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1、3.3垂径定理,把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,圆是轴对称图形，,判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）,X,任何一条直径所在的直线都是对称轴。,（1）两条直径AB、CD，CD平分AB吗？ （2）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦AB是否一定被直径CD平分？,思考：当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系时，弦AB有可能被直径CD平分？,O,A,B,C,D,E,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足为E .,垂径定理的几何语言叙述:,AE=BE，,AC=BC，,AD=BD,（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？,（
2、1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？,垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且 平分弦所对的两条弧,CDAB,引申定理,定理中的径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。从而得到垂径定理的变式： 一条直线具有：,平分弦,经过圆心,垂直于弦,平分优弧,平分劣弧,A,B,C,D,E,A,B,D,C,AC=BC,AD=BD,CDAB,AE=BE,平分弦 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,（不是直径）,垂径定理的推论:,CDAB吗？,(E),垂径定理的推论, CD是直径, AM=BM, CDAB,“知二推三” (1)垂直于弦 (2)过圆心 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧
3、 (5)平分弦所对的劣弧 注意:当具备了(2）(3)时,应对另一 条弦增加”不是直径”的限制.,小结：,1、垂径定理：,垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧,2、垂径定理的推论：,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,经过圆心,垂直弦,平分弦,平分优弧,平分劣弧,3、五要素“知二推三”：,4、常用辅助线：,作弦心距，连接半径，构造直角三角形,O,A,B,C,D,E,垂径定理的几个基本图形：,判断下列图形，能否使用垂径定理？,( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分 弦所对的两条弧.,( )(2)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.,( )(3)弦的垂直平分线一
4、定平分这条弦所对的弧.,知识运用：,1、如图，AB是O的直径，CD为弦，CDAB于E，则下列结论中不成立的是（ ）,A、COE=DOE,B、CE=DE,C、OE=AE,C,1、如图，OEAB于E，若弦AB=16cm, OE=6cm,则O的半径是 cm。,O,A,B,E,10,运用一：垂径定理的计算,2、在O中，弦AB的长为8cm， O的半径为5cm，则圆心O到AB的距离是 cm 。,3,3、如图，OEAB于E，若O 的半径为13cm,OE=5cm, 则AB= cm。,24,d + h = r,常见辅助线： 涉及求半径、弦、弦心距、弓形高的计算时，连接作弦心距，连接半径，构造直角三角形，利用垂径
5、定理和勾股定理解决。,半弦半径弦心距，勾股定理来解题,达标检测,1、为改善市民生活环境，市建设污水管网工程，某圆柱型水管截面如图所示，管内水面AB=8dm 。若水管截面半径5dm，污水最大深度为_dm。 若水深1dm，则水管截面半径为_dm.,2,8.5,变式：为改善市民生活环境， 市建设污水管网工程，某圆柱 型水管截面管内水面宽AB=8dm， 截面半径为5dm，水深_dm.,2或8,解：如图，设半径为R，,在tAOD中，由勾股定理，得,解得 R27.9（m）.,答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.,2：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m
6、，你能求出赵州桥 主桥拱的半径吗？（精确到0.1m）,AB=37.4,CD=7.2,R,18.7,R-7.2,2、如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？,有三种情况：1、圆心在平行弦外； 2、圆心在其中一条弦上； 3、圆心在平行弦内。,运用二：运用垂径定理进行证明,图中两圆为同心圆,变式3：隐去（变式1）中的大圆，得右图连接OA，OB，设OA=OB，AC、BD有什么关系？为什么？,变式4：隐去（变式1）中的小圆，得右图，连接OC，OD，设OC=OD，AC、BD有什么关系？为什么？,变式1：AC与BD有什么关系？,变式2：ACBD依然成立吗,运用二：运用垂径定理进行证明,拓
7、展延伸：,1、在半径为5的O中，弦ABCD， 弦AB和CD的距离为4，若AB=8， 求CD的长。,例2、已知O的直径为10cm， O的两条平行弦AB=8cm，CD=6cm，则AB、CD间的距离为_,例题选讲,链接中考,7.（2007.江西）如图，点A、B是O上两点，AB=10，点P是 O上的动点，（P与A，B不重合），连接AP、PB，过点O分别OEAP于E，OFPB于F，则EF= 。,5,1、M为O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.,解：连接OM,过M作ABOM， 交O于A，B两点.,A,B,运用三、垂径定理作图,例题选讲,3.如图是一个圆形瓷片的残片，你能找到它的
8、圆心吗？（保留作图痕迹）,思维拓展,某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修 人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径， 下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面 （1）请你补全这个输水管道的圆形截面；,（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB16 cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截 面的半径,双基训练,2.已知AB=10cm,以AB为直径作圆,那么在此 圆上到AB的距离等于5的点共有( ) A.无数个 B.1个 C.2个 D.4个,C,3.下列说法中正确的个数是（ ） .直径是弦 .半圆是弧 .平分弦的直径垂直于弦 .圆是轴对称图形，对称轴是直径 A.1个 B.2个 C.3个 D.
9、4个,B,1.确定一个圆的条件是和,圆心,半径,双基训练,4. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕AB的长为( ) A.2cm B. cm C. cm D. cm,C,5.已知点P是半径为5的O内的一定点，且OP=4，则过P点的所有弦中，弦长可能取的整数值为（ ）,A.5，4，3 B.10，9，8，7，6，5，4，3 C.10，9，8，7，6 D.10，9，8,C,2如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形,证明：,四边形ADOE为矩形，,又AC=AB, AE=AD, 四边形ADOE为正方形.,在直径是
10、20cm的O中，AB的度数是60，那么弦AB的弦心距是_,挖掘潜力,某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为、2 m ，过O 作OC AB 于D， 交圆弧于C，CD=2、4m， 现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？,C,N,M,A,E,H,F,B,D,O,随堂训练,8如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN=30，点A处有一所中学，AP=160m，假设拖拉机行驶时，周围100m内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？试说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？,