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1、- 1 - 初二数学（下）应知应会的知识点 二次根式 1二次根式：一般地，式子叫做二次根式.注意： （1）若这个条件不成立，则不是二 次根式； （2）是一个重要的非负数，即；0. 2重要公式： （1）,（2）；注意使用. 3积的算术平方根：，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积； 注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求. 4二次根式的乘法法则：. 5二次根式比较大小的方法： （1）利用近似值比大小； （2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小； （3）分别平方，然后比大小. 6 商的算术平方根：， 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平 方根. 7二次根式
2、的除法法则： （1）； （2）； （3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因 式，使分母变为整式. 8常用分母有理化因式：，它们也 叫互为有理化因式. 9最简二次根式： （1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式， 被开方数的因数是整数，因式是整式， 被开 方数中不含能开的尽的因数或因式； （2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母； （3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式； （4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式. - 2 - 10二次根式化简题的几种类型： （
3、1）明显条件题； （2）隐含条件题； （3）讨论条件题. 11同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次 根式. 12二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的 一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用； （2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时 转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等. 四边形几何A 级概念： （要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明） 1四边形的内角和与外角和定理： （1）四边形的内
4、角和等于360； （2）四边形的外角和等于360. 几何表达式举例： (1) A+B+C+D=360 (2) 1+2+3+4=360 2多边形的内角和与外角和定理： （1）n边形的内角和等于(n-2)180； （2）任意多边形的外角和等于360. 几何表达式举例： 略 3平行四边形的性质： 因为ABCD是平行四边形 几何表达式举例： (1) ABCD是平行四边形 AB CDAD BC (2) ABCD是平行四边形 AB=CDAD=BC (3) ABCD是平行四边形 ABC=ADC DAB=BCD (4) ABCD是平行四边形 OA=OC OB=OD (5) ABCD是平行四边形 CDA+BAD
5、=180 - 3 - 4.平行四边形的判定： . 几何表达式举例： (1) AB CDAD BC 四边形ABCD是平行四边形 (2) AB=CDAD=BC 四边形ABCD是平行四边形 (3) 5.矩形的性质： 因为ABCD是矩形 (2)(1)(3) 几何表达式举例： (1) (2) ABCD是矩形 A=B=C=D=90 (3) ABCD是矩形 AC=BD 6. 矩形的判定： 四边形ABCD是矩形. (1)(2)(3) 几何表达式举例： (1) ABCD是平行四边形 又A=90 四边形ABCD是矩形 (2) A=B=C=D=90 四边形ABCD是矩形 (3) 7菱形的性质： 因为ABCD是菱形
6、几何表达式举例： (1) (2) ABCD是菱形 AB=BC=CD=DA (3) ABCD是菱形 ACBDADB=CDB - 4 - 8菱形的判定： 四边形四边形ABCD 是菱 形. 几何表达式举例： (1) ABCD是平行四边形 DA=DC 四边形ABCD是菱形 (2) AB=BC=CD=DA 四边形ABCD是菱形 (3) ABCD是平行四边形 ACBD 四边形ABCD是菱形 9正方形的性质： 因为ABCD是正方形 （1）（2） （3） 几何表达式举例： (1) (2) ABCD是正方形 AB=BC=CD=DA A=B=C=D=90 (3) ABCD是正方形 AC=BDACBD 10正方形的
7、判定： 四边形ABCD 是正方形. (3)ABCD 是矩形 又AD=AB 四边形ABCD是正方形 几何表达式举例： (1) ABCD是平行四边形 又AD=ABABC=90 四边形ABCD是正方形 (2) ABCD是菱形 又ABC=90 四边形ABCD是正方形 11等腰梯形的性质：几何表达式举例： - 5 - 因为ABCD是等腰梯形 (1) ABCD是等腰梯形 AD BCAB=CD (2) ABCD是等腰梯形 ABC=DCB BAD=CDA (3) ABCD是等腰梯形 AC=BD 12等腰梯形的判定： 四边形ABCD是等腰梯形 (3)ABCD是梯形且AD BC AC=BD ABCD 四边形是等腰
8、梯形 几何表达式举例： (1) ABCD是梯形且AD BC 又AB=CD 四边形ABCD是等腰梯形 (2) ABCD是梯形且AD BC 又ABC=DCB 四边形ABCD是等腰梯形 13平行线等分线段定理与推论： （1）如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其 它直线上截得的线段也相等； （2）经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰； （如图） （3）经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. （如图） (2)(3) 几何表达式举例： (1) (2) ABCD是梯形且AB CD 又DE=EAEF AB CF=FB (3) AD=DB 又DE BC AE=EC 14三角形
9、中位线定理： 三角形的中位线平行第三边， 并且等于 它的一半. 几何表达式举例： AD=DB AE=EC DE BC 且DE=BC 15梯形中位线定理： 梯形的中位线平行于两底， 并且等于两 几何表达式举例： ABCD 是梯形且AB CD - 6 - 底和的一半.又DE=EACF=FB EF AB CD 且EF=(AB+CD) 几何几何B B级概念级概念： （要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题） 一基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四边形，矩形，菱 形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，
10、直角梯形，三角形中位线，梯形中位线. 二定理：中心对称的有关定理 1关于中心对称的两个图形是全等形. 2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分. 3如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称. 三 公式： 1S菱形 =ab=ch.（a、b为菱形的对角线 ,c为菱形的边长 ，h为c边上的高） 2S平行四边形 =ah. a为平行四边形的边，h为a上的高） 3S梯形 =（a+b）h=Lh.（a、b为梯形的底，h为梯形的高,L为梯形的中位线） 四 常识： 1若n是多边形的边数，则对角线条数公式是：. 2规则图形折叠一般“出一对全等
11、，一对相似”. 3如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系. 4常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形 ；仅是中 心对称图形的有： 平行四边形 ； 是双对称图形的有： 线段、 矩形、 菱形、 正方形、 正偶边形、 圆 . 注意：线段有两条对称轴. 5梯形中常见的辅助线： - 7 - 6几个常见的面积等式和关于面积的真命题： 如图：若ABCD 是平行四边 形， 且AEBC， AFCD 那 么： AEBC=AFCD. 如图： 若ABC 中， ACB=90， 且CD AB，那么： ACBC=CDAB. 如图：若ABCD 是菱形， 且BEAD，那么： AC
12、BD=2BEAD. 如图：若ABC 中，且 BEAC，ADBC，那 么： ADBC=BEAC. 如图：若ABCD 是梯形，E、 F是两腰的中点， 且AGBC， 那么： EFAG=（AD+BC）AG. 如图： . 如图：若AD BC，那么： （1）SABC =SBDC； （2）SABD =SACD. 相似形相似形几何几何A A级概念级概念： （要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明） - 8 - 1“平行出比例”定理及逆定理： （1）平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对 应线段成比例； （2）如果一条直线截三角形的两边（或两边的
13、延长线）所得的对应线 段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. （1） （3）（2） 几何表达式举例： (1) DE BC (2) DE BC (3) DE BC 2比例的性质： （1）比例的基本性质： a:b=c:dad=bc ； （2）合比性质：如果那么； （3）等比性质：如果那么. 3定理： “平行”出相似 平行于三角形一边的直线和其它两边 （或两边的延长线）相交，所构成的三角形 与原三角形相似. 几何表达式举例： DE BC ADEABC 4定理： “AA”出相似几何表达式举例： - 9 - 如果一个三角形的两个角与另一个三 角形的两个角对应相等， 那么这两个三角形 相似. A=A
14、 又AED=ACB ADEABC 5定理： “SAS”出相似 如果一个三角形的两条边与另一个 三角形的两条边对应成比例，并且夹角相 等，那么这两个三角形相似. 几何表达式举例： 又A=A ADEABC 6 “双垂” 出相似及射影定理： （1）直角三角形被斜边上的高分成的两个 直角三角形和原三角形相似； （2） 双垂图形中， 两条直角边是它在斜边上 的射影和斜边的比例中项， 斜边上的高 是它分斜边所成两条线段的比例中项. 几何表达式举例： (1) ACCB 又CDAB ACD CBDABC (2) ACCBCD AB AC2=ADAB BC2=BDBA DC2=DADB 7相似三角形性质： （1
15、）相似三角形对应角相等，对应边成比例； （2）相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线、周长的比都等于相似比； （3）相似三角形面积的比，等于相似比的平方. (1) ABCEFG BAC=FEG (2) ABCEFG 又AD、EH 是对应中线 (3) ABCEFG 几何几何B B级概念级概念： （要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题） 一基本概念：成比例线段、第四比例项、比例中项、黄金分割、相似三角形、相似比. - 10 - 二定理： 1平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例. 2 “平行”出比例定理：
16、平行于三角形的一边， 并且和其它两边相交的直线， 所截得的三角形的三边与原三角 形三边对应成比例. 3 “SSS”出相似定理： 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例， 那么这两个三角形相 似. 4 “HL”出相似定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对 应成比例，那么这两个直角三角形相似. 三常识： 1三角形中，作平行线构造相似形和已知中点构造中位线是常用辅助线. 2证线段成比例的题中，常用的分析方法有： （1）直接法：由所要求证的比例式出发，找对应的三角形（一对或两对） ，判断并证明找到的三角形相似， 从而使比例式得证； （2）等线段
17、代换法：由所证的比例式出发，但找不到对应的三角形，可利用图形中的相等线段对所证比例式 中的线段（一条或几条）进行代换，再利用新的比例式找对应的三角形证相似或转化； （3）等比代换法（即中间比法） ：用上述的直接法或间接法都无法解决的证比例线段的问题，且题目中有两 对或两对以上的相似形， 可考虑用等比代换法， 两对相似形的公共边或图形中的相等线段往往是中间比， 即要证时，可证且从而推出； （4）线段分析法：利用相似形的对应边成比例列方程，并求线段长是常见题目，这类题目中如没有现成的比 例式，可由题目中的已知线段和所求线段出发，找它们所围成的三角形，若能证相似，即可利用对应边 成比例列方程求出线段长. 3相似形有传递性；即： 1223 13