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1、全等三角形作辅助线经典例题常见辅助线的作法有以下几种:1) 遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”2) 遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3) 遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”;(遇垂线及角平分线时延长垂线段,构造等腰三角形)5) 截长法与补短法,具体做法是在某条
2、线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答一、倍长中线(线段)造全等1:已知,如图ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是_.2:如图,ABC中,E、F分别在AB、AC上,DEDF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.3:如图,ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:AD平分BAE.中考应用1、以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt,连
3、接DE,M、N分别是BC、DE的中点探究:AM与DE的位置关系及数量关系(1)如图 当为直角三角形时,AM与DE的位置关系是 ,线段AM与DE的数量关系是 ;(2)将图中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0AD+AE.五、旋转1:正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求EAF的度数. 2:D为等腰斜边AB的中点,DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。(1)当绕点D转动时,求证DE=DF。(2)若AB=2,求四边形DECF的面积。3.如图,是边长为3的等边三角形,是等腰三角形,且,以D为顶点做一个角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则
4、的周长为 ;中考应用:1、已知四边形中,:,绕点旋转,它的两边分别交(或它们的延长线)于(1)当绕点旋转到时(如图1),易证(2)当绕点旋转到时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段,又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明(图1)(图2)(图3)2、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为外一点,且,BD=DC. 探究:当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系图1 图2 图3(I)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是 ; 此时 ;
5、 (II)如图2,点M、N边AB、AC上,且当DMDN时,猜想(I)问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明; (III) 如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,若AN=,则Q= (用、L表示)六、构造全等例1: 已知:如图,在RtABC中,ACB=90,AC=BC,D为BC的中点,CEAD于E,交AB于F,连接DF求证:ADC=BDF2如图,ABC中,AB=AC,过点A作GEBC,角平分线BD、CF相交于点H,它们的延长线分别交GE于点E、G试在图10中找出3对全等三角形,并对其中一对全等三角形给出证明 3已知ABC,AB=AC,E、F分别为AB和AC延长线上的点,且BE=CF
6、,EF交BC于G求证:EG=GF 4 已知:ABC中,BD=CD,12求证:AD平分BAC说明:遇到有关角平分线的问题时,可引角的两边的垂线,先证明三角形全等,然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等,再利用角的平分线性质得出两角相等(2)利用角的平分线构造全等三角形:过角平分线上一点作两边的垂线段练习:如图22,ABCD,E为AD上一点,且BE、CE分别平分ABC、BCD求证:AE=ED以角的平分线为对称轴构造对称图形例: 如图,在ABC中,AD平分BAC,C=2B求证:AB=AC+CD分析:由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴,因此在AB上截取AE=AC,连接DE,我们就能构造出一对全等三
7、角形,从而将线段AB分成AE和BE两段,只需证明BE=CD就可以了延长角平分线的垂线段,使角平分线成为垂直平分线例: 如图,在ABC中,AD平分BAC,CEAD于E求证:ACE=B+ECD分析:注意到AD平分BAC,CEAD,于是可延长CE交AB于点F,即可构造全等三角形(3)利用角的平分线构造等腰三角形如图,在ABC中,AD平分BAC,过点D作DEAB,DE交AC于点E易证AED是等腰三角形因此,我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线,构造等腰三角形 例 如图,在ABC中,AB=AC,BD平分ABC,DEBD于D,交BC于点E求证:CD=BE练习:1如图,在ABC中,B=90,AD为BA
8、C的平分线,DFAC于F,DE=DC求证:BE=CF 2已知:如图,AD是ABC的中线,DEAB于E,DFAC于F,且BE=CF求证:(1)AD是BAC的平分线;(2)AB=AC 3在ABC中,BAC=60,C=40,AP平分BAC交BC于P,BQ平分ABC交AC于Q求证:AB+BP=BQ+AQ 4如图,在ABC中,AD平分BAC,AB=AC+CD求证:C=2B 5已知,E为ABC的A的平分线AD上一点,ABAC求证:AB-ACEB-EC 6如图,在四边形ABCD中,BCBA,AD=CD,BD平分ABC 求证:A+C=1807如图所示,已知ADBC,1=2,3=4,直线DC过点E作交AD于点D
9、,交BC于点C求证:AD+BC=AB 8已知,如图,ABC中,ABC=90,AB=BC,AE是A的平分线,CDAE于D求证:CD=AE 9ABC中,AB=AC,A=100,BD是B的平分线求证:AD+BD=BC 10如图36,B和C的平分线相交于点F,过点F作DEBC交AB于点D,交AC于点E,若BD+CE=9,则线段DE的长为()A9 B8 C7 D6 11如图,ABC中,AD平分BAC,AD交BC于点D,且D是BC的中点求证:AB=AC 12已知:如图,ABC中,AD是BAC的平分线,E是BC的中点,EFAD,交AB于M,交CA的延长线于F求证:BM=CF 1.如图,在RtABC中,AB=
10、AC,D、E是斜边BC上两点,且DAE=450,将ADC绕点A顺时针旋转900后,得到AFB,连接,下列结论:();();();()其中正确的是()A(2)(4) B(1)(4) C(2) (3) D(1) (3)2.在ABC中,AB6,AC8,BC10,P为边BC上一动点,PEAB于E,PFAC于F,M为EF中点,则AM的最小值为 3.如图,在等腰梯形ABCD中,C=60,ADBC,且AD=DC,E、F分别在AD、DC的延长线上,且DE=CF,AF、BE交于点P .(1)求证:AF=BE;(2)请你猜测BPF的度数,并证明你的结论 .4.已知:如图,在ABC中,ACB=,于点D,点E 在AC
11、上,CE=BC,过E点作AC的垂线,交CD的延长线于点F .求证:AB=FC5如图,在四边形ABCD中,AB=BC,BF是ABC的平分线,AFDC,连接AC、CF,求证:CA是DCF的平分线.6.如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上移动,但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等,问在E、F移动过程中:(1)求证:EAF = 45o ; (2)ECF的周长是否有变化?请说明理由.7.如图,ABC中,ABC=BAC=45,点P在AB上,ADCP,BECP,垂足分别为D、E ,已知DC=2,求BE的长。ABCDEF8如图,在矩形ABCD中,AE平分DAB交DC于点E,连接BE,过E作
12、EFBE交AD于E.(1)DEF和CBE相等吗?请说明理由;来源:学。科。网(2)请找出图中与EB相等的线段(不另添加辅助线和字母),并说明理由.9.将一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张纸片,再将这两张三角形纸片摆放成如图所示的形式,使点B、F、C、D在同一条直线上。(1)求证:ABED。(2)若PB=BC,请找出图中与此条件有关的一对全等三角形,并给予证明。10.如图,ACB和ECD都是等腰直角三角形,ACB=ECD=900,D为AB边上一点。求证:(1)ACEBCD; (2)。11已知:PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图,当APB=45时,求AB及PD的长;(2)当APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应APB的大小.