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1、第一章 有理数及其运算第一讲:有理数一、 小学知识回顾自然数： 分数: 小数： 例题：下列各数3,4.,0，200，1, 0.，3，1.,025中自然数: 小数: 分数: 二、相反意义的量:在日常生活中,常会遇到这样一些量(事情）：例:汽车向东行驶3千米和向西行驶2千米。例:温度是零上10和零下5。例3:收入500元和支出237元。例:水位升高1.2米和下降0.7米。由相反意义的词表示的两个量，像“零上”和“零下”、“收入”和“支出”、“增加”和“减少”、“升高”和“降低”等等,就是具有相反意义的量。例题：1.向东走10米的相反意义的量是_;2.上升10米的相反意义的量是_;.零上1的相反意义
2、的量是_;4收入200元与_是相反意义的量;5.买进2吨货与_是相反意义的量;6.海平面以上3米与_是相反意义的量.三、正数和负数：生活中,为了更好的表示那些具有相反意义的量，我们把其中一个量规定为正的,用 表示,而把与这个量意义相反的量规定为负的，用 表示。我们引进了5，,37，0.7等数。像这样的一些新数,叫做负数。过去学过的那些数（零除外)，如10,3,50，.2等，叫做正数。正数 0,负数 0。注意：(1）对于正数和负数的意义,不能简单地理解为带“+”号的数是正数,带“-”号的数是负数。()负数是在正数前面加上一个“-”号，如5, (7)等都是负数,负数中的“”不能省略。 (3） 0既
3、不是正数也不是负数。0是正数和负数的分界点。例题：.10表示支出1元，那么+5表示 ;如果零上度记作5C，那么零下2度记作 ；如果上升0m记作10m，那么3表示 ;太平洋中的马里亚纳海沟深达11034米,可记作海拔 米(即低于海平面103米）。比海平面高50m的地方,它的高度记作海拨 ;2.下面说法正确的是（ ） .正数都带有“+”号 不带“”号的数都是负数.小学数学中学过的数都可以看作是正数 .0既不是正数也不是负数.数学测验班平均分8分，小华85分，高出平均分5分记作+，小松8分,记作 。4.某物体向右运动为正,那么2m表示 ，0表示 。5.一种零件的内径尺寸在图纸上是1005（单位m)，
4、表示这种零件的标准尺寸是10mm加工要求最大不超过标准尺寸 ,最小不超过标准尺寸 。6.正常水位为m,水位高于正常水位02m 记作 ,低于正常水位0.记作 。一个物体沿东西两个相反的方向运动时可以用正负数表示它们的运动,如果向东运动4m记作m,向西运动8m记作 ；如果7m表示物体向西运动m,那么6m表明 .下面的数中哪些数是正数?哪些数是负数?，-3.1,3，-30，7,0.8,18，0.1，-5.32, -80, 13, 2.33。正数有: ，负数有: 。四、有理数及其分类1.有理数定义: 统称为有理数。整数包括 、分数包括 。注:分数可以与有限小数和无限循环小数相互转化。2有理数分类:（1
5、)按符号分:（正、负) 正整数：如1,3， 正有理数 正分数：如,5.2，有理数 零:0 负整数：如-1，-，-3, 负有理数 负分数：如-，3.,-,()按定义分：（整数和分数统称为有理数) 正整数：如,2,3， 整数 零:0 负整数：如-1,-，-，有理数 正分数：如，.2, 分数 负分数:如-，-3.5，-，例题：把下列各数填入表示它所在的数集的圈里:1,3116，0,001,，0.12857,9 正数集 负数集 整数集 有理数集.把下列数填入相应集合括号：2,5.5,，,%，3.14，0,2，0.1，1（1）整数集合: （2）分数集合： (3）正数集合: (）负数集合： (5）正整数集
6、合: (6)负整数集合: （7)正分数集合： (）负分数集合: (9)正有理数集合： (0)负有理数集合: 课堂练习:1、 判断正误：(1）有理数分整数、分数、正有理数、负有理数、零五类。 （ )（2)一个有理数不是整数就是负数。 （ )2、在-,，1，3这四个数中比小的数是 ( ）A-2 B.0 C.1 D.23、零上1记作+30，零下C课记作 （ ）.2 B-2 C. 2o D. -2oC、在数,-, 0,3.14中，负分数有（ )A.个 1个 .个 D.3个5、一包盐上标：净重(5005）克,表示这包盐最重是（ )克,最少有（ )克。6、观察下面一列数,根据规律写出横线上的数,-；-;
7、； ;7、 把下列数填入相应括号-，3，4,0,0.1,.75，0,-20,2，20%,正数集合： ；分数集合： ；整数集合: ;负数集合: 。 、甲、乙两人同时从某地出发，如果甲向南走100m记作+10m,则乙向北走70m记作什么？这时甲、乙两人相距多少米?、在一次数学测验中，某班的平均分为6分,把高于平均分的高出部分的数记为正数。 (1)平平的96分，应记为多少? ()小聪被记作-1分,他实际得分是多少?、某化肥厂每月计划生产化肥0吨,月份超额生产了2吨,月份相差2吨，月份相差3吨，5月份超额生产了6吨，6月份刚好完成计划指标，月份超额生产了5吨,请你设计一个表格用有理数表示这6个月的生产
8、情况。1.某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品8袋,检测每袋的质量是否符合标准,超过或不足的部分分别用正数、负数来表示,记录如下表:与标准质量的差值（单位：克)3-102袋数232(）这批样品的总质量比标准质量多还是少？多或少几克?(）若每袋标准质量为45克,则抽样检测的总质量是多少？课后作业:一、填空题1.若赢利00元记作00元，亏损500可记作 元.若规定向东为“+”,则25米表示 走25米,-5米表示 走25米3.若“”表示比海平面低，则+000米表示 .4若自行车车条的长度比标准长度长m记作+m，那么比标准长度短mm记作 .某地某日的最高温度是零上8，记作+8，那么当日最低温度零下6,应
9、记作 .6.小明的姐姐在银行工作,她把支取3万元记作-万元，那么存入万元应记作 .最小的正整数是 ,最大的负整数是 .二、选择题.最小的整数是(）（A） - （） 0 （C） （） 不存在.下列说法正确的是（)(）表示没有温度 (B） 既可以看作正数又可以看作负数（)既不是正数又不是负数 （D) 0是正整数0.“小明比小红大2岁”表示的意义是（）() 小明比小红小岁 （) 小明比小红大2岁 （C) 小红比小明大-岁 （） 小红比小明小-岁1.一潜水艇所在的高度是-50米，一条鲨鱼在艇上方1米处，鲨鱼所在的高度是（ )(） 0米 (B)-60米 （） 4米 （D）-40米12甲地海拔高度是50m
10、,乙地海拔高度是20m ,丙地海拔高度是-3 m,最高的地方比最低的地方高（ ）（) (B) 20 m （）80 m （） 5m.高度每上升1千米，气温下降，现在千米高空的温度是20,那么地面温度为（ ）(） -10 （）10 （C）0 （D） -30三、解答题1.把下列各数填到相应的大括号里：-1,.3，+72, 0,， -6.4,1, ， 26, ， ,.(）整数集合: （2）正数集合： ()负数集合: (）非负整数集合: （5）自然数集合： （）有理数集合： ()正分数集合： (8）负整数集合： 15.某中学对初三男生进行引体向上的测试，以能做7个为标准，超过的次数用正数表示,不足的次数
11、用负数表示，其中8名男生的成绩如下表:2-103-2-310（)这名男生有百分之几达到标准?（2)这8名男生共做了几个引体向上?16测一座公路桥的长度，各次测得的数据是:83米，82米，86米,8米,5米（1)求这五次测量的平均值；(）如以求出的平均值为基准数,用正、负数表示出各次测量的数值与平均值的差.1某校购回面粉10袋,每袋5千克,入库时又重新称量,结果如下,(超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数）。+0.,-0.，11,0,.3,+04,-12,0.7，0.6。问：该校共买进面粉多少千克？平均每袋面粉重多少？平均每袋面粉比标准量多还是少？第二讲:数轴一、知识回顾:1、有理数: 和
12、 统称为有理数。2、正数和负数：像5，.2，这样的数叫做 ;在正数的前面加上“”号的数叫做 ,如-1,-3，、0既不是 也不是 。二、数轴.数轴概念画一条 ，取点表示0，叫做 ，选取某一长度作为 ,规定向 的方向为正方向，数轴如下: -5 -4 -3 -2 -10 1 3 4 数轴三要素： 、 和 。（三者缺一不可)例题:.下列选项中,表示的数轴正确的是（ ） - 1 0 1 2 -1 -2 0 1 2 -1 0 -2 -1 0 1 22. 取每隔2个单位长度为一点，做一条数轴。2.数轴上的点与有理数的关系所有有理数都可以用数轴上的点来表示,0表示 ,正有理数可以用原点 表示，负有理数可以用原
13、点左边的点表示。但反过来，不能说数轴上的所有点都表示有理数。例题:1如图,数轴上的点A、B、C、D分别表示什么数？2.画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数:-,+5,0,+3.5.3.若数轴上的点A向右移动2个单位长度后，又向左移动个单位长度,此时正好对应8这个点,那么原来A点对应的数是 。3.利用数轴比较有理数的大小数轴上两个点表示的数, 边的总比 边的大。正数 0,负数 0,正数 负数。例题:1将有理数-2,+1，0，-2,3在数轴上表示出来，并用“”连接各数。2. a、为两个有理数，在数轴上的位置如图所示,把a、b、-、-b、0按从小到大的顺序排列出来。0a b.已知ab，比较,-a,b
14、,的大小。三、相反数01-11.几何定义:在数轴上,原点两旁离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数;如图所示1和-1.代数定义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个数是另一个数的相反数,也称这两个数互为相反数。特别地,0的相反数为 。3相反数表示方法:表示一个数的相反数，只要在这个数的前面添上一个“ ”号即可,如6的相反数是 ，-6的相反数可以表示为-（ ） 。一般地，数的相反数是 。b的相反数是 例题:.下列说法正确的是( )一个数比它的相反数小,那么这个数是正数。B符号相反的两个数互为相反数。C 互为相反数的两个数可能相等。D一个数的相反数不可能大于它本身。2. 的相反数的相反
15、数是，（)的相反数是 .（1）.1与a互为相反数，那么= 。 （2）a的相反数是 。（3)若-的相反数是-7.5，则= 。（)如果m的相反数是最大的负整数,n的相反数是-,那么m+= 。4多重符号的化简:在一个数的前面添加一个“ ”号，依然与原数相同。如:+5=在一个数的前面添加一个“ ”号,就成为原数的相反数。例题:1.化简下列各数的符号。(）-（） (2）-（+35) (3）(-1） (4)-（+5)课堂练习:1、 下列各图中，是数轴的是( ）ABCD01101-1012、下列说法中正确的是()A正数和负数互为相反数 B是最小的整数C在数轴上表示+的点与表示-3的点之间相距1个单位长度D所
16、有有理数都可以用数轴上的点表示3、下列说法错误的是（）A所有的有理数都可以用数轴上的点表示 B数轴上的原点表示C在数轴上表示的点与表示+的点的距离是2D.数轴上表示-5的点，在原点负方向个单位4、数轴上表示25与的点之间,表示整数的点的个数是( )A.4.5D6、 若-=8,则x的相反数在原点的_侧。6、 把在数轴上表示-的点移动个单位长度后，所得到对应点的数是_。、数轴上到原点的距离小于3的整数的个数为，不大于的整数的个数为y，等于3的整数的个数为,则+z=_.8. 的相反数是 , 与互为相反数， 的相反数是1.1。9. -(-35)= -（) -(+9）= 10.在数轴上距离数1是2个单位
17、的点表示的数是_；1.指出下图所示的数轴上各点分别表示什么数。,B，C,D,E，F分别表示_,_,_，_,_,_。2数轴上点A和点B表示互为相反数，A,B两点的距离是10，求这两个数分别为_。13画出数轴，把下列各数在数轴上表示出来,并按从小到大的顺序，用“”连接起来。一辆货车从货场A出发,向东走了千米到达批发部B,继续向东走5千米到达商场C,又向西走了5.5千米到达超市D,最后回到货场。（1）用一个单位长度表示1千米，以东为正方向,以货场为原点,画出数轴并在数轴上标明货场A，批发部B,商场，超市D的位置(2）超市D距货场A多远?(）货车一共行驶了多少千米？课后作业：一、填空题1. 如图，在数
18、轴上点表示数 ,点表示数，点表示数 ，点表示数 。2.把下列各数的相反数在数轴上表示出来，并用“”号把这些相反数连接起来：，,0,。用“”号连接: 3.数轴上表示-的点在原点 侧，距原点的距离是 ；+7.在原点 侧，距原点的距离是 。4.与 互为相反数；5的相反数是 ，相反数是 ,的相反数是 。5.若，则 ;若,则 ；若,则 ；若,则 。6 的相反数大于本身， 的相反数等于本身， 的相反数小于本身。.() ; (2） ; (3） ； （4） 。.一个点从数轴上的原点开始,先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，这时它表示的数是 。9.如果数轴上点所对应的数是,则与点M相距4个单位长度的点所
19、对应的数为。10.不大于的非负整数有 ;不小于-3的负整数有 。二、选择题1.下列说法正确的是( ）(）两个符号相反的数互为相反数 (）一个数的相反数一定是负数（C) -是相反数 （D）0的相反数是它本身2.如图，是数轴的是( ) （） （) （C） （D）3若有理数,在数轴上的点表示数，点N表示数，那么（ )(）点M在点的右边; （B） 点M在点N的左边;（C）点M在原点右边，点N在原点左边;（)点M和点N都在原点的右边，且点N更靠近原点。1下列各式正确的是（ ）(A） (B) （) （） 1.甲住在离学校7千米的地方，乙住在离学校5千米的地方,则甲、乙两人住地相距( ）(A）2千米 （B)
20、千米 （） 1千米或2千米 （D)不能确定16.如果数和在数轴上的位置如图所示，那么下列式子中成立的是( )() （B)（C） （）17下列说法中,错误的是( ）（) 数的相反数一定是（B)任何一个有理数都可以用数轴上的点表示(） 任何一个数的相反数的相反数都等于它本身 (D）数轴是一条线段三、解答题18.如图所示,在数轴上有三个点、C，请回答：（)将点B向左移动个单位后，三个点表示的数中最小的是 .(2）将点向右移动个单位后，三个点表示的数中最小的是 （)将点向左移动个单位后，点表示的数比点C表示的数大 .（)怎样移动A、C中的两个点,才能使三个点表示的数相同?有几种移动方法？第三讲：绝对值
21、一、绝对值.绝对值的概念：在数轴上,一个数所对应的点与 的距离叫做这个数的绝对值。用表示一个数,则的绝对值记作，读作: 。 例如,+3的绝对值等于，记作=,3的绝对值等于，记作3=， 表示0的点与原点的距离是 ,所以0= 。例题：.（1）求下列各数的绝对值：2，6,3，.,0。(2）已知x-28=，x-20= 。2.若|a|,则a 。.到原点个单位长度的点是 。4若|m-m，则是 。若|m|m,则m是 写出绝对值不大于3的所有整数 2.一个数的绝对值与这个数的关系:一个正数的绝对值等于_,一个负数的绝对值等于_,零点绝对值等于_互为相反数的绝对值_即总结:绝对值的非负性,即 .若几个非负数之和
22、为0，则每个加数分别为0.互为相反数的两个数的绝对值 ；反之,若两个数的绝对值相等,则两个数 或 。从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的 ,离远点的距离越远,绝对值 ；离原点的距离越近,绝对值 。距离0，所以绝对值最小的有理数是 。任何数都有唯一绝对值与之对应。 求绝对值的方法:先判断这个数是正数、负数还是.再求绝对值。例题：12| ，|+. ； -| ，8.2|= .如果=1，那么_0,如果=1,那么a_03.若|x+2|+|y-=0，则x= ，y=。4.若|a|=,|b|3，且,试求 a、b的值。.已知，化简:.比较两个负数的大小两个负数比较大小，绝对值大的反而 。比较两个
23、负数大小的步骤：分别求出两负数的绝对值；比较两个绝对值大小；根据“两个负数比较大小,绝对值大的反而小”作出判断。例题：1比较下列有理数的大小:（1)-和20;（2)-和-2比较下列每组数的大小:（）(）与 （)-(）与（）与 （4）与课堂练习：1.如果与1互为相反数，则等于( ).2 B.2 C.1 -12.如图，检测4个足球,其中超过标准质量的克数记为正数,不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是( ）.实数a、b在数轴上位置如图所示,则|a|、b|的大小关系是 4-4的绝对值是_，绝对值等于的数是_.5.14-=_.6.若-=2，则a=_7.绝对值不大于4的所有负整数是_
24、.8.在-5，中，绝对值最小的数是_，离原点最远的数是_.9若|x2+|y+3|-5计算:（),y，z的值.（)求|x|y|的值.10.已知,，a与b异号，求a，的值.11.出租车司机李师傅从上午8:009：5在厦大至会展中心的环岛路上运营，共连续运载十批乘客.若规定向东为正,向西为负,李师傅运载十批乘客的里程如下(单位:千米）:+8,-6，+3,7,+8,4,9,-，,+3()将最后一批乘客送到目的地时,李师傅距离第一批乘客出发地的位置怎样？距离多少千米？(）上午8：09：5，李师傅开车的平均速度是多少?（3)若出租车收费标准为：起步价8元(不超过3千米),超过3千米，超过部分每千米2元.则
25、李师傅在上午8:09：一共有多少收入？课后作业:一、填空题.用等号或不等号填空：（1) ; （)- 3；(）-0.0 -0.5； （）0 .() ; (） ;() ； （4) （） ； (6） .3. 的绝对值是 ,绝对值等于的数是 和 .绝对值最小的数是 ;绝对值小于25的整数是 ；绝对值小于3的自然数有 ;绝对值大于且小于6的负整数有 .6若0,则 ；若，则 .的相反数是 ;4的相反数的绝对值是 ； 的相反数是它本身8.若,则 1;若，则 1；若,则 ;若，则 9.最小的自然数与绝对值最小的整数的和是 二、解答题10计算:（1） （）11.比较下列各数的大小（要有解答过程）:(1） （2）已知，且有理数在数轴上的位置如图所示，计算，b,c的值.13已知,且，求,y的值14.若2a4,化简2a|+|4|。15.一条东西走向的公路上,一辆汽车第一次从A地出发向西行驶了5千米到达B地;第二次从B地出发向东行驶2千米到达C地;第三次从C地出发向西行驶4千米到达D地(1）记向东为正，向西为负,把该车各次行驶的情况在数轴上表示出来(2)地与C地的距离和A地与地的距离分别是多少千米？（)根据在数轴上表示的行程图，说出D地在B地的什么位置?（4)这辆汽车的总行程是多少?