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1、2014备考2013高考数学文真题含部分模拟新题分类汇编D单元 数列 数含解析【24备考】2013高考数学(文）真题（含部分模拟新题)分类汇编单元数列数(含解析）D1数列的概念与简单表示法 11,D52013湖南卷 对于a,2,，100的子集ai1，ai2,ak，定义X的“特征数列”为x1，x，x10,其中1=x2=xik=1，其余项均为0.例如：子集a2，a的“特征数列”为0,1,1，0,，0（)子集a,a3，a的“特征数列”的前3项和等于_；(2）若E的子集P的“特征数列”p1,p2,，100满足p=1，pi+pi+1=，1i99；E的子集Q的“特征数列”q1,q2,10满足q=1，j+q
2、j1j+2=1,18，则PQ的元素个数为_.1521解析(1)由特征数列的定义可知,子集a,，a5的“特征数列”为1，0,1,0，1，0,，故可知前三项和为2.(2）根据“E的子集P的“特征数列”1，p2，,100满足p=，ip1=,199”可知子集P的“特征数列”为1，0,1，0，1，0.即奇数项为1，偶数项为0.根据“E的子集的“特征数列”，q2，,q10满足q，qjqj+1+q+=1，98”可知子集的“特征数列为1,0，0，,0，0,，1即项数除以3后的余数为1的项为1,其余项为,则PQ的元素为项数除以6余数为1的项,可知有a1,a7，a13,9，共7项4.12013辽宁卷 下面是关于公
3、差d0的等差数列n的四个命题： 1：数列n是递增数列； p2:数列a是递增数列；p3：数列是递增数列;p4：数列an+3nd是递增数列.其中的真命题为( )A.p,p B.p3,4C.p2，p D.p1，44 解析因为数列an为d的数列，所以an是递增数列,则p1为真命题而数列nn也是递增数列，所以p为真命题,故选DD2 等差数列及等有效期数列前n项和 9D，D42013安徽卷 设数列an满足a1=，+a8，且对任意nN,函数f（x)=(n+a2)x+a+1cos xn x满足f=.(1)求数列a的通项公式;(2)若bn=2，求数列bn的前n项和Sn9解：（1）由题设可得,f(x）aan+a+
4、-i x-an2cosx.对任意nN*,fana1a2n1=，即an+1an=an+-an1,故an为等差数列.由a1=，a2a4，解得an的公差d=1，所以2+1（n1）=1.()由2an22n+知,Sn=b1+b2+bn2n2+=+3n1.7.D201安徽卷 设Sn为等差数列an的前n项和,S=4a,a7-2，则9=（ ）.6 -4 .-D.27.解析 设公差为d,则8a1+28d=41+d，即a1-5,a7a1+6d5d=d=-2，所以a9a+2d.202,D2，3，D52013北京卷 给定数列,2,，对i=1,，-1,该数列前i项的最大值记为i，后ni项i，i+2,，an的最小值记为B
5、i，d=Aii.(1)设数列a为,4，7,1,写出1，d2，d3的值;(2)设a，an（4)是公比大于1的等比数列，且a0.证明:,d2,dn-1是等比数列;（3）设d,2，,n是公差大于0的等差数列,且d10，证明:a1,2，,an-1是等差数列.20.解：(1)d1，2,d3=6.()证明：因为0,公比q，所以a1，a2，an是递增数列来源：Zx.Com因此，对=1,，n-1,Aa，Bia1.于是对i=1,2,n,diAiBiia+1a1(1-q)qi-.因此di0且=(i1，2，,n2),即d1，2,d1是等比数列(3)证明:设为d1,d2,n-1的公差对1i,因为BBi1,0,所以1=
6、+1+d+Bi+di+dB+di=Ai.又因为A+axAi,i1，所以a1Aii.从而1,a2，a-1是递增数列,因此Aii(i=1,2，n)又因为1A1da1-11，所以B1aa1a，求a1的取值范围.来源:Zxk.Com17解:（1)因为数列an的公差d=1，且，a1,3成等比数列,所以a=（1+)，即a1=0，解得a1或a=2（2)因为数列an的公差d=1，且Sa1a9,所以110+8a1，即aa100，解得-5a2.1D，D313新课标全国卷 已知等差数列an的公差不为零,125，且a1,a11,a1成等比数列.()求n的通项公式;(2)求a1a4a+3n-21.解:(1)设an的公差
7、为d.由题意,aa13,即(+0d)2a1(a12d)，于是d(2a125d)0.又125,所以d=0(舍去)，d-2.故n=2n27(2)令Sa+a4+a+3n-2.由(1)知a3n-6n31,故3是首项为25，公差为6的等差数列从而n（a1a3n-)=(-656)-n2+2n.D201山东卷 设等差数列an的前n项和为Sn，且S42,a2n2n+1.(1)求数列a的通项公式;(2)若数列n满足+=1,nN*,求bn的前n项和.0解:（1)设等差数列an的首项为a1，公差为d.由S44S,a22a1得解得a1=1，d=2.因此an2n1，nN*.(2)由已知+=-,nN*,来源:学科网ZXX
8、K当n=1时,；当n2时，=1-=.所以,nN*由（)知an=n-1，n*，所以bn，N*.又Tn=+，Tn+，两式相减得Tn=+=-，所以Tn=3-.17.D2201陕西卷 设Sn表示数列的前n项和(1)若是等差数列，推导Sn的计算公式；(2)若a1,q,且对所有正整数n,有S.判断是否为等比数列，并证明你的结论7解： (1)方法一：设的公差为d，则Sna12an=a1+(a1d)+（-1)d,又Snn+(ad)+n-(n-1)d,2Sn(+an）,S方法二：设的公差为d,则Sn12+an=a1+(a1+d）+a1(n)d,又nan1+a1a+(n1）+1(n2)d+1,n2a1(n-1）d
9、2a（n-1)+21+（n-1)d=2n1()，Sn=+.()是等比数列.证明如下：Sn=,an1=+1-Sn-=qn.a11，q0,当n1时，有 =q.因此，an是首项为1且公比为q的等比数列6D2,D32013四川卷 在等比数列an中，a2-1=，且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列an的首项、公比及前n项和.1解：设该数列的公比为,由已知，可得1qa12，aq31+1q2，所以，a(-1)2,2-4q+0,解得q或q1.由于1（q-1)=2，因此q=1不合题意,应舍去.故公比,首项a1.所以,数列的前n项和n.7.2、D201新课标全国卷 已知等差数列an的前n项和n满足S3=0，S
10、=(1)求an的通项公式；来源:学科网ZXXK（)求数列的前n项和17.解：（1）设an的公差为d，则Sn=1+d由已知可得 解得11，1故an的通项公式为an=-n.(2)由(1）知,数列的前项和为.1D203浙江卷在公差为d的等差数列a中，已知=10,且a1,a2，a3成等比数列.(1)求d，an ;(2）若d0,求|a|2|a|+|a.19解:(1)由题意得5a1(222）2,即d2-3d4.故d-或d=.所以an-n，nN*或 an=4n6,nN*()设数列an的前n项和为S,因为d0.证明：d1，d2,，d-1是等比数列；（3）设d1,2，,dn-1是公差大于0的等差数列,且d0，证
11、明:a,a2，,a1是等差数列.2.解:(1)d1，d2，d=6.()证明：因为a1,公比q1,所以1，a2,an是递增数列因此，对1，2,n，i=ai,=ai+1.于是对i=1,2，,diAi-Biaiai+a1（q）q-1.因此di且q(i，,，2),即d，d2,d-1是等比数列(）证明:设d为d1，d2，,dn1的公差.对1in2,因为iBi1，d0,所以A+Bii1BdiBi+di又因为A1=maxA，ai+,所以a+1=A+Aiai.从而a1,a，an是递增数列,因此ai(i,2,n1)又因为B1=A1-d1=a1d1a，所以1aa2an-1.因此anB1.所以B1=BBn-1n.所
12、以ai=Bi+di=an+d.因此对i1，2,n-2都有ai+i=di+1did,即a1,a2,an-是等差数列.1.301北京卷若等比数列a满足a2+a4=2,a+a5=40,则公比q=_;前n项和Sn_. 2n+12解析 3aq(a4),40q,q2,a1(q+q3）=20,1=2，Sn=2n1-2.2.H6、H8、D3201全国卷 已知双曲线:=(a0，0)的左、右焦点分别为1,F2，离心率为3,直线y2与的两个交点间的距离为.（1)求a,b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点，且|AF|=F|，证明：|A2|,|B|,|BF成等比数列22.解:(1）由题设知=3，
13、即=9，故8a2.所以C的方程为8x22=8将y=代入上式，并求得=.由题设知，2 ,解得a=1.所以a1，b=2(2)证明:由（1)知,1(-3,0），F2(3，0）,C的方程为8x228.由题意可设l的方程为y=k（x3），k|a19,求a1的取值范围.1.解：(1）因为数列an的公差d=1,且,a1,a3成等比数列，所以a=1（a1+2),即a12=0,解得11或a=2.()因为数列的公差d=1，且Sa1a9，所以5a10a+8a1，即a+3a1-10，解得-5aaa2an的最大正整数的值为_14.12解析 设an的公比为q.由5及a5(+q)=3得2,所以a=，所以a1,a1a211=
14、a1，此时a1a2a11.又a1+a2+a127-，a1a2a126a1a2a12，但12+13=28,1a2a13262725288,所以a+a+a130.证明:d1,2,，dn-1是等比数列;(）设d1,d2，,n-1是公差大于0的等差数列,且d1,证明：a1，a2，an是等差数列.2.解:（1)12，d23，d3=6(2)证明:因为a10,公比q,所以1,2,，a是递增数列.因此,对1，2，,n-1，Aia，Bia1.于是对i，2，n-1，d=AiBii-ai+1a1（1q）qi1因此di且（i=1,2,，n2),即d1，d，dn1是等比数列（)证明：设d为d1,d2,，dn1的公差.对
15、1n-，因为BiB+1,0，所以Ai1Bi1i+idi+dBi+iAi.又因为i1=axAi,ai1，所以ai1=Ai+ai从而1,，,n-1是递增数列，因此Ai=ai(i=1,，n).又因为B1=A1-d1=ad1a1，所以B1aan1.因此an=.所以B1=Bn-1a.所以ai=AiBidin+i.因此对i1,2,，n2都有ai+1aidi+1-did，即a1，a2,an1是等差数列.19D5,920广东卷 设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,满足=a4n1,N,且a2，a5，a14构成等比数列.(1）证明：a2=；(2)求数列an的通项公式;()证明：对一切正整数n,有+.19.解
16、：19D5203湖北卷已知Sn是等比数列a的前n项和，S,2,S3成等差数列，且a2a3+48.(1）求数列a的通项公式；()是否存在正整数n，使得Sn？若存在,求出符合条件的所有n的集合；若不存在,说明理由.1.解:(1)设数列n的公比为，则a0，q0.由题意得即解得故数列an的通项公式为an3(2）n-.（2）由(1)有Sn=1（2)n.若存在n,使得Sn01,则1(-2)n 13,即（-2）n-2 12.当n为偶数时，(-2)n0,上式不成立;当为奇数时,（2)n-2n-2 01，即2n2 012,则n11.综上，存在符合条件的正整数n,且所有这样的n的集合为n|n=2+1,kN，k51
17、5D1，D5201湖南卷 对于E=，a2，,10的子集X=ai1,i2，,ak，定义X的“特征数列”为x,2，,x10,其中xi2=ik=1,其余项均为0.例如：子集a2，a的“特征数列”为0,1，1，.（1)子集1,3,的“特征数列”的前3项和等于_;(2）若的子集P的“特征数列”p1,p2,0满足p1=1，+pi1=1,1i99；E的子集Q的“特征数列”q1,q2,q1满足q=1，jqj+j+21,j8,则PQ的元素个数为_152 17 解析 （1）由特征数列的定义可知,子集a1，a3，a5的“特征数列”为1,0,1，0，1,0，0，故可知前三项和为2.（2)根据“E的子集P的“特征数列”
18、1，p2,，p100满足p1=1，pi+pi+1=，199”可知子集P的“特征数列”为1,0，1,0，,1，0.即奇数项为,偶数项为.根据“E的子集的“特征数列”q1，q2，q00满足q1，q+qj+1+qj2=1，1j9”可知子集Q的“特征数列为,0,1，0,0，,0,1.即项数除以3后的余数为1的项为1，其余项为0,则P的元素为项数除以6余数为1的项,可知有1,a7,a13,共17项19D501江苏卷 设an是首项为,公差为d的等差数列(d0)，Sn是其前项的和.记b，n*,其中为实数（1)若c=0,且b,b2,b4成等比数列,证明:Snk=nSk(,n*);（2)若n是等差数列，证明:c
19、=0.19.解:由题设，Snnad.(1)由=0,得n=a+.又因为b，2，b成等比数列，所以bb4，即=a，化简得d2-ad0.因为d0,所以=2a.因此，对于所有的*,有Sm=m2.从而对于所有的k,*,有Snk(k)a=nk2a2k.(2)设数列bn的公差是，则bnb1（n）d1,即=b1+(n）d1，nN，代入Sn的表达式，整理得,对于所有的n*,有n3n2cdn=c(d1b）令d1-d，B1d1-+，Dc(db），则对于所有的N*，有An3+n2cdD(*）在(*)式中分别取n1，2,3,4，得A+Bcd18A4B+cd127A+93cd164A+164cd1,从而有由，得A=,cd
20、1=-5,代入方程,得B，从而cd1=.即d1d0，b1d1-a+d=0,cd0若1=0,则由d1=0得d=0，与题设矛盾，所以d1.又因为cd1=,所以c=0.1.D52013天津卷 已知首项为的等比数列an的前n项和为n（nN*),且-2S2,S3,S成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)证明S(nN*)19.解:()设等比数列an的公比为q，因为2S，4S4成等差数列,所以S3+22=4S43，即-S3S2S4，可得24=a3，于是q=.又a1=，所以等比数列a的通项公式为an=-n-(-1)-.()证明：Sn1-，Sn=1-n当为奇数时，随n的增大而减小，所以S+1当为偶数时，
21、n+随n的增大而减小,所以S+S+.故对于nN*，有n.1.013新乡期末 数列中,1=1,an1,则a4等于( ). B.C. D.1.A解析 由a1=,an+1得,a2=2,a3=+1=,a4=1+1=，选A2.2合肥联考已知等差数列n的前n项和为Sn,+a813且S7=35,则a7=（ )A.11 .1 .2解析 由已知及等差数列的性质S=74=5,所以a45,又a4+3+a=13,所以a7=，选D.3203天津新华中学月考 设S是等差数列an的前n项和,S53(a2)，则的值为（ ).B.C.D3D解析由S5=3(a8)及等差数列的性质得a5，即56a5，所以,选D.4.2013岳阳模
22、拟 已知等比数列n的前n项和为S=3a，n*,则实数a的值是（ )A. .3C.-.1 解析 当n时,an=Sn-1=3n-3n-=2n-1；当=1时，=1=a，因为是等比数列,所以有3+a=2,解得a,选C.5013成都检测 已知等比数列a的前三项依次为a1，a1,a4，则an=( )A.4(）n B.4()-1C4()n D.4()-1B解析因为数列an为等比数列，所以(+)=(a-1)(a+4),解得a，即数列的前三项为4，6，9，公比为，所以a=q1=4.6.201昆明调研 公比不为1的等比数列n的前n项和为Sn，且-3a1,-a2，3成等差数列,若11，则S4=( )A20 B0C .40.解析 设数列的公比为q(q1),因为3a1，-a，成等差数列,所以-2a，由于a11，所以-+q2q=0，因为q1，所以=-3故S4=1-3+970