大学物理振动和波.ppt

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1、第一章,振动和波, 1-1 简谐振动 1-2 简谐振动的合成 1-3 简谐波 1-4 波的叠加和干涉,2,主要内容,3,机械振动：,微观振动：, 电磁振荡,如图,电荷在LC电路中往复运动.,物体在其平衡位置附近,位移x随时间t 的周期性变化.,电磁振动：,电场、磁场等电磁量随t周期性变化.,如晶格上原子的振动。,振动的分类1：,4,(简谐振动),振动的分类2：,5,一. 简谐振动（S.H.V.）: 1. 定义： 位置坐标按余弦(或正弦)规律随时间变化。,x(t)=Acos( t+),简谐振动的运动学方程,也可用复数表示：,计算结果一般取实部,曲线描述,7,等幅、周期性,3. 简谐振动特性,最简

2、单、最基本。其他复杂振动可分解成谐振动的叠加。,简谐振动被认为是各式周期运动的基本成分，这有两个根据。,1.数学上：,傅里叶分析,2.物理上：,动力学系统的线性,8,弹簧振子(谐振子)在弹性恢复力的作用下作自由振动简谐振动,由,则,简谐振动的动力学方程(特征方程),(加速度与“位移”正比、反向),二. 简谐振动动力学方程,9,质点作直线谐振动. 对特征方程,两边同乘以振子质量m, 有,且,即: 作直线谐振动的质点必受线性回复力.,1. 线谐振动,k* 有效劲度系数,2. 角谐振动 (定轴转动/小角摆动),10,特征方程:,或,同乘以I：,即：角谐振动 线性回复力矩, 且,摆：,当 很小, si

3、n 时 单摆,11,如果物体受到的力是线性回复力，则可判定物体作简谐振动，如果不是，那么物体不作简谐振动。线性回复力f= - kx的特点如下：,1.力 f 与位移 x 的一次方成正比，这个就是“线性”的含义；,2.式中负号表明力的方向永远与位移方向相反，即力总是指向平衡位置，这个就是“回复”的含义；,3.当x=0 时，力 f=0，运动存在一个平衡位置，在这个位置上物体沿振动方向不受力。,简谐振动的判据,受到线性回复力,例：如图, 宽阔水面上的柱形浮体, 质量m, 水平截面面积为S, 平衡时吃水深度h. 试证明它作简谐振动.,13,解：宽阔水面液面不变。取坐标系如图，, 与x无关. ,偏离平衡位

4、置为x 时, 浮体所受合力为,得证！,14,三. 简谐振动的参量,相位,频率,振幅,初相,周期,或,圆频率(角频率),15,2. 圆频率(角频率) 、周期、频率,描述振动系统的固有属性,圆频率：,(注意和的区别)(rad/s), 也称为固有圆频率,1.振幅：A,16,单位时间内振动的次数(Hz),频率：,T 完成一次振动的时间(s),周期：, 也称为固有周期, 也称为固有频率,17,3. 位相和初相,相位(位相):,描述 t 时刻的振动状态(周期变化的物理量变化到哪个阶段),如,物体在O点向左运动,物体在O点向右运动, t 0 时的相位,初相：,18,谐振动系统特征量的求法： 谐振动系统的角频

5、率取决于系统的弹性元件和质量元件，因此分析系统的装置情况一般就可以得到角频率。 振幅和初相位则取决于振动的初始状态（初始位置和初始速度），因此求振幅和相位就归结为求初始位置和初始速度。,常数 和 的确定,对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件（两个）决定.,曲线描述,四. 谐振系统的能量,21,由,有,简谐振动系统机械能守恒，各时刻的机械能均等于起始能量E0 (t 0 时输入的能量)。,动能,弹性势能,1. 谐振系统的动能和势能,及, 同乘以m,谐振系统中动能、势能间的关系如右图：,22,由起始能量求振幅：,2. 谐振系统的平均动能和平均势能,周期函数在一个周期内的平均值

6、:,应用于谐振动：,23,例1：简谐振动物体的位移为振幅的一半时，其动能和势能之比为：,（A） 1：1 ；,（B）1：2 ；,（C） 3：1 ；,（D） 2：1。,正确答案：,（C）,简谐振动的总能量为：,其势能为：,其动能为：,当物体的位移为振幅的一半时,例2: 竖直弹簧谐振子, 平衡后用恒力F 向下拉0.5m, 撤去F, 此时t = 0, 已知: k = 200N/m, m = 4.0kg, F = 100N, S = 0.5m, 求振动方程.,25,解: 如图，m作谐振动的圆频率为,对谐振系统(k, m)用功能原理:,由,得, 谐振动方程:,例3: 光滑U型管内装水银, 密度为. 管截面

7、为S, 使水银偏离平衡位置后任其自由振动. 求其往复振动的周期T.,27,解: 如图, 平衡时右管中液面坐标x = 0, t 时刻为x. 各处水银质元切向加速度相等,五. 谐振动的旋转矢量表示,28,（旋转矢量旋转一周所需的时间）,用旋转矢量图画简谐运动的 图,旋转矢量表示的优越性,直观展示简谐振动各参量的关系，便于确定j的象限 便于对两个或多个简谐振动进行比较 便于处理简谐振动叠加问题,相位差：表示两个相位之差 .,1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间.,2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异.（解决振动合成问题）,由图看出：速度超前位移,加速度超

8、前速度,称两振动同相,3） 方便比较不同物理量振动步调,位移与加速度,称两振动反相,若,例1 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数 ，物体的质量 . （1）把物体从平衡位置向右拉到 处停下后再释放，求简谐运动方程；,（3）如果物体在 处时速度不等于零，而是具有向右的初速度 ，求其运动方程.,（2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度；,解 （1）,由旋转矢量图可知,（1）把物体从平衡位置向右拉到 处停下后再释放，求简谐运动方程；,解,由旋转矢量图可知,（负号表示速度沿 轴负方向）,（2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度；,解,（3）如果物体在 处时速度不等于零，而

9、是具有向右的初速度 ，求其运动方程.,因为 ，由旋转矢量图可知,（1） 时，物体所处的位置和所受的力；,解,代入,代入上式得,（2）由起始位置运动到 处所需要的最短时间.,法一 设由起始位置运动到 处所需要的最短时间为,解法二,起始时刻,时刻,阻尼振动,45,能量耗散 阻尼振动 原因: 空气阻力, 摩擦力, 电阻, 电磁辐射等,机械振动: 低速时阻力速度:,阻力系数,阻尼振动特征方程:,0 系统无阻尼时的固有频率, 且,表示阻尼大小 阻尼系数,阻尼项,46,按特征根分类:, 弱阻尼:,振幅随t衰减, 临界阻尼:, 非周期, 直接回到平衡位置, 过阻尼:,非周期, 缓慢趋向平衡位置.,振幅随 t

10、 减小,近似具有周期,受迫振动,47,外界周期性驱动(交变电动势) 可使振动不衰减,设驱动力为 非齐次微分方程,解:,其中,t 时,即: 系统以外来驱动力的频率 振动,阻尼项,周期驱动项,共振,48,分析振幅A、相位 :,时, A 取极大值, 位移共振；,例：Tacoma大桥(1940.11.7, 4个月，驻波+共振) 同理，可以讨论速度共振,1-2. 简谐振动的合成,49, 简谐振动. 频率不变, A和与分振动有关.,(k 0,1,2),振动加强!,振动减弱!,一. 同方向、同频率谐振动的合成,多个同方向同频率简谐运动的合成,多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动,二. 同方向不同频率的谐

11、振动的合成,51,两个同方向、不同频率的 谐振动合成不再是简谐运动！,以同振幅情况为例：,拍(beat)：,当 时 拍,这时质点近似作角频率 的谐振动,但 振幅随时间t 缓慢变化.,52,拍频: 合振动在单位时间内加强(或减弱)的次数,三. 相互垂直的谐振动的合成 1. 同频率,53,轨迹方程:,用旋转矢量描绘振动合成图,2. 不同频率,56,n1, n2为不可约的正整数,合振动周期:,轨迹成闭合平面曲线 李萨如图形,频率不成整数比 频率成整数比,李 萨 如 图 形,李萨如图形与 和 都有关,N1x方向切线对图形切点数 N2y方向切线对图形切点数,谐振分析（频谱分析） 一个周期性振动可分解为一

12、系列频率分立的简谐振动,58,若周期振动的频率为：0 则各分振动的频率为：0， 20， 30， 分别称作基频，二次谐频，三次谐频，,59,思考:歌唱家“声音洪亮,音域宽广,音色甜美”。各指什么？,一个非周期性振动可分解为无限多个频率连续变化的简谐振动,60,Fourier分析：,波 某处的扰动以特定规律在空间传播,能量传播的一种方式，t时刻、 附近物理量的分布在t +t 时刻出现在 的周围.,用波函数描写(特定边界条件下波动方程的解),分类: 按物理量: 机械波(弹性波), 电磁波, 物质波 按传播方式: 纵波, 横波； 按波面：球面波、柱面波、平面波,波动性: 对线性无吸收媒质满足叠加原理

13、反射,折射,干涉, 衍射, (横波: 偏振),1-3 简谐波,一 机械波的形成,产生条件：1）波源；2）弹性介质.,波是运动状态的传播，介质的质点并不随波传播.,机械波：机械振动在弹性介质中的传播.,软绳,软弹簧,在机械波中，横波只能在固体中出现；纵波可在气体、液体和固体中出现。空气中的声波是纵波。液体表面的波动情况较复杂，不是单纯的纵波或横波。,横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波.,（仅在固体中传播 ）,二 横波与纵波,特征：具有交替出现的波峰和波谷.,纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波.,（可在固体、液体和气体中传播）,特征：具有交替出现的密部和疏部.,水表面的波既非横波

14、又非纵波,球面波、柱面波、平面波:,媒质中各质点的位移都随时间变化，如何描述？,二.波函数(波方程),波函数 y : 随其平衡位置 和时间t变化的数学函数,振动方程： 对确定的 , 给出以 为平衡位置的质点的振动。相应的 y-t曲线称为振动曲线,波形方程：对确定的 给出t0时刻各质点的位移 。,注意波函数与振动方程、波形方程的区别！,相应的y-x曲线称为波形曲线,线性无吸收媒质中的平面简谐波,平面简谐波 波场中各质点在各时刻的振动方程均为余弦(或正弦)形式的平面波.,线性无吸收媒质中, 波不衰减! 各质点振幅相同.,平面简谐波的波函数(波方程),已知某点振动情况 + 描述波的参数(如波速),求

15、媒质中任意质点的振动.,各质点(质元) 都按照波源的振动规律振动 振动相位沿波的传播方向依次落后,?,若t时刻x0处有,令 为波数, 有平面简谐波波函数:,其他形式: 如,则xp点在t 时的位移为,注意:,1.波函数的意义: 是平衡位置为x的质元在t时刻对于其平衡位置的位移. 2. 波速 媒质, 频率波源. 3. 0的意义：原点处质点振动的初相位 4. 区别波速u和质点振动速度v，确定传播方向 5. 波速u是相位传播速度(相速度).,相速度: 令某相位在x，t变化时保持不变, 则,波动方程的一般形式 (线性无吸收媒质):,满足该方程都是平面波(或多个简谐波的叠加).,三维:,一维: 对 各求关

16、于x和t的二阶偏导数,例:一平面简谐波在媒质中以u=20ms-1的速度沿直线传播，已知传播路径上某点A的振动方程为y = 3cos4t ，如下图所示。,(1)如以A点为坐标原点，写出波函数；,(2)如以距A点为5m处的B点为坐标原点，写出波函数；,(3)写出图中C、D点的振动方程及振动速度表达式。,解：已知u = 20m/s, = 2s-1, = u/ =10 m A点的振动方程为 y = 3cos4t,(1)以A点为原点的波函数为,(2)已知波的传播方向由左向右，故B点的相位比A点超前，其振动方程为,以B点为原点的波函数为,(3)分别将xC = - 8 m, xD = 14 m代入B点为原点

17、的波函数，得 到C点和D点的振动方程为,将上两式分别对时间求导，可得C点、D点的振动速度表达式,例: 如图, 已知两个不同时刻的波形曲线, 试确定其传播方向.,解: 旋转矢量法,或：波形沿传播方向传播距离, 的时间内，, 传播方向向右,例: 已知t = 0时的平面余弦波波形如图, 求:,1)波方程, 2)t = 0.0025s时的波形 3)x = 0.6m处的质元振动曲线.,解: (1) 设波方程,由图得,图中 处最大, 故该点振动方程为:,对任一x, 波方程为,方法二:,(2) 求 时的波形,(3) 求 处质元的振动曲线,波形图：,未起振的体积元,波的能量,1.能量密度（单位体积媒质中波的能

18、量）,可见，波动过程是媒质中各体积元不断地从与其相邻的上一个体积元接收能量，并传递给与其相邻的下一个体积元的能量传播过程过程。,能流、能流密度,2.能流 和 能流密度,u,3. 各向同性均匀无吸收媒质中波的振幅变化,S1S2, A1A2,平面波,柱面波,球面波,以平面波为例：,由,得, 平面波在媒质不吸收的情况下, 振幅不变。,4. 波的吸收,波在传播中的能量损耗,对线性媒质，设入射波强I0，透射dx距离，,波强改变dI,(指数衰减!）,分离变量法求解：, 媒质的吸收系数，与物性和波频率有关,对确定物质， 或 色散、滤色,如滤色镜、交通灯颜色、卫星通讯频率,在弹性介质中传播的机械纵波，一般统称

19、为声波.,可闻声波 20 20000 Hz 次声波 低于20 Hz 超声波 高于20000 Hz,声强：声波的能流密度.,声波和超声波,贝尔（B）,声强级：人们规定声强 （即相当于频率为 1000 Hz 的声波能引起听觉的最弱的声强）为测定声强的标准. 如某声波的声强为 I ， 则比值 的对数，叫做相应于 I 的声强级 LI .,声强：声波的能流密度.,能够引起人们听觉的声强范围：,分贝（ dB ）,几种声音近似的声强、声强级和响度,一. 惠更斯原理,任一点振动 邻近各点振动 各点都可视为新波源, 发球面波.,惠更斯原理: 媒质中波动传到的各点, 都可以看作是发射子波的波源, 在其后的任一时刻

20、, 这些子波的包络面就决定了新的波阵面. Christian Huygens, (荷),1690,平面波:,球面波:,可定性解释波的衍射、反射和折射,1-4. 波的叠加和干涉,二. 波的衍射(绕射),波传播中遇到有限大障碍物 (或大障碍物中的孔隙), 绕过边缘, 传播方向弯曲,(障碍物或孔隙边缘的背后衍展),三. 波的反射和折射,两种媒质的界面 反射和折射.,对各向同性的媒质, 有,波的反射定律:,入射线、反射线和界面法线共面,入射角等于反射角, i = i,波的折射定律:,入射线、反射线和界面法线共面,入射角和反射角正弦值之比等于相应波速之比,n21 相对折射率,3. 不足之处：未涉及振幅，

21、相位等的分布规律。,一. 波的叠加原理,线性波相遇:,各波保持原有特性(如, , 振动方向等), 并沿各自的传播方向继续前进（波的独立性）。,在交叠区:,质元合振动 各波分振动的矢量叠加.,数学: 线性波动方程的几个解之和仍是该方程的解.,二. 波的干涉现象,几列波的交叠区中, 质元的合振动出现强弱(振幅)随位置不同而异的稳定图象.,三. 波的干涉,1. 波的相干条件,频率相同;,振动方向相同;,分振动的相位差恒定.,从观察角度还要求：,各分振动振幅相差不太大.,相干波源,2. 两列简谐波的干涉,如图，两相干波源 ，,经 在P点相遇,波程：几何距离 或,波程差：,相位差,波源S1, S2的振动

22、方程:,两波在P点相遇，引起的振动方程分别为：,P点相遇，质点的合振动方程：,两列波在P点的相位差:,合振幅:,波的强度 A2,其中I1, I2为S1, S2单独发出的波强。,可见:,振幅(强度)最大：,振幅(强度)最小：, P点处波强：,从能量上看，两波干涉时，在两波交叠区域，合成波在空间各处的强度并不等于两个分波强度之和，而是发生重新分布。这种新的强度分布是时间上稳定、空间上强弱周期性相间的分布。,特例:,干涉相长,干涉相消,一. 驻波的波函数,入射波：,两列传播方向相反的相干波的叠加.,四. 驻波,存在波节和波腹, 相间, 等距，相邻波节(或波腹)之间的距离为/2.,简谐波形不传播，以波

23、节为界, 仅振幅变化.,相邻波节间各质元相位相同，同起同落,波节两侧: 相位相反，此起彼落,良好的反射面可使反射波和入射波振幅几乎相等，在这种情况下，反射波和入射波叠加形成驻波,产生驻波的常用方式反射,相位跃变（半波损失）,当波从波疏介质垂直入射到波密介质， 被反射到波疏介质时形成波节. 入射波与反射波在此处的相位时时相反, 即反射波在分界处产生 的相位跃变，相当于出现了半个波长的波程差，称半波损失.,当波从波密介质垂直入射到波疏介质， 被反射到波密介质时形成波腹. 入射波与反射波在此处的相位时时相同，即反射波在分界处不产生相位跃变.,有半波损失的反射也称为固定端反射，反射面处为波节,无半波损

24、失的反射也称为自由端反射，反射面处为波腹,固定端反射,自由端反射,五. 多普勒效应,波源(S)或波检测器 (R)相对于媒质有运动, 多普勒效应：波的观测频率 波源频率 。,一.S 静止,检测器 R 朝波源 S 运动，,与R相距( )米以内 的波都可在1秒内进入R,S 发出,进入 R,更一般地有,二.R 静止,t = 0时, S在O点的振动状态在t 时刻传到A点.,t = T时, S到达O点, 其振动状态在t时刻传到B点.,A,B两点相位相差2,而,即,一般地,有,三.R,S同时运动,综合前两种情况有,四.R,S同时运动,例: 反射面以速度 向波源 S 及检测器R 运动. 已知R 测得拍频 , 声速u = 340 m/s, 求波源频率.,解:,R接收的直达波频率:,反射面处的振动频率:,R接收到的反射波的频率:,拍频:,雷达/测速器原理.,(时速72km), 波源频率 ,可得,第一章总结,简谐振动的动力学方程和运动学方程 简谐振动的旋转矢量法表示 简谐振动的能量 阻尼振动和受迫振动 简谐振动的合成 简谐波的概念和运动学方程 波的能量密度，能流和能流密度 惠更斯原理 波的干涉和衍射 多普勒效应,