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1、一 定积分的概念,二 定积分的性质,定积分的,四 定积分在几何与经济学中的应用.,定积分,1 引例,2 定积分的定义,3 定积分的存在的条件,4定积分的几何意义,1.定义法,2.-莱布尼茨公式,套公式 换元法 分部积分,3.奇偶函数和 周期函数的积分,四、 定积分的几何应用,平面图形的面积 空间立体的体积 平面曲线的弧长,2 . 极坐标系情形,平面图形 的面积,1 . 直角坐标系情形,曲边梯形的曲边表达为,参数方程,或,复习. 定积分的几何意义,在 上连续，,方法一,x轴,复习 定积分的几何意义,在 上连续，,既有正值又有负值时，,既有正值又有负值时，,例1.,求正弦曲线,和直线,解,如图,面
2、积为,曲线围成的图形,方法二,例2,计算由,和,所围成的图形的面积.,解1,所求面积:,求两曲线的交点，,可得,例2,计算由,和,所围成的图形的面积.,解2,所求面积:,求两曲线的交点，,可得,Y轴,方法三,平面曲线围成的图形,Y轴,Y轴,平面曲线围成的图形,推广,曲线围成的图形,选择方法,例2,计算由,和,所围成的图形的面积.,解3,所求面积:,求两曲线的交点，,可得,例3,的面积.,解,如图,由方程组,解得曲线的交点为,从而所求面积,对照课本P250例题1,例4,所围成的,平面图形的面积 .,解1,如图,(舍去),所求面积为,对照课本P251例题2,例4,所围成的,平面图形的面积 .,解2
3、,如图,解方程组,得,所求面积为,交点,解方程组,得交点,解方程组,得交点,解:,得两曲线的交点,例5 计算由曲线 和直线 所围成的图形的面积。,解方程组,对照课本P251例题2,2 . 极坐标系情形,平面图形 的面积,1 . 直角坐标系情形,曲边梯形的曲边表达为,参数方程,或,例6,椭圆面积:,令,则,摆线(旋轮线),(课本P267作业3),摆线(旋轮线),例7,参数方程情形,如果曲边梯形的曲边表达为参数方程:,其中,具有连续导数,连续.,则曲边梯形的面积可表达为,四、 定积分的几何应用,平面图形的面积 空间立体的体积 平面曲线的弧长,定积分的元素法,一、 问题的提出,2.局部近似,1.分割
4、,3.求和,4.取极限,一、平面图形的面积,1. 直角坐标系情形,被积函数上-下、右-左,一、平面图形的面积,1. 直角坐标系情形,例2,计算由,和,所围成的图形的面积.,解4,所求面积:,求两曲线的交点，,可得,选 为积分变量，,面积元素,例3,的面积.,解,如图,由方程组,解得曲线的交点为,从而所求面积,对照课本P250例题1,选 为积分变量，,面积元素,解:,得两曲线的交点,例5 计算由曲线 和直线 所围成的图形的面积。,解方程组,对照课本P251例题2,选 为积分变量，,定积分的微元法,从面积表为定积分的步骤,其主要步骤如下:,(1),根据具体问题,分变量,并确定它的变化区间,出相应于
5、这个区间,可抽象出在应用学科中,微元法(也称为元素法).,表示为定积分的方法,选取一个积,例如 为积分变量,求,即,(2),总量 的定积分,由分割写出微元,由微元写出积分,定积分的微元法,总量 的定积分,许多部分量,应用微元法解决实际问题时,应注意如下两点:,(1),即如,果把区间 分成许多部分区间,则 相应地分成,而 等于所有部分量 之和;,(2),即使得,似表达式,微元法在几何学、,物理学、,经济学、,社会学等应,用领域中具有广泛的应用.,所求总量 关于区间 应具有可加性,使用微元法的关键在于,2 . 极坐标系情形,平面图形 的面积,1 . 直角坐标系情形,曲边梯形的曲边表达为,参数方程,
6、平面极坐标系,极径,极角,坐标,点,平面直角坐标系,极轴,平面极坐标系,平面直角坐标系,平面直角坐标系曲线方程,极坐标系下曲线方程,圆,椭圆,圆,极坐标系下曲线方程,圆,极坐标系下曲线方程,常数,常数,极轴,扇形面积,例1,求心形线,所围平面图形的面积,解,是以 为周期的周期函数,以 代 ，方程不变，故曲线对称极轴,例1,解,面积微元:,所求面积:,例2,求双纽线,所围平面图形的面积.,解,曲线是有界的,以 代 ，方程不变，故曲线对称极轴,以 代 ，方程不变，故曲线对称直线,故只需做第一象限内的图形,例2,解,面积微元:,所求面积:,解：,例3,课本P267作业5,四、 定积分的几何应用,平面
7、图形的面积 空间立体的体积,定积分的元素法,平行截面面积为已知的立体的体积,三 平面曲线的弧长,. 旋转体的体积,柱体的体积,底面积,高,母线,任意一个截面面积,高,1 .平行截面面积为已知的立体的体积,二、 空间立体的体积,1 .平行截面面积为已知的立体的体积,二、 空间立体的体积,1 .平行截面面积为已知的立体的体积,立体体积,二、 空间立体的体积,解：,底圆方程为,解：,建立坐标系如图，,底圆方程为,截面面积,立体体积,例2作业（对照课本P260例题6）,建立坐标系如图,截面面积,立体体积,圆台,二、 空间立体的体积,旋转体的体积,生成旋转体的三种方式,绕非轴直线旋转一周,旋转轴,体积微
8、元,(体积元素),旋转体的体积为,旋转体的体积为,例1,体积元素,直线方程为：,例2,计算由,和,所围成的图形绕x,解,求两曲线的交点，,可得,轴,y轴旋转而成的旋转体的体积,例3,解,计算则由椭圆,围成的平面图形,绕,轴旋转而成的旋转椭球体的体积.,上半椭圆,其变化区间为,体积微元,旋转椭球体的体积为,解:,证明： 体积元素,利用公式，,可知上例中,四、 定积分的几何应用,平面图形的面积 空间立体的体积 平面曲线的弧长,定积分的元素法,2 . 极坐标系情形,平面曲线的弧长,1 . 直角坐标系情形,平面曲线的表达为,参数方程,三、 平面曲线的弧长,平面曲线弧长的概念,定理 光滑曲线弧是可求长的
9、。,当曲线上每一点处都具有切线，且切线 随切点的移动而连续转动，这样的曲线称为 光滑曲线。,由第三章的弧微分公式知,弧长,就是弧长元素,1 . 直角坐标情形,(课本P161),解：,所以弧长为,设曲线弧为,弧长,2 . 参数方程情形,例2,解,如图,将圆的方程化为参数方程,则所求圆周长,例3,解,计算曲线（星形线）,的全长.,例3,解,计算曲线（星形线）,由图形的对称性,弧长,的全长.,例4,求摆线,一支,的弧长.,解,例5,证明正弦线,的弧长等,解,于椭圆,的周长.,设正弦线的弧长为,则,设椭圆的周长为,则,故原结论成立,极坐标情形,设曲线弧方程为,弧长微元,由,并注意到,则,弧长,例1,求
10、心形线,解,的全长.,如图,此心形线关于极轴对称.,解：,解：,例2,内容小结,1. 平面曲线弧长的概念,设曲线弧的弧长为,在弧上插入分点,定义,其中,2. 求弧长的公式,(1) 直角坐标系情形,内容小结,1. 平面曲线弧长的概念,2. 求弧长的公式,(2) 参数方程情形,(3) 极坐标系情形,例8,解,平行且等于底圆直径,的线段为顶、,这截面的面积为,于是所求正劈锥体的体积为,即正劈锥体的体积,等于同底同高的圆柱体体积的一,半.,完,旋转体的体积为,例3,解,计算则由椭圆,围成的平面图形,绕,轴旋转而成的旋转椭球体的体积.,如图所示,可视为由上半椭圆,其变化区间为,轴旋转而成的立体 .,任取
11、其上一,该旋转体,区间微元,相应于该区间微元的小薄片,的体积 ,例2,解,计算则由椭圆,围成的平面图形,绕,轴旋转而成的旋转椭球体的体积.,其变化区间为,任取其上,一区间微元,相应于该区间微元的小薄,片的体积 ,近似等于底半径为,高为,的扁圆柱体的体积 ,即体积微元,故所求旋转椭球体的体积为,例2,解,计算则由椭圆,围成的平面图形,绕,轴旋转而成的旋转椭球体的体积.,故所求旋转椭球体的体积为,特别地,例8,解,平行且等于底圆直径,的线段为顶、,取底圆所在的平面为,平面,并使,轴与正劈锥的顶平行.,底圆的,方程为,截正劈锥体得等腰三角形.,这截面的面积为,于是所求正劈锥体的体积为,例8,解,平行
12、且等于底圆直径,的线段为顶、,这截面的面积为,于是所求正劈锥体的体积为,即正劈锥体的体积,等于同底同高的圆柱体体积的一,半.,完,解：,截面面积,立体体积,例2,解,计算则由椭圆,围成的平面图形,绕,轴旋转而成的旋转椭球体的体积.,如图所示,可视为由上半椭圆,其变化区间为,轴旋转而成的立体 .,任取其上一,该旋转体,区间微元,相应于该区间微元的小薄片,的体积 ,例2,解,计算则由椭圆,围成的平面图形,绕,轴旋转而成的旋转椭球体的体积.,其变化区间为,任取其上一,区间微元,相应于该区间微元的小薄片,的体积 ,例2,解,计算则由椭圆,围成的平面图形,绕,轴旋转而成的旋转椭球体的体积.,其变化区间为,任取其上,一区间微元,相应于该区间微元的小薄,片的体积 ,近似等于底半径为,高为,的扁圆柱体的体积 ,即体积微元,故所求旋转椭球体的体积为,