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1、第三节 两个变量问题的图解法,线性规划问题的求解方法,一 般 有 两种方法,图 解 法 单纯形法,两个变量、直角坐标 三个变量、立体坐标,适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式,下面我们分析一下简单的情况 只有两个决策变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线性规划基本原理和几何意义等优点。,2,第三节 两个变量问题的图解法,解（参见教材P21） 解（参见教材P22）,3,第三节 两个变量问题的图解法,解（参见教材P23） 解（参见教材P23）,图解法,max Z = 2X1 + X2 X1 + 1.9X2 3.8 X1 - 1.9X2 3
2、.8 s.t. X1 + 1.9X2 10.2 X1 - 1.9X2 -3.8 X1 ，X2 0,练习： 用图解法求解线性规划问题,图解法,x1,x2,o,X1 - 1.9X2 = 3.8(),X1 + 1.9X2 = 3.8(),X1 - 1.9X2 = -3.8 (),X1 + 1.9X2 = 10.2(),4 = 2X1 + X2,20 = 2X1 + X2,17.2 = 2X1 + X2,11 = 2X1 + X2,Lo： 0 = 2X1 + X2,（7.6，2）,D,max Z,min Z,此点是唯一最优解， 且最优目标函数值 max Z=17.2,可行域,max Z = 2X1 +
3、 X2,图解法,若max Z=3X1+5.7X2,x1,x2,o,X1 - 1.9X2 = 3.8 (),X1 + 1.9X2 = 3.8(),X1 - 1.9X2 = -3.8(),X1 + 1.9X2 = 10.2 (),（7.6，2）,D,L0： 0=3X1+5.7X2,max Z,（3.8，4）,34.2 = 3X1+5.7X2,蓝色线段上的所有点都是最 优解这种情形为有无穷多最 优解，但是最优目标函数值 max Z=34.2是唯一的。,可行域,图解法,min Z=5X1+4X2,x1,x2,o,X1 - 1.9X2 = 3.8 (),X1 + 1.9X2 = 3.8(),X1 + 1
4、.9X2 = 10.2 (),D,L0： 0=5X1+4X2,max Z,min Z,8=5X1+4X2,43=5X1+4X2,（0，2）,可行域,此点是唯一最优解,图解法,2,4,6,x1,x2,2,4,6,无界解(无最优解),max Z=x1+2x2,练习：,x1+x2=4(),x1+3x2=6(),3x1+x2=6(),max Z,min Z,x1,x2,O,10,20,30,40,10,20,30,40,50,50,无可行解(即无最优解),max Z=3x1+4x2,练习：,线性规划的图解法,图解法的基本步骤,X*= (4, 6)T,z* = 42,1画出可行域图形 2画出目标函数的
5、等值线及其法线 3确定最优点,x1= 8,A(8,0),2x2= 12,D(0,6),3x1 + 4x2 = 36,z = 15,z = 30,z 法向,z* = 42,边界方程,线性规划的图解法,几点说明 实际运用时还须注意以下几点: (1)若函数约束原型就是等式,则其代表的区域仅为一直线,而且问题的整个可行域R(若存在的话)也必然在此直线上。 (2)在画目标函数等值线时只须画两条就能确定其法线方向,为此, 只须赋给z 两个适当的值。 (3)在找出最优点后,关于其坐标值有两种确定方法: 在图上观测最优点坐标值 通过解方程组得出最优点坐标值,图解法,学习要点： 1. 通过图解法了解线性规划有几种解的形式 （唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解） 2. 作图的关键有三点： (1) 可行解区域要画正确 (2) 目标函数增加的方向不能画错 (3) 目标函数的直线怎样平行移动,线性规划的图解法,几种可能结果 一、唯一解 如例1、例2都只有一个 最优点，属于唯一解的情形。,二、多重解,z = 12,z* = 36,线段BC上无穷多个 点均为最优解。,线性规划的图解法,x1,x2,z*,三、无界解,R2,R1R2 = ,四、无可行解,+,R1,15,谢谢观看！,