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1、习题八 114 第八章 导行电磁波 8-1 什么叫截止波长？为什么只有 c 的波才能在波导中传输？ 答：答：导行波系统中，对于不同频率的电磁波有两种工作状态传输与截止。 介于传输与截止之间的临界状态，即由0=所确定的状态，该状态所确定的频率 称为截止频率，该频率所对应的波长称为截止波长。 由于只有在0 2 时才能存在导行波，则由可0 22 c 2 =kk知，此时应有 22 c kk 即 或 c 的电磁波才能在波导中传输。 8-2 何谓工作波长、截止波长和波导波长？它们有何区别和联系？ 解：解： 工作波长就是 TEM 波的相波长。它由频率和光速所确定，即 r 0 r = f c光 式中 0 称为
2、自由空间的工作波长，且 f c光 = 0 。 截止波长是由截止频率所确定的波长，且 rc f c = 波导波长是理想导波系统中的相波长，即导波系统内电磁波的相位改变2所 经过的距离。波导波长与、 c 的关系为 2 c g 1 = 8-3 何谓相速和群速？为什么空气填充波导中波的相速大于光速， 群速小于光速？ 解：解： 相速是电磁波等相位点移动的速度。群速是包络波上某一恒定相位点移 电磁场与电磁波习题详解 115 动的速度。 根据平面波斜入射理论，波导内的导行波可以被看成平面波向理想金属表面斜 入射得到的，如图 8-1 所示。从图中可以看出，由于理想导体边界的作用，平面波 从等相位面D上的A点到
3、等相位面B上的M点和F点所走过的距离是不同的， AFAM p 。 从图 8-1 还可以看出，平面波从A传到M点，但其能量只是从A传到E点， 显然AMAE，故能量传播的速度vv g 。对于空气媒质， 光 cv + = 22 c 2 b n a m 解得 2m，1n 则 = + = cm 157 . 6 2 TM TE 22 11 11 c ba ab (可以传输) 所以，波导中可传输的波型为 TE10、TE20、TE01、TE11、TM11。 (2) cm 8 .219 .102 g = 由 2 0 0 g 2 1 = a 电磁场与电磁波习题详解 119 可得 cm 03.12 )2( 11 1
4、 22 g 0 = + = a (3) 当cm 10 0 =时 cm 428.142 c = a 设 387 . 1 1 1 2 c 0 = = p 则 m/s 10162. 4 8 p = 光 pcv m/s 10163. 2 1 8 g = 光 c p v cm 87.13 0g =p 8-9 用)mm 16.10mm 86.22(100BJ作馈线时，其工作频率为GHz 10： (1) 求 c 、 g 、和Z。 (2) 若波导宽边尺寸增大一倍，上述参数将如何变化？ (3) 若波导窄边尺寸增大一倍，上述参数将如何变化？ (4) 若波导尺寸不变，工作频率为GHz 15，上述参数又将如何变化？
5、解：解：(1) 当GHz 10 =f时 cm 3 0 =，cm 572 . 4 2)TE( 10c =a cm 286. 2)TE( 20c =a 此时波导中只能传输 10 TE波，所以， 习题八 120 cm 976 . 3 325. 1 2 1 0 2 0 0 g = = a rad/m 1058 . 1 755 . 0 2 1 2 2 0 = =k a k = = 500325 . 1 2 1 0 2 0 0 TE10 a Z (2) 当aa2=时 cm 144 . 9 42)TE( 10c =aa cm 572 . 4 2)TE( 20c =aa 故可传输 TE10与 TE20两种波型
6、。 对 TE10波： cm 176 . 3 059. 1 4 1 0 2 0 0 g = = a rad/m 10979 . 1 945 . 0 4 1 2 2 0 = =k a k = = 399 4 1 2 0 0 TE10 a Z 对 TE20波，所求各量同(1)。 (3) 当bb2=时 cm 572. 42)TE( 10c =a cm 064 . 4 2)TE( 01c =b 可传输 TE10与 TE01两种波型。 对 TE10波，所求各量同(1)。 对 TE01波： 电磁场与电磁波习题详解 121 cm 45 . 4 482. 1 4 1 0 2 0 0 g = = b rad/m
7、10413 . 1 675 . 0 4 1 2 2 0 = =k b k = = 559 4 1 2 0 0 TE01 b Z (4) 当GHz 15=f时 cm 2 0 = cm 572 . 4 2)TE( 10c =a cm 286 . 2 )TE( 20c =a cm 032 . 2 2)TE( 01c =b 故可以传输的波型为 TE10、TE20、TE01。 对 TE10波： cm 224 . 2 112 . 1 2 1 0 2 0 0 g = = a rad/m 825 . 2 899 . 0 2 1 2 0 = =k a k = = 419 2 1 2 0 0 TE10 a Z 对
8、 TE20波： cm 13 . 4 065 . 2 1 0 2 0 0 g = = a 习题八 122 rad/m 10522 . 1 484 . 0 1 2 2 0 = =k a k = = 778065 . 2 1 0 2 0 0 TE20 a Z 对 TE01波： cm 31.11657 . 5 2 1 0 2 0 0 g = = b rad/m 10555 . 0 1768 . 0 2 1 2 2 0 = =k b k = = 2133657 . 5 2 1 0 2 0 0 TE01 b Z 8-10 圆柱形波导中的波型指数m和n的意义如何？为什么不存在0=n的波型？ 圆波导中波型场结
9、构的规律如何？ 答：答：m表示角坐标从 0 增大到2时场量变化的周期数，也就是沿圆周分 布的驻波数；n表示沿半径方向场量变化的半驻波数，也就是沿半径方向场的最大 值的个数。由于n是m阶贝塞尔函数(或其导数)的根的序号，是从 1 起算的，所以 0n。所有圆波导的场结构都可由基本场结构“小巢”TE01、TE11、TM01、 TM11构造。也就是说，任一 TEmn或 TMmn场结构，都是由沿圆周与半径分布的若 干个 TE01、TE11、TM01、TM11的“小巢”构造出来的。 8-11 圆波导中 11 H、 01 H和 01 E模的特点是什么？有何应用？ 答：答：TE11模具有最长的截止波长，其a4
10、13 . 3 c =，所以是圆波导的主模式。 其横截面内的场分布与矩形波导的 TE01模很相似，因此很容易从矩形波导的 TE10 模过渡到圆波导的 TE11模。但该模式存在极化简并。由于极化面的不稳定，所以不 用其作“长距离”传输的传输线，只是利用其上述特点，做成各种特殊用途的微波 元件，如极化衰减器与极化变换器，波导的方圆转换器等 TE01模是圆波导的高次模，其截止波长a64 . 1 c =。该模式的电磁场分布主 电磁场与电磁波习题详解 123 要有如下特点：电磁场只有 E、 r H、 z H三个场分量，电场沿方向没有变化， 只在波导横截面上分布，并且围绕交变磁场的纵向分量构成闭合曲线；磁场
11、 0= =arr H， 则 在 管 壁 上 只 有 z H分 量 ， 并 且 其 管 壁 电 流 arzarzS eHHnJ = = v v v v ，即只有沿圆周方向流动的分量。这样当传输的功率 一定时，随着频率的升高，管壁导体损耗引起的衰减常数单调下降。因此，该模式 特别适合于毫米波远距离通信及作成高Q的谐振腔。 TM01模是圆波导中的次低次模，其截止波长a62 . 2 c =，其场量只有三个： r E、 z E和 H。其电磁场各分量沿方向无变化，具有轴对称性，而其管壁电流 zarS eHHnJ v v v v = = 只有纵向分量。 这一特点使其特别适用于作微波天线系统旋 转关节的工作模
12、式。又由于其电场分量在轴线上(0=a处)最强，可以有效地和沿波 导轴向运动的电子束交换能量，所以它又适用于作微波电子管中的谐振腔以及慢波 系统中的工作模式。 8-12 何谓波导的简并模？矩形波导和圆波导中的简并有何异同？ 答：答：导行波系统中的传输模，存在两种简并，再一类是极化简并。 模式简并是指不同的导行模具有相同的截止波长这一现象，并称此为模式简 并。矩形波导中的 TEmn与 TEmn（0m，0n）是简并模；圆波导中，由于 )TM()TE( 1c0cnn =，所以， n0 TE与 n1 TM也是简并模。 极化筋简并是指圆波导中同一模式沿方向有两种场型分布 sin cos ，即一种 是另一种
13、的极化面旋转 o 90得到的，这一现象称为极化简并。圆波导中除 n0 TE和 n0 TM模以外，其它的模式都存在极化简并： 8-13 一空气填充的圆波导中传输 01 H模，已知9 . 0 c = ，GHz 5 0 =f； (1) 求 g 和。 习题八 124 (2) 若波导半径扩大一倍，将如何变化？ 解：解：(1) a64. 1 c =，cm 6 0 = 由9 . 0 c = ，得 cm 065. 4=a cm 77.13294. 2 1 0 2 c 0 0 g = = rad/m 104565 . 0 4359. 01 2 2 c 0 = =kk (2) 若cm 13. 82 =aa，则 c
14、m 33.1364. 1 c =a rad/m 10935 . 0 893 . 0 9 . 0 4 1 1 22 =kk (增大) 8-14 在矩形波导中传输 10 H模， 求填充介质(介电常数为)时的截止波长和波导波 长。 在圆柱形波导中传输最低模式时， 若波导填充介质(介电常数为)时， c 和 g 将如何变化？ 解：解：对矩形波导，有 a2)TE( 10c = rr 10c 2 )TE( a c f 光 = 2 0 r 0 10g 2 )TE( = a 电磁场与电磁波习题详解 125 式中 f c光 = 0 。 对圆波导，有 a41. 3)TE( 11c = rr 11c 14. 3 )T
15、E( a c f 光 = 2 0 r 0 11g 41 . 3 )TE( = a c 与介质无关， g 与介质有关。 8-15 有两个矩形空腔谐振器，工作模式都是 101 H，谐振波长分别为cm 3 0 =和 cm 10 0 =，试问哪一个空腔的尺寸大？为什么？ 解：解：由 22 0 11 2 la + =，可得 2 0 22 411 =+ la (1) 显然，从(1)式可以看出， 0 越大，(1)式右边越小，则要求a、l的值越大， 所以cm 10 0 =对所对应的谐振腔的尺寸大些。 8-16 用一矩形波导设计一个空腔谐振器，要求当cm 10 0 =时对 101 H模式谐振， 当cm 5 0
16、=时对 103 H模式谐振，求此空腔谐振器的尺寸。 解：解：由 2 0 2 2 2 41 =+ l p a 习题八 126 对 TE101模有 222 10 411 =+ la 对 TE103模有 25 491 22 =+ la 解之有 cm 325. 640=a，cm 165 . 8 6 3 10 =l 8-17 用58BJ铜制标准波导制成矩形空腔谐振器波长计，工作模式为 101 H，调 谐范围为GHz 05. 764. 4，求此空腔谐振器调谐长度及固有品质因数的变 化范围。 解：解：58BJ波导尺寸为mm 5mm 4 .40，铜的电导率S/m 108 . 5 7 =， 穿透深度 (cm)
17、(cm) 10815. 3 2 5 = 由例 8-10 可知 33 22 1010 )2()2( )TE( abllba laabl Q + + = (1) 当GHz 64. 4=f时，cm 466. 6 0 =，由 2 0 22 411 =+ la ，得cm 39 . 5 1= l 将 0 、 1 l、a、b、代入(1)式可得 33 22 5 10101 04 . 4 ) 139 . 5 (39 . 5 ) 104 . 4 ( 39 . 5 04 . 4 466. 610815. 3 39. 55 . 004. 4 )TE( + + = Q 4207= 当GHz 05. 7=f时cm 255
18、. 4 0 = cm 503 . 2 14 1 22 0 2 = = a l 电磁场与电磁波习题详解 127 代入(1)式可得 33 22 5 02 04 . 4 ) 1503 . 2 (503 . 2 ) 104. 4( 503 . 2 04 . 4 255. 410815 . 3 503. 25 . 004. 4 + + = Q 4681= 即其调谐长度介于cm 39. 5503. 2之间，固有品质因数 0 Q介于46814207之 间。 8-18 有一半径为 5 cm、长度为 10 cm 的圆柱形空腔谐振器，试求其最低振荡模式 的谐振频率和Q值。 解：解：圆波导中的最低振荡模为 TE11
19、1，其谐振频率 22 TE 841 . 1 2 111 + = la c f GHz 31 . 2 )2( 1 )413 . 3 ( 1 22 =+= la c cm 98.12 0 = f c 由 + + + = l a l a l a l a Q 2 186 . 0 82. 51 343 . 0 03. 1 )TE( 23 2 3 2 0 1110 可得 534. 3 ) 11 (5 . 086. 05 . 082. 51 )5 . 0343. 0(03. 198.12 )TE( 23 2 3 2 1110 = + + =Q 对于铜质谐振腔，因为 (cm) (cm) 10815 . 3 0 5 = 所以 25712)TE( 1110 =Q