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1、初中数学组卷一解答题（共30小题）1（2014防城港）如图的O中，AB为直径，OCAB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作O的切线交于点G，并与AB延长线交于点E（1）求证：1=2（2）已知：OF：OB=1：3，O的半径为3，求AG的长2（2013桂林）如图，在ABC中，C=90，BAC的平分线AD交BC于D，过点D作DEAD交AB于E，以AE为直径作O（1）求证：点D在O上；（2）求证：BC是O的切线；（3）若AC=6，BC=8，求BDE的面积3（2011抚顺）如图，AB为O的直径，弦CD垂直平分OB于点E，点F在AB延长线上，AFC=30（1）求证：CF为O的切线（2）若半径ONAD于
2、点M，CE=，求图中阴影部分的面积4（2015丹东）如图，AB是O的直径，=，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作O的切线交AB的延长线于点C（1）若OA=CD=2，求阴影部分的面积；（2）求证：DE=DM5（2015临沂）如图，点O为RtABC斜边AB上一点，以OA为半径的O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD（1）求证：AD平分BAC；（2）若BAC=60，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留）6（2014孝感）如图，AB是O的直径，点C是O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分ACB，交AB于点F，连接BE（1）求证
3、：AC平分DAB；（2）求证：PCF是等腰三角形；（3）若tanABC=，BE=7，求线段PC的长7（2015遂宁）如图，AB为O的直径，直线CD切O于点D，AMCD于点M，BNCD于N（1）求证：ADC=ABD；（2）求证：AD2=AMAB；（3）若AM=，sinABD=，求线段BN的长8（2015菏泽）如图，在ABC中，BA=BC，以AB为直径的O分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线于O的切线AF交于点F（1）求证：ABC=2CAF；（2）若AC=2，CE：EB=1：4，求CE的长9（2014镇江）如图，O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，EAB=ADB（1）求证
4、：EA是O的切线；（2）已知点B是EF的中点，求证：以A、B、C为顶点的三角形与AEF相似；（3）已知AF=4，CF=2在（2）条件下，求AE的长10（2015赤峰）如图，AB为O的直径，PD切O于点C，与BA的延长线交于点D，DEPO交PO延长线于点E，连接PB，EDB=EPB（1）求证：PB是圆O的切线（2）若PB=6，DB=8，求O的半径11（2014潍坊）如图，在梯形ABCD中，ADBC，B=90，以AB为直径作O，恰与另一腰CD相切于点E，连接OD、OC、BE（1）求证：ODBE；（2）若梯形ABCD的面积是48，设OD=x，OC=y，且x+y=14，求CD的长12（2015宁夏）如
5、图，AC是O的直径，BC是O的弦，点P是O外一点，连接PB、AB，PBA=C（1）求证：PB是O的切线；（2）连接OP，若OPBC，且OP=8，O的半径为2，求BC的长13（2015聊城）如图，已知AB是O的直径，点P在BA的延长线上，PD切O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E（1）求证：AB=BE；（2）若PA=2，cosB=，求O半径的长14（2013沈阳）如图，OC平分MON，点A在射线OC上，以点A为圆心，半径为2的A与OM相切于点B，连接BA并延长交A于点D，交ON于点E（1）求证：ON是A的切线；（2）若MON=60，求图中阴影部分的
6、面积（结果保留）15（2015潍坊）如图，在ABC中，AB=AC，以AC为直径的O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DFAB，垂足为F，连接DE（1）求证：直线DF与O相切；（2）若AE=7，BC=6，求AC的长16（2014新疆）如图，AB是O的直径，点F，C是O上两点，且=，连接AC，AF，过点C作CDAF交AF延长线于点D，垂足为D（1）求证：CD是O的切线；（2）若CD=2，求O的半径17（2015东营）已知在ABC中，B=90，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E（1）求证：ACAD=ABAE；（2）如果BD是O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC
7、=2时，求AC的长18（2015辽阳）如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O分别交BC，AC于点D，E，DGAC于点G，交AB的延长线于点F（1）求证：直线FG是O的切线；（2）若AC=10，cosA=，求CG的长19（2015包头）如图，AB是O的直径，点D是上一点，且BDE=CBE，BD与AE交于点F（1）求证：BC是O的切线；（2）若BD平分ABE，求证：DE2=DFDB；（3）在（2）的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长和O的半径20（2015北海）如图，AB、CD为O的直径，弦AECD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点
8、P，使PED=C（1）求证：PE是O的切线；（2）求证：ED平分BEP；（3）若O的半径为5，CF=2EF，求PD的长21（2010兰州）如图，已知AB是O的直径，点C在O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，COB=2PCB（1）求证：PC是O的切线；（2）求证：BC=AB；（3）点M是的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MNMC的值22（2015锦州）如图，ABC中，以AC为直径的O与边AB交于点D，点E为O上一点，连接CE并延长交AB于点F，连接ED（1）若B+FED=90，求证：BC是O的切线；（2）若FC=6，DE=3，FD=2，求O的直径23（2015攀枝花）如图
9、，在O中，AB为直径，OCAB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED（1）求证：DE是O的切线；（2）若OF：OB=1：3，O的半径R=3，求的值24（2015营口）如图，点P是O外一点，PA切O于点A，AB是O的直径，连接OP，过点B作BCOP交O于点C，连接AC交OP于点D（1）求证：PC是O的切线；（2）若PD=，AC=8，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，若点E是的中点，连接CE，求CE的长25（2015甘孜州）如图，ABC为等边三角形，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，F两点，过点D作DEAC，垂足为点E（1）判断DE与O的位置关系，并证
10、明你的结论；（2）过点F作FHBC，垂足为点H，若AB=4，求FH的长（结果保留根号）26（2013丹东）如图，CD是O的直径，OBCD交O于点B，连接CB，AB是O的弦，AB交CD于点E，F是CD的延长线上一点且AF=EF（1）判断AF和O的位置关系并说明理由（2）若ABC=60，BC=1cm，求阴影部分的面积（结果保留根号）27（2001上海）如图，在RtABC中，B=90，A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，以DB的长为半径画圆求证：（1）AC是D的切线；（2）AB+EB=AC28（2011阜新）如图，ABC内接于O，AB为O直径，AC=CD，连接AD交BC于点
11、M，延长MC到N，使CN=CM（1）判断直线AN是否为O的切线，并说明理由；（2）若AC=10，tanCAD=，求AD的长29（2012镇江）如图，AB是O的直径，DFAB于点D，交弦AC于点E，FC=FE（1）求证：FC是O的切线；（2）若O的半径为5，cosECF=，求弦AC的长30（2014辽阳）如图，在ABC，AB=AC，以AB为直径的O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且CBF=CAB（1）求证：直线BF是O的切线；（2）若AB=5，sinCBF=，求BC和BF的长2016年03月24日543705307的初中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（201
12、4防城港）如图的O中，AB为直径，OCAB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作O的切线交于点G，并与AB延长线交于点E（1）求证：1=2（2）已知：OF：OB=1：3，O的半径为3，求AG的长【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得ODDE，则2+ODC=90，而C=ODC，则2+C=90，由OCOB得C+3=90，所以2=3，而1=3，所以1=2；（2）由OF：OB=1：3，O的半径为3得到OF=1，由（1）中1=2得EF=ED，在RtODE中，DE=x，则EF=x，OE=1+x，根据勾股定理得32+x2=（x+1）2，解得x=4，则DE=4，O
13、E=5，根据切线的性质由AG为O的切线得GAE=90，再证明RtEODRtEGA，利用相似比可计算出AG【解答】（1）证明：连接OD，如图，DE为O的切线，ODDE，ODE=90，即2+ODC=90，OC=OD，C=ODC，2+C=90，而OCOB，C+3=90，2=3，1=3，1=2；（2）解：OF：OB=1：3，O的半径为3，OF=1，1=2，EF=ED，在RtODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，OD2+DE2=OE2，32+x2=（x+1）2，解得x=4，DE=4，OE=5，AG为O的切线，AGAE，GAE=90，而OED=GEA，RtEODRtEGA，=，即=，AG
14、=6【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质2（2013桂林）如图，在ABC中，C=90，BAC的平分线AD交BC于D，过点D作DEAD交AB于E，以AE为直径作O（1）求证：点D在O上；（2）求证：BC是O的切线；（3）若AC=6，BC=8，求BDE的面积【考点】切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质【专题】证明题；压轴题【分析】（1）连接OD，由DO为直角三角形斜边上的中线，得到OD=OA=OE，可得出点D在圆O上；（2）由AD为角平分线，得到一对角相等，再由OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等
15、，利用内错角相等两直线平行得到OD与AC平行，根据两直线平行同位角相等即可得到ODB为直角，即BC与OD垂直，即可确定出BC为圆O的切线；（3）过E作EH垂直于BC，由OD与AC平行，得到ACB与ODB相似，设OD=OA=OE=x，表示出OB，由相似得比例列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OD与BE的长，进而确定出BD的长，再由BEH与ODB相似，由相似得比例求出EH的长，BED以BD为底，EH为高，求出面积即可【解答】（1）证明：连接OD，ADE是直角三角形，OA=OE，OD=OA=OE，点D在O上；（2）证明：AD是BAC的角平分线，CAD=DAB，OD=OA，OAD=ODA
16、，CAD=ODA，ACOD，C=ODB=90，BC是O的切线；（3）解：在RtACB中，AC=6，BC=8，根据勾股定理得：AB=10，设OD=OA=OE=x，则OB=10x，ACOD，ACBODB，=，=，解得：x=，OD=，BE=102x=10=，=，即=，BD=5，过E作EHBD，EHOD，BEHBOD，=，EH=，SBDE=BDEH=【点评】此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键3（2011抚顺）如图，AB为O的直径，弦CD垂直平分OB于点E，点F在AB延长线上，AFC=30（1）求证：CF为O的切线（2）若半径
17、ONAD于点M，CE=，求图中阴影部分的面积【考点】切线的判定；扇形面积的计算【专题】计算题；压轴题【分析】（1）由CD垂直平分OB，得到E为OB的中点，且CD与OB垂直，又OB=OC，可得OE等于OC的一半，在直角三角形OEC中，根据锐角三角函数的定义，得到sinECO的值为，可得ECO为30，进而得到EOC为60，又CFO为30，可得OCF为直角，由OC为圆O的半径，可得CF为圆的切线；（2）由（1）得出的COF=60，根据对称性可得EOD为60，进而得到DOA=120，由OA=OD，且OM与AD垂直，根据“三线合一”得到DOM为60，在直角三角形OCE中，由CE的长及ECO=30，可求出
18、半径OC的长，又在直角三角形OMD中，由MDO=30，半径OD=2，可求出MD及OM的长，然后利用扇形ODN的面积减去三角形ODM的面积即可求出阴影部分的面积【解答】（1）证明：CD垂直平分OB，OE=OB，CEO=90，OB=OC，OE=OC，在RtCOE中，sinECO=，ECO=30，EOC=60，CFO=30，OCF=90，又OC是O的半径，CF是O的切线；（2）解：由（1）可得COF=60，由圆的轴对称性可得EOD=60，DOA=120，OMAD，OA=OD，DOM=60在RtCOE中，CE=，ECO=30，cosECO=，OC=2，在RtODM中，OD=2，ADO=30，OM=OD
19、sin30=1，MD=ODcos30=，S扇形OND=，SOMD=OMDM=，S阴影=S扇形ONDSOMD=【点评】此题考查了切线的判定，直角三角形的性质，锐角三角形函数定义，等腰三角形的性质，以及直角三角形和扇形面积的公式，切线的判定方法为：有点连接证垂直；无点作垂线，证明垂线段长等于半径对于不规则图形的面积的求法，可利用转化的思想，把不规则图形的面积化为规则图形来求，例如本题就是用扇形的面积减去直角三角形的面积得到阴影部分面积的4（2015丹东）如图，AB是O的直径，=，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作O的切线交AB的延长线于点C（1）若OA=CD=2，求阴影部分的面
20、积；（2）求证：DE=DM【考点】切线的性质；扇形面积的计算【专题】证明题【分析】（1）连接OD，根据已知和切线的性质证明OCD为等腰直角三角形，得到DOC=45，根据S阴影=SOCDS扇OBD计算即可；（2）连接AD，根据弦、弧之间的关系证明DB=DE，证明AMDABD，得到DM=BD，得到答案【解答】（1）解：如图，连接OD，CD是O切线，ODCD，OA=CD=2，OA=OD，OD=CD=2，OCD为等腰直角三角形，DOC=C=45，S阴影=SOCDS扇OBD=4；（2）证明：如图，连接AD，AB是O直径，ADB=ADM=90，又=，ED=BD，MAD=BAD，在AMD和ABD中，AMDA
21、BD，DM=BD，DE=DM【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法5（2015临沂）如图，点O为RtABC斜边AB上一点，以OA为半径的O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD（1）求证：AD平分BAC；（2）若BAC=60，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留）【考点】切线的性质；扇形面积的计算【分析】（1）由RtABC中，C=90，O切BC于D，易证得ACOD，继而证得AD平分CAB（2）如图，连接ED，根据（1）中ACOD和菱形的判定与性质得到四边形AEDO是菱形，则AEMDMO，则图中阴影部分
22、的面积=扇形EOD的面积【解答】（1）证明：O切BC于D，ODBC，ACBC，ACOD，CAD=ADO，OA=OD，OAD=ADO，OAD=CAD，即AD平分CAB；（2）设EO与AD交于点M，连接EDBAC=60，OA=OE，AEO是等边三角形，AE=OA，AOE=60，AE=AO=OD，又由（1）知，ACOD即AEOD，四边形AEDO是菱形，则AEMDMO，EOD=60，SAEM=SDMO，S阴影=S扇形EOD=【点评】此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用6（2014孝感）如图，AB是O的直径，点C是O上一点，AD与过点C的切线垂
23、直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分ACB，交AB于点F，连接BE（1）求证：AC平分DAB；（2）求证：PCF是等腰三角形；（3）若tanABC=，BE=7，求线段PC的长【考点】切线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质【专题】证明题【分析】（1）由PD切O于点C，AD与过点C的切线垂直，易证得OCAD，继而证得AC平分DAB；（2）可得PFC=PCF，即可证得PC=PF，即PCF是等腰三角形；（3）首先连接AE，易得AE=BE，即可求得AB的长，继而可证得PACPCB，又由tanABC=，BE=7，即可求得答案【解答】解：（1）PD
24、切O于点C，OCPD 又ADPD，OCADACO=DAC又OC=OA，ACO=CAO，DAC=CAO，即AC平分DAB（2）ADPD，DAC+ACD=90又AB为O的直径，ACB=90PCB+ACD=90，DAC=PCB又DAC=CAO，CAO=PCBCE平分ACB，ACF=BCF，CAO+ACF=PCB+BCF，PFC=PCF，PC=PF，PCF是等腰三角形（3）连接AECE平分ACB，=，AB为O的直径，AEB=90在RtABE中， PAC=PCB，P=P，PACPCB，又tanABC=，设PC=4k，PB=3k，则在RtPOC中，PO=3k+7，OC=7，PC2+OC2=OP2，（4k）
25、2+72=（3k+7）2，k=6 （k=0不合题意，舍去）PC=4k=46=24【点评】此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用7（2015遂宁）如图，AB为O的直径，直线CD切O于点D，AMCD于点M，BNCD于N（1）求证：ADC=ABD；（2）求证：AD2=AMAB；（3）若AM=，sinABD=，求线段BN的长【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质【专题】压轴题【分析】（1）连接OD，由切线的性质和圆周角定理即可得到结果；（2）由已知条件证得ADMABD，即可
26、得到结论；（3）根据三角函数和勾股定理代入数值即可得到结果【解答】（1）证明：连接OD，直线CD切O于点D，CDO=90，AB为O的直径，ADB=90，1+2=2+3=90，1=3，OB=OD，3=4，ADC=ABD；（2）证明：AMCD，AMD=ADB=90，1=4，ADMABD，AD2=AMAB；（3）解：sinABD=，sin1=，AM=，AD=6，AB=10，BD=8，BNCD，BND=90，DBN+BDN=1+BDN=90，DBN=1，sinNBD=，DN=，BN=【点评】本题考查了圆的切线性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形的知识运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作
27、辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题8（2015菏泽）如图，在ABC中，BA=BC，以AB为直径的O分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线于O的切线AF交于点F（1）求证：ABC=2CAF；（2）若AC=2，CE：EB=1：4，求CE的长【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质【分析】（1）首先连接BD，由AB为直径，可得ADB=90，又由AF是O的切线，易证得CAF=ABD然后由BA=BC，证得：ABC=2CAF；（2）首先连接AE，设CE=x，由勾股定理可得方程：（2）2=x2+（3x）2求得答案【解答】（1）证明：如图，连接BDAB为O的直径，ADB=90，DAB
28、+ABD=90AF是O的切线，FAB=90，即DAB+CAF=90CAF=ABDBA=BC，ADB=90，ABC=2ABDABC=2CAF（2）解：如图，连接AE，AEB=90，设CE=x，CE：EB=1：4，EB=4x，BA=BC=5x，AE=3x，在RtACE中，AC2=CE2+AE2，即（2）2=x2+（3x）2，x=2CE=2【点评】本题主要考查了切线的性质、三角函数以及勾股定理，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解答此题大关键9（2014镇江）如图，O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，EAB=ADB（1）求证：EA是O的切线；（2）已知
29、点B是EF的中点，求证：以A、B、C为顶点的三角形与AEF相似；（3）已知AF=4，CF=2在（2）条件下，求AE的长【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质【专题】几何综合题【分析】（1）连接CD，由AC是O的直径，可得出ADC=90，由角的关系可得出EAC=90，即得出EA是O的切线，（2）连接BC，由AC是O的直径，可得出ABC=90，由在RTEAF中，B是EF的中点，可得出BAC=AFE，即可得出EAFCBA，（3）由EAFCBA，可得出=，由比例式可求出AB，由勾股定理得出AE的长【解答】（1）证明：如图1，连接CD，AC是O的直径，ADC=90，ADB+EDC=90，BAC=ED
30、C，EAB=ADB，EAC=EAB+BAC=90，EA是O的切线（2）证明：如图2，连接BC，AC是O的直径，ABC=90，CBA=ABC=90B是EF的中点，在RTEAF中，AB=BF，BAC=AFE，EAFCBA（3）解：EAFCBA，=，AF=4，CF=2AC=6，EF=2AB，=，解得AB=2EF=4，AE=4，【点评】本题主要考查了切线的判定和相似三角形的判定与性质，解题的关键是作出辅助线运用三角形相似及切线性质求解10（2015赤峰）如图，AB为O的直径，PD切O于点C，与BA的延长线交于点D，DEPO交PO延长线于点E，连接PB，EDB=EPB（1）求证：PB是圆O的切线（2）若
31、PB=6，DB=8，求O的半径【考点】切线的判定与性质【专题】计算题；证明题【分析】（1）由已知角相等，及对顶角相等得到三角形DOE与三角形POB相似，利用相似三角形对应角相等得到OBP为直角，即可得证；（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC=PB，由PDPC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC=r，则有OD=8r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径【解答】（1）证明：在DEO和PBO中，EDB=EPB，DOE=POB，OBP=E=90，OB为圆的半径，PB为圆O的切线；（2）解：在RtPBD中，PB=
32、6，DB=8，根据勾股定理得：PD=10，PD与PB都为圆的切线，PC=PB=6，DC=PDPC=106=4，在RtCDO中，设OC=r，则有DO=8r，根据勾股定理得：（8r）2=r2+42，解得：r=3，则圆的半径为3【点评】此题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键11（2014潍坊）如图，在梯形ABCD中，ADBC，B=90，以AB为直径作O，恰与另一腰CD相切于点E，连接OD、OC、BE（1）求证：ODBE；（2）若梯形ABCD的面积是48，设OD=x，OC=y，且x+y=14，求CD的长【考点】切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；梯形；圆
33、周角定理【专题】几何综合题【分析】（1）连接OE，证出RtOADRtOED，利用同弦对圆周角是圆心角的一半，得出AOD=ABE，利用同位角相等两直线平行得到ODBE，（2）由RtCOERtCOB，得到COD是直角三角形，利用S梯形ABCD=2SCOD，求出xy=48，结合x+y=14，求出CD【解答】（1）证明：如图，连接OE，CD是O的切线，OECD，在RtOAD和RtOED，RtOADRtOED（HL）AOD=EOD=AOE，在O中，ABE=AOE，AOD=ABE，ODBE（同位角相等，两直线平行）（2）解：与（1）同理可证：RtCOERtCOB，COE=COB=BOE，DOE+COE=9
34、0，COD是直角三角形，SDEO=SDAO，SOCE=SCOB，S梯形ABCD=2（SDOE+SCOE）=2SCOD=OCOD=48，即xy=48，又x+y=14，x2+y2=（x+y）22xy=142248=100，在RtCOD中，CD=10，CD=10【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了勾股定理、圆周角定理和全等三角形的判定与性质关键是综合运用，找准线段及角的关系12（2015宁夏）如图，AC是O的直径，BC是O的弦，点P是O外一点，连接PB、AB，PBA=C（1）求证：PB是O的切线；（2）连接OP，若OPBC，且OP=8，O的半径为2，求BC的长【考点】切
35、线的判定【分析】连接OB，由圆周角定理得出ABC=90，得出C+BAC=90，再由OA=OB，得出BAC=OBA，证出PBA+OBA=90，即可得出结论；（2）证明ABCPBO，得出对应边成比例，即可求出BC的长【解答】（1）证明：连接OB，如图所示：AC是O的直径，ABC=90，C+BAC=90，OA=OB，BAC=OBA，PBA=C，PBA+OBA=90，即PBOB，PB是O的切线；（2）解：O的半径为2，OB=2，AC=4，OPBC，C=BOP，又ABC=PBO=90，ABCPBO，即，BC=2【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握圆周角
36、定理、切线的判定是解决问题的关键13（2015聊城）如图，已知AB是O的直径，点P在BA的延长线上，PD切O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E（1）求证：AB=BE；（2）若PA=2，cosB=，求O半径的长【考点】切线的性质；解直角三角形【分析】（1）本题可连接OD，由PD切O于点D，得到ODPD，由于BEPC，得到ODBE，得出ADO=E，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果；（2）由（1）知，ODBE，得到POD=B，根据三角函数的定义即可得到结果【解答】（1）证明：连接OD，PD切O于点D，ODPD，BEPC，ODBE，ADO=E，OA
37、=OD，OAD=ADO，OAD=E，AB=BE；（2）解：由（1）知，ODBE，POD=B，cosPOD=cosB=，在RtPOD中，cosPOD=，OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，OA=3，O半径=3【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形性质以及等边三角形的判定等知识点，正确的画出辅助线是解题的关键14（2013沈阳）如图，OC平分MON，点A在射线OC上，以点A为圆心，半径为2的A与OM相切于点B，连接BA并延长交A于点D，交ON于点E（1）求证：ON是A的切线；（2）若MON=60，求图中阴影部分的面积（结果保留）【考点】切线的判定；扇形面积的计算【分析】（1）首先过点A作AF
38、ON于点F，易证得AF=AB，即可得ON是A的切线；（2）由MON=60，ABOM，可求得AF的长，又由S阴影=SAEFS扇形ADF，即可求得答案【解答】（1）证明：过点A作AFON于点F，A与OM相切于点B，ABOM，OC平分MON，AF=AB=2，ON是A的切线；（2）解：MON=60，ABOM，OEB=30，AFON，FAE=60，在RtAEF中，tanFAE=，EF=AFtan60=2，S阴影=SAEFS扇形ADF=AFEFAF2=2【点评】此题考查了切线的判定与性质、扇形的面积以及三角函数的性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用15（2015潍坊）如图，在AB
39、C中，AB=AC，以AC为直径的O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DFAB，垂足为F，连接DE（1）求证：直线DF与O相切；（2）若AE=7，BC=6，求AC的长【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质【分析】（1）连接OD，利用AB=AC，OD=OC，证得ODAD，易证DFOD，故DF为O的切线；（2）证得BEDBCA，求得BE，利用AC=AB=AE+BE求得答案即可【解答】（1）证明：如图，连接ODAB=AC，B=C，OD=OC，ODC=C，ODC=B，ODAB，DFAB，ODDF，点D在O上，直线DF与O相切；（2）解：四边形ACDE是O的内接四边形，AED+ACD=180，AED
40、+BED=180，BED=ACD，B=B，BEDBCA，=，ODAB，AO=CO，BD=CD=BC=3，又AE=7，=，BE=2，AC=AB=AE+BE=7+2=9【点评】此题考查切线的判定，三角形相似的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可16（2014新疆）如图，AB是O的直径，点F，C是O上两点，且=，连接AC，AF，过点C作CDAF交AF延长线于点D，垂足为D（1）求证：CD是O的切线；（2）若CD=2，求O的半径【考点】切线的判定；三角形三边关系；圆周角定理【专题】几何图形问题【分析】（1）连结OC，由=，根据圆周角定理得FAC=BAC，而OAC=OCA，则FAC=OCA，可判断OCAF，由于CDAF，所以OCCD，然后根据切线的判定定理得到CD是O的切线；（2）连结BC，由AB为直径得ACB=90，由=得B