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1、倍长中线与截长补短法 辅助线一般作法 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 例1：ABC中，AB=5，AC=3，求中线 AD的取值范围 提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角 形两边之和大于第三边 例2：已知在ABC中，AB=AC，D在AB 上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且 DF=EF，求证：BD=CE 方法1：过D作DGAE交BC于G， 方法2
2、：过E作EGAB交BC的延长线于G， 方法3：过D作DGBC于G，过E作EHBC的延长线于H 例3：已知在ABC中，AD是BC边上的中 线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交 AC于F，求证：AF=EF 提示：倍长AD至G，连接BG， 证明BDGCDA 三角形BEG是等腰三角形 例4：已知：如图，在中，D、E在BC上 ，且DE=EC，过D作交AE于点F，DF=AC. 求证：AE平分BAC 提示： 方法1：倍长AE至G，连结DG 方法2：倍长FE至H，连结CH 在三角形中线时，常廷长加倍中线，构造全等三角形 。 例如：如图5-1：AD为 ABC的中线，求证： AB+AC2AD 分析：要证A
3、B+AC2AD， 由图想到： AB+BDAD, AC+CDAD， 所以有AB+AC+ BD+CD AD +AD=2AD， 左边比要证结论多BD+CD， 故不能直接证出此题， 而由2AD想到要构造2AD， 即加倍中线， 把所要证的线段转移到同一个三角形中去 证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE AD为ABC的中线 （已知） BD=CD （中线定义） 在ACD和EBD中 BD=CD （已证） 1=2 （对顶角相等） AD=ED （辅助线作法） ACDEBD （SAS） BE=CA（全等三角形对应边相等） 在ABE中有：AB+BEAE（三角形两边之和大 于第三边） AB+AC2AD。 （
4、常延长中线加倍，构造全等三角形） 练习 已知ABC，AD是BC 边上的中线，分别以 AB边、AC边为直角边 各向外作等腰直角三 角形，如图5-2， 求证 EF=2AD。 A BCD E F 2 5 - 图 二、截长补短法作辅助线 要证明两条线段之和等于第三条线段， 可以采取“截长补短”法。 截长法即在较长线段上截取一段等于两 较短线段中的一条，再证剩下的一段等于 另一段较短线段。 所谓补短，即把两短线段补成一条，再 证它与长线段相等。 让我们来大显身手吧！ 例如：已知如图6-1： 在ABC中， ABAC，1=2 ，P为AD上任一点 求证：AB-ACPB-PC。 要证：AB-ACPB-PC，想
5、到利用三角形三边关系定 理证明。 因为欲证的线段之差，故用 两边之差小于第三边，从 而想到构造第三边AB-AC 故可在AB上截取AN等于AC ，得AB-AC=BN 再连接PN，则PC=PN，又 在PNB中，PB-PNPB-PC。 思路导航 证明：（截长法）在AB上截取AN=AC连接PN 在APN和APC中 AN=AC（辅助线作法） 1=2 （已知） AP=AP （公共边） APNAPC （SAS） PC=PN （全等三角形对应边相等） 在BPN中，有 PB-PNBN （三角形两边之差小于第 三边） BP-PCPM-PC(三角形两边之差小于第三边) AB-ACPB-PC。 在 ABC中，ACB=
6、90，AC=BC,直线MN经过点C， 且ADMN于D，BEMN于E。 求证：DE=AD+BE 证明： 2 1 3 1+3=90. 1+2=90. 2=3. ADC= CEB ADCCEB AD=CE,CD=BE DE=AD+BE ACB=90 ， BEMN， ADMN, ADC= CEB=90. 在 ADC和CEB中, AC=BC 2=3 DE=CE+CD 例 题 讲 解 1.在ABC中, B2C, AD平分BAC. 求证：AB+BD=AC A B CD E 证明： 在AC上截取A E=AB，连结D E AD平分BAC 12, 在ABD和 AED中 12 A B=AE A D=AD ABD A
7、ED BD=DE, B3 3= 4+ C B2C 3=2C 2C = 4+ C DE=CE BD=CE AE+EC=AC AB+BD=AC 1 2 3 4 C 4 截长法 例 题 讲 解 在ABC中, B2C, AD平分BAC. 求证：AB+BD=ACA B CD E 在AB的延长线截取B E=BD， 连结D E. 证明： 补短法 在射线 AB截取B E=BD， 连结D E. 截长法与补短法，具体做法是在某条线 段上截取一条线段与特定线段相等，或是 将某条线段延长使之与特定线段相等，再 利用三角形全等的有关性质加以说明 这种作法，适合于证明线段的和、差、倍 、分等类的题目 如图，ADBC，AE
8、, BE分别平分 DAB,CBA， CD经过点E， 求证：ABAD+BC 练习 在等边边ABC的两边AB、AC所在直线上 分别有两点M、N，D为ABC外一点，且 MDN=60, BDC=120, BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时 ，BM、NC、MN之间的数量关系. 如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时 ，BM、NC、MN之间的数量关系是 A B C D M N 思考题 在等边边ABC的两边AB、AC所在直线上 分别有两点M、N，D为ABC外一点，且 MDN=60, BDC=120, BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时 ，BM、NC、MN之间的数量关系. 如图图2，点M、N边边AB、AC上，且 当DMDN时，猜想（I）的结论还成立吗 ? A B C D M N 写出你的猜想并加以证明； 如图图3，点M、N分别别在边边 AB、CA的延长线上时， 猜想（I）的结论还成立吗 ?若不成立，又有怎样 的数量关系？写出你的 猜想并加以证明. A B C D M N