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1、 常数项级数函数项级数 一 般 项 级 数 正 项 级 数 幂级数三角级数 收 敛 半 径 R 泰勒展开式 数或函数函 数数 任 意 项 级 数 傅氏展开式 傅氏级数泰勒级数 满足狄 氏条件 在收敛 级数与数 条件下 相互转化 一、主要内容 1、常数项级数 级数的部分和 定义 级数的收敛与发散 性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛 散性. 性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和. 级数收敛的必要条件: 收敛级数的基本性质 常数项级数审敛法 正 项 级 数任意项级数 1.
2、2. 4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法 4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理) 3.按基本性质; 一般项级数 4.绝对收敛 定义 2、正项级数及其审敛法 审敛法 (1) 比较审敛法 (2) 比较审敛法的极限形式 定义 正 、负项相间的级数称为交错级数. 3、交错级数及其审敛法 定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 4、任意项级数及其审敛法 5、函数项级数 (1) 定义 (2) 收敛点与收敛域 (3) 和函数 (1) 定义 6、幂级数 (2) 收敛性 推论 定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间. a.代数运算性质: 加减法 (其
3、中 (3)幂级数的运算 乘法 (其中 除法 b.和函数的分析运算性质: 7、幂级数展开式 (1) 定义 (2) 充要条件 (3) 唯一性 (3) 展开方法 a.直接法(泰勒级数法) 步骤: b.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过 变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积 分等方法,求展开式. (4) 常见函数展开式 (5) 应用 a.近似计算 b.欧拉公式 (1) 三角函数系 三角函数系 8、傅里叶级数 (2) 傅里叶级数 定义三角级数 其中 称为傅里叶级数. (3) 狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理) (4) 正弦级数与余弦级数 奇延拓: (5) 周期的延拓 偶延拓: 二、典型例题 例1 解 根据级数收敛的必要条件，原级数收敛 解 根据比较判别法，原级数收敛 解 从而有 原级数收敛； 原级数发散； 原级数也发散 例 解 即原级数非绝对收敛 由莱布尼茨定理： 所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛 例 解 两边逐项积分 例4 解 例5 解 例6 解 和函数的图形为 例7 解 由上式得 例8 解 测 验 题 测验题答案