲线上，选取t1、t2两时刻的响应 y*（t）的坐标值：,解方程组,2.计算法（两点法）,得,y*（t1）= 0.3
15、93 y*（t2）= 0.632,= 2 t1 t2,T = 2（t1 - t2）,为计算方便，取特殊两点：,则,校验,t3 , y*（t3）= 0 t4=0.8T+ , y*（t4）= 0.55 t5=2T+ , y*（t5）= 0.865,（三）由阶跃响应曲线确定过程的传递函数,3.半对数图解法,做平移，成为一阶无滞后对象阶跃响应曲线。,大多数工业对象的阶跃响应呈S曲线，可以用下列环节来近似描述：,或,有自平衡能力二阶或高阶对象传递函数,在阶跃信号X0作用下，二阶过程的阶跃响应为：,如果T1T2， 求出T1。 当t较小时，,二阶对象（双容）传递函数 1.半对数图解法,2.直接作图，公式计算
16、,首先把数据标准化（K01）,拐点处A有,由图可知,拐点处A斜率,由图可知,3.两点法,近似解为：,根据两点求取t1和 t2,n的确定如下表所示：,连续的有自平衡热工对象的求解,求解 定阶次,总结：,无自衡过程的参数确定方法,无时延自衡过程的脉冲转变成 阶跃响应曲线,无自衡过程的参数确定方法,单容积分对象,当 时，,校验,对于少数无自衡特性的对象，可用带滞后的积分特性近似描述：,由对象的阶跃响应曲线基本可以辨识对象的特性模型结构和特性参数。,无自衡过程的参数确定方法,纯滞后单容对象,当 时，,此时有：,设,则有,当 时，,依据 的变化曲线，按照一阶时延环节的两点法确定各参数。,2、依据矩阵脉冲
17、响应法求取过程的数学模型,理由生产实际不允许有较长时间和较大幅度的输入变化， 以防被控量变化幅度超过允许范围。,方法将矩阵脉冲响应曲线转换成阶跃响应曲线，然后确 定相应参数,依据最小二乘法辨识过程的差分方程模型,1）单输入单输出过程的模型结构,2）问题,3）将过程模型化成最小二乘格式，即,当 ，则,4）最小二乘问题的解- 一次完成算法,设,已知,则,例：考虑如下的仿真对象,5）最小二乘问题的解递推算法,基本思想：新的估计值 老的估计值 修正项 依观测次序的递推算法：每获取一次新的观测数据就修正一次参数估计值。,算法推导：,令,则,可得：,小结：最小二乘参数估计递推算法,初始值的选取：,（1）根据一批数据，利用一次完成算法，求得,（2）,停机条件：,6）改进型递推最小二乘法,（1）加权最小二乘法,一次完成算法：,递推算法：,（2）遗忘因子最小二乘法,则,2）递推算法的计算机程序设计流程图(见下页图）,试验数据取完否,习题：,1、单容过程如图所示，假定输入为 ，输出为 h。试问：该过程是有自平衡能力的过程还是无自平衡能力的过程，为什么？（要求列写数学模型，通过输入输出特性进行分析）,2、多容过程如图所示，假定输入量为 ， 为恒定，h2为输出量， 为纯滞后时间，其余参量物理意义同前。试列出过程的微分方程组；画出过程的方块图；求出传递函数；定性画出单位阶跃飞升曲线。,返回,小结,