《免费第3章课件_线性代数_矩阵的初等变换与线性方程组.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《免费第3章课件_线性代数_矩阵的初等变换与线性方程组.ppt（81页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、-1-,第三章,矩阵的初等变换与线性方程组的解,3.4 线性方程组的解,3.3 矩阵的秩,3.2 初等矩阵,3.1 矩阵的初等变换,强烈推荐网站：,-2-,3.1 矩阵的初等变换,用Gauss消元法求解下面方程组,方程组与增广矩阵是一一对应关系, 我们用增广矩阵来写求解过程,-3-,首先搞清一个概念:什么是同解方程组?同解方程组也称等价方程组.(注:等价与同解有点小区别,这里就不区分了),-4-,-5-,得到同解方程组(就是解),Gauss消元法的思想?,-6-,(3) 把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，,称矩阵的下面三种变换分别为第一、第二、第三种初等行变换,(1) 交换矩阵的某两行，记
2、为,(2) 以不等于的数乘矩阵的某一行，记为,记为,类似定义三种初等列变换,以上六种变换统称为矩阵的初等变换,定义,-7-,初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同,逆变换,逆变换,逆变换,初等列变换也有类似的结果,-8-,等价关系,在一个集合 S 中如果有一种关系 R 满足 (1) 自反性：aRa; (2) 对称性：aRb bRa; (3) 传递性：aRb, bRc aRc。 则称 R 为 S 的一个等价关系。,定义,有了等价关系就可以把S的元素进行分类，把相互等价的元素归于同一类，称为等价类。即同一类中的元素都等价，不同类中的元素不等价。在等类价中通常选一个“简单”的元素作为代表，在
3、矩阵中常称这个代表为某某标准形。,-9-,在与方程组增广矩阵行相抵的矩阵中,找一个最简单的,然后求解这个最简单的矩阵所对应的方程组.,以后我们把这个最简单的矩阵叫做(行)最简阶梯形矩阵.,Gauss消元法的思想又可表述为,-10-,下面形状的矩阵称为(行)阶梯形矩阵,下面形状的矩阵称为(行)最简阶梯形矩阵,-11-,-12-,-13-,下面讨论对一个矩阵实施初等变换(既可用行变换又可用列变换)能把矩阵化成最简单的形状是什么?,如果 ,则称 A 与 B 相抵(也称等价),定义,在 中相抵关系是不是一个等价关系?,-14-,用初等变换必能将矩阵化为如下等价标准形（也称相抵标准形）：,等价标准形是唯
4、一的。,-15-,（接例1）,形状为,第三章,矩阵的初等变换与线性方程组的解,3.4 线性方程组的解,3.3 矩阵的秩,3.2 初等矩阵,3.1 矩阵的初等变换,-17-,3.2 初等矩阵,矩阵初等变换前后两个矩阵之间的关系是什么？, 如何把它们用等号联系起来？,-18-,回顾,-19-,-20-,-21-,-22-,-23-,-24-,把单位矩阵分别作第一、第二、第三种初等行变换得到的矩阵分别称为第一、第二、第三种初等矩阵。,定义,记号,-25-,-26-,初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是同一种初等矩阵。,为什么?,回想它们逆变换？再验证如下：,-27-,(左行右列原则),对一个矩阵施行一
5、次初等行变换，相当于在它的左边乘以一个相应的初等矩阵；对一个矩阵施行一次初等列变换，相当于在它的右边乘以一个相应的初等矩阵。,-28-,-29-,-30-,根据“左行右列”原则和“等价标准形定理”,得一些有用的推论：,-31-,在推论 1 中如果 A 可逆, 右边的标准形是什么？,注意到初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵，又得,-32-,设 A 是可逆矩阵,则A-1也是可逆矩阵,由推论2，A-1 可分解为初等矩阵的乘积：,把上式用左行右列原则看又得：,思考:,-33-,根据以上分析， (1) 用可逆矩阵P左乘矩阵A , 相当于对A作了一系列的初等行变换，反之. (2) 用可逆矩阵Q右乘矩阵A , 相
6、当于对A作了一系列的初等列变换，反之.,-34-,设 即有初等矩阵 使得,问,作一次行变换,再作一次行变换,继续,考虑对 作行变换,求逆矩阵的初等变换法,-35-,（把第1节解方程组的题重做）,记为,-36-,的解,-37-,回忆第 1 节用 Gauss 消元法是这样做的:,直接就得到方程组的解，而且更简单。,这实际上是把求 和计算 合并完成了。,再看看求逆的原理：,换成 b 如何？,-38-,矩阵方程 AX=B (假设 A 可逆)，如何求解？,方法一：先求 ，再计算,方法一：求 ，再计算,XA=B (假设 A 可逆) ？,方法二：,-39-,解矩阵方程,解,-40-,-41-,第三章,矩阵的
7、初等变换与线性方程组的解,3.4 线性方程组的解,3.3 矩阵的秩,3.2 初等矩阵,3.1 矩阵的初等变换,-43-,3.3 矩阵的秩,在矩阵 的等价标准形中,数 r 由 A 惟一确定,它也是 A 的阶梯形矩阵的非零行数，称之为矩阵 A 的秩。这个数特别重要：,例如, 设 A 是 n 阶的方阵, 如果 r = n ,则 A 可逆, 否则 r n，则 A 不可逆. 再如，对方程组 Ax = b ,增广矩阵的秩就是独立方程的个数。,-44-,在矩阵 A 中, 任取 k 行 k 列, 位于这些行列交点上的元素按原次序构成的 k 阶行列式, 称为 A 的 k 阶子式.,定义,例如,等等, 它们都是二
8、阶子式.,等等, 它们都是三阶子式.,每一个元素都是一阶子式.,-45-,矩阵A的非零子式的最高阶数, 称为A的秩, 记做r(A).规定:零矩阵的秩是零.,定义,例如,-46-,回答下面问题：,(2) mn 的矩阵 A , 其秩最大可能是?,r(A)min(m, n),(3) A 有一个 r 阶子式不为零,其秩至少是?,r(A)r,(4) A 有一个 r 阶子式不为零, 且所有 r + 1 阶都等于零, 所有 r + 2 子式都等于 , A 的秩等于 如果 A 的所有 r 阶子式都等于零, A 的秩最大可能是 。,(5) r(A) ? = r(AT),零,r,(6) A为 n 可逆矩阵的充要条
9、件是 r(A) =,r(A) = r(AT),n,(7) A = O 的充要条件是 r(A) =,0,r1,(1) 矩阵的秩是否惟一?,当然惟一,-47-,初等变换不改变矩阵的秩。,设 r(A)=r 且,证,例如,从而，r(B)r(A)，又第一种初等行变换是可逆的，其逆仍是第一种初等行变换，所以又有r(A)r(B)，综上 r(A)=r(B)。,(P68 定理3),-48-,例如,与前面同样的道理,第二种初等行变换不改变矩阵的秩。,-49-,例如,因此矩阵的秩不变。,-50-,(4) 以上证明了初等行变换不改变矩阵的秩，即 r(PA) = r(A) (P是初等矩阵)，考虑转置 r(ATPT) =
10、 r(AT) 即知初等列变 换也不改变矩阵的秩。证毕。,秩的基本定理又可叙述为:,r (P m A mn Q n ) = r (A),(其中 P，Q 是可逆矩阵),-51-,如何求矩阵的秩？,阶梯形矩阵的秩就是其非零行数！,-52-,(P68 例5) 求矩阵 A 的秩,建议只用行变换,阶梯形不唯一,-53-,(P69 例6),求 和,-54-,-55-,(4)的证明:,只证,考虑转置,-56-,证,证,-57-,(P101 例15),(P110 习题27),(P101 例13),(A称为列满秩矩阵),(A称为行满秩矩阵),-58-,永远是奇异矩阵,有可能是非奇异矩阵,-59-,(参见P71 例
11、8),证,-60-,则,(A) t = 6 时, 必有 r(P) = 1,(B) t = 6 时, 必有 r(P) = 2,(C) t 6 时, 必有 r(P) = 1,(D) t 6 时, 必有 r(P) = 2,首先,又,第三章,矩阵的初等变换与线性方程组的解,3.4 线性方程组的解,3.3 矩阵的秩,3.2 初等矩阵,3.1 矩阵的初等变换,-62-,3.4 线性方程组的解,(1) 如何判别方程组无解？有唯一解？有无穷多解？,(2) 如何求方程组的通解？,(3) 根据方程组解的判别定理，进行理论证明。,学习内容,-63-,解方程组,第一步:把增广矩阵化阶梯形,如果 ,则无解(为什么),如
12、果 则继续化为最简阶梯形。,问:此时 其含义是,独立(或有效)方程的个数。,以下问题针对 的一般方程组来回答。,-64-,第二步：写出等价的(独立的)方程组，保留第一个未知数在左边其余的移到右边，移到右边的称为自由变量。,问：自由变量的个数 =,即未知数的个数减去独立方程的个数。,问：何时有唯一解？何时有无穷多解？,当出现自由变量时，令自量为任意数就可得到无穷多解，当没有自由变量时有唯一解。即当 时，有无穷多解，当 时有唯一解。,-65-,第三步：令自由变量为任意实数，写出通解。再改写为向量形式。,令,通解,即,-66-,对于非齐次方程组,如果 ，则无解；,如果 ，则有解；,当 时，有唯一解；
13、,当 时，有无穷多解.,-67-,对于非齐次方程组,当 时，有唯一的零解；,当 时，有无穷多解，即有非零解。,-68-,(P73 例9),求解齐次线性方程组,解,对系数矩阵A施行初等行变换化为最简阶梯形:,-69-,写出等价方程组并移项:,-70-,令,写出参数形式的通解,再改写为向量形式:,通解,即,-71-,问 a 为何值时，该方程组有非零解，并求通解。,a = 0 时，r(A)4, 有非零解。同解方程组为,方法一,-72-,即,当 a0 时，,当 a = 10 时，r(A) = 34,有非零解。同解方程组为,-73-,（当系数矩阵为方阵时还可用行列式法，此法往往简单，建议当系数矩阵为方阵
14、时首选行列式法）,方法二,(显然对 a = 0 也成立),当 a = 0 或 a = 10时有非零解。其它同前。,-74-,解：系数矩阵是方阵首选行列式法,问 为何值时，方程组有唯一解，无解，无穷多解。有无穷多解时，求通解。,-75-,分析：当 时有唯一解，当 时，方程组可能无解，也可能有无穷多解，这取决于右端项。此时系数矩阵中的参数已确定，只能用初等变换法加以判别。,当 时，方程组有唯一解。,当 时,当 时， ，方程组无解。,当 时， ，方程组有无穷多解。,-76-,通解为,-77-,时， 有无穷多解。,， 时， 无解。,， 时， 有无穷多解。,问 a , b 为何值时, 方程组有解, 无解
15、。,分析：系数矩阵不是方阵只能用行初等变换法。,-78-,下面我们把方程组的情况推广到矩阵方程,(1)有解相当于上面方程同时有解。(2)也类似。,易证(参见P78),-79-,(P81 习题19),证明 (1) Amn X = Em 有解的充要条件是 r(A) = m,(2) Y Amn = En 有解的充要条件是 r(A) = n,回顾可逆矩阵的定义实际上是 AX = E 与 XA = E 都有解。当 A 不是方阵时，把可逆矩阵推广到上面两条。即当 A 是行满秩时，(1)有解，当 A 是列满秩时(2)有解。可见行(列)满秩矩阵相当于半个可逆矩阵。,首先分析此题的意思：,证,根据上一定理，(1)解。得证。,(2) 考虑转置 , 是行满秩, 由(1)得证 。,-80-,当 r(A) = m , Amn X nm= Em 时, X 必是列满矩阵.,同样，当 r(A) = n , Y nmAmn = En 时, Y 必是行满秩矩阵.,总之,进一步:,-81-,在秩的重要性质中，可借用Sylvester不等式证明下面列(行)满秩矩阵的性质,下面用例6的结论来证明（只证第一个）:,又存在矩阵 X 使 XA = E，C = AB 两边左乘 X,XC = B, 从而双有 r(B) = r(XC)r(C),记 C = AB， 从而 r(C)r(B),综上，r(C)=r(B),强烈推荐网站：,