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1、中学数学杂志2 0 1 3年第 3期 外接球问题“ 心” 在哪里 浙江省 临海市回浦 中学 3 1 7 0 0 0 李昌湛 在组合体中， 有一类是几何体的外接球问题， 解决这类 问题 的关键是确定外接球球心的位 置 本 文介绍几种找几何体外接球球心的方法， 仅供参考 1 利用直角三角形斜边的中点找球心 例 1 ( 2 0 0 9年湖南卷) 在半径为 1 3的球面上有 4， ， C三点 ， A B=6 ， BC=8 ， C A= 1 0 ， 则球心到平面A BC的距离 为 解 因为 A B =6 ， BC= 8 ， C A = 1 0 ，所 以 LA B C = - 4 - ，所 以过A、 B、
2、 C三点 的截面 图 1 小 圆的圆心为斜边 A C的中点 0 ， ， 如 图 1 ， 连结 O 0 ， O A， O B， O C， 则 O 0l上 平面 A B C， 在 R t AA O 0 1中， O 0 ，= 0 一A O =1 2 ， 所 以球心到平面 A B C的 距离为 1 2 例 2 如图 2 ， 在四边形 A B C D中， A B =B C = C D =1 ， A B J - B D， B C上C D， 将 A B D沿 B D折起 ， 使得平面A B D上平面B C D， 则该几何体的外接球的 表面积等于( ) C D D 图 2 A- 3 耵 B 6 c D 2 解
3、 如图2 ， 在四面体 AB C D中， 因为平面 A B D 上平面 B C D， A B j - B D， 所 以A B上平 面 B C D， 又因为 C D上B C ， 所以由三垂线定理 C D上A C， 所以 A D是 R t AA B D和 R t AA C D的公共斜边， 取斜边A D 的中点 0， 连结 O B， O C， 则 O A=O B=O C=O D， 所 以四面体 A B C D的外接球球心即为 0 ， 所以外接 球的半径 R ：O A： D ： ， 所 以S 球 =4 7 R = 4 订 (譬 ) = 3 7 ,所 以 选 A - 1 1 正视 图 侧视 图 俯视 图
4、 图 3 例 3 一个几何体的三视图如 图 3所示 ， 其 中正视图是一个正三角形 ， 则这个几何体的外接 球 的表面积为( ) A8 3 7 B 丁 1 6 7 c 4 D 2 3 -7 解 由三视 图作 出原 几 何体是三棱锥A B C D ， 如图4 所示 平面 A B D 上平 面 BC D， 取 B D 的 中点 0 ， 连结 A O ， ， C O ， 因为 AA B D是边 长为 2 的正三 角形 ， AB C D是等腰直 角三角形 ， 且 B C =C D = 2 ， LB C D =9 0 。 ， 所 以 A O j -平 面 B C D， 则球心 D在线段 A O C 图
5、4 D 上 ， 连结 BO， 设外接球的半径为 ， 在 R t BO O 中， 因为 B O =B O +O 0 ， 所以 R 2=l +( 一 ) ， 解得 R ： ， 所以 S 球 ：4 w R ：4 百 4 ： ， 所以选 B 评注 因为直角三角形斜边的中线长等于斜 边的一半 ， 所 以斜边 的中点到该直角三角形三个顶 点的距离相等 ， 利用这一性质可找 出过直角三角形 三个顶点 的几何体 的外接球球心 2 利用斜三角形的外心找球心 例4 ( 2 0 1 0 年宁夏、 海南卷) 设三棱柱的侧棱 垂直于底面， 所有棱的长都为 口 ， 顶点都在一个球面 上， 则该球的表面积为( ， ) 口
6、B 3 5 中学数学杂志2 0 1 3年第 3 期 c 盯0 D 5 r r a j 解 如 图 5 ， 设 正 三角 形 A ， A B C和 A 。 C 的中心( 即夕 心) 分别为 0。 和 0 2 ， 连结 0 。 0 2 ， 0。 A， 取 0 。 0 ：的中点 0， 则 0到三棱柱 A B C A 。 B 。 C 各顶点的距离都相 等 ， 所 以 球 心 就 是0， 在 R t AA O 0 中 ， 外 接球 半径 R = O A= D D + A O = 口 ， 所 L 图 5 C C 以 s 球 =4 R =4 订 7口 2 = 7 叮 T口 2 ，所以选 B 例 5 ( 2
7、0 0 9年全 国卷I)直 三 棱 柱 A B C A 。 B C 的各顶 点都在 同一球面上 ， 若 A B =A C = A A 。= 2 ， _B A C = 1 2 0 。 ， 则 此 球 的表 面 积 等 于 解 如 图 6 ， 设三角形 A B C A 和 A B C 的外 心分 别 为 0 和 0 2 ， 连结 0l 0 2 ， 0 1 A， 取 0 0 2的中 点 0， 则 0 到直 三 棱柱 A B C A B l C 各顶点的距离都相等， 所 以球心即为 0， 由余 弦定理 ， 因为 BC = AB + AC 一 2 AB AC C O S B A C ：1 2 ， 所 以
8、B C =2 ， 设 AA B C 外接圆的半径为 r ， 则由 正弦定理 ， B 图 6 因为 2 r 5 C 4 ，所 以 r=2 ， 在 R t AA O 0 中， 外接球 的半径 R =a o = d a 0 +O 0 = 5 ， 所以 S 球 =4 ,n R =4 ,r r ( 4 5 ) =2 0 , r t 评注 因为三角形 的外心到三角形三个顶点 的距离相等 ， 所以过三角形的外 心且垂直于此三角 形所在平面的垂线上的任意一点到此三角形三个顶 点距离也相等 ， 所 以过该三角形三个顶点 的球 的球 心必在垂线上 3 利用正方体或 长方体 的 中心找球心 例 6 ( 2 0 1
9、2年辽宁卷) 已知正 三棱 锥 P A B C， 点 P ， A ， B ， C都在半径为 3 - 的 球面上， 若 ， 朋 ， P c两两 P 相互 垂 直 ， 则 球 心 到 截 面 A B C的距离为 3 6 图 7 A B C 心 l 成 0 l 则 球 心 是 长 方 体 的 中 I D I I 塞 三 ： 线 长 等 于 球 的 直 径 ， 设 球 。 、 i， 9 一 XR y 一 i 。 cD补成长方体，如图 ：=：=S I ，设长方体的长、宽、广 _ 。l 高分别 ，y，z，球半径为 I L n ，则 + ：0 ， + I 。=b ，Y +z =c ， 所 c ，因2 R - f ， 所 2 ，所 以 R 。： ， 所 以 s 球 4 = 4订 半 = ( 口 ) 评注 因为正方体或长方体的中心到各顶点 的距离相等， 所以过正方体或长方体若干个顶点的 球的球心就是正方体或长方体的中心， 此类问题找 球心往往需要对几何体进行补形 作者简介 李昌湛( 1 9 7 6 ) ， 男， 浙江临海人， 中学一 级教师， 主要从事高中数学教学与研究， 先后被评为优秀班 主任、 教科研先进个人、 教学能手、 优秀教师等， 在各类数学 期刊上发表论文近 1 0篇