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1、考研数学一真题及答案解析2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一）试题一、选择题:1小题,每小题4分,共2分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。(1）设函数在内连续,其中二阶导数的图形如图所示,则曲线的拐点的个数为 ( )（A) （) （） (D） 【答案】（)【解析】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点,并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此,由的图形可得,曲线存在两个拐点.故选(C)(2)设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解,则 （ ）（)(B) （) (D） 【答案】(A)【分析】此题考查二阶常系数非齐次线
2、性微分方程的反问题已知解来确定微分方程的系数,此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程,然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解,也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，、为二阶常系数齐次微分方程的解，所以2,1为特征方程的根，从而,，从而原方程变为,再将特解代入得故选（A) (3） 若级数条件收敛,则 与依次为幂级数的 ( )(A)收敛点，收敛点（B)收敛点,发散点() 发散点，收敛点（D) 发散点,发散点【答案】(B)【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。【解析】因为条件收敛，即为幂级数的条件收敛点,所以的收敛半径为,收敛区
3、间为。而幂级数逐项求导不改变收敛区间,故的收敛区间还是。因而与依次为幂级数的收敛点，发散点.故选（B)。 （) 设是第一象限由曲线,与直线,围成的平面区域,函数在上连续,则 ()(A) (B) （) (D) 【答案】(B）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分【解析】先画出D的图形，所以,故选(B） （5) 设矩阵,若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为 ( ）（A)(B) （C） (D） 【答案】D【解析】，由，故或,同时或。故选（D） （6）设二次型在正交变换为 下的标准形为 ，其中 ,若 ，则在正交变换下的标准形为 ( )（A) (B） (C) (D) 【答案】(A)
4、【解析】由,故.且所以。选（A)(） 若,B为任意两个随机事件,则 ( ）（) (） (C) (D) 【答案】(C）【解析】由于,按概率的基本性质,我们有且,从而,选(C） . （8）设随机变量不相关，且,则 ( ）(） () (C） （D) 【答案】(D)【解析】 ，选(D） .二、填空题：9小题，每小题分,共24分请将答案写在答题纸指定位置上.(9）【答案】【分析】此题考查型未定式极限,可直接用洛必达法则,也可以用等价无穷小替换.【解析】方法一：（罗比达法则)方法二：(等价无穷小替换）（10) 【答案】【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简. 【解析】(11)若
5、函数由方程ez+xyz+x+cosx=2确定，则【答案】【分析】此题考查隐函数求导.【解析】令，则又当时，即.所以，因而（2)设是由平面与三个坐标平面所围成的空间区域,则【答案】【分析】此题考查三重积分的计算,可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算.【解析】由轮换对称性，得,其中为平面截空间区域所得的截面，其面积为.所以(1) 阶行列式【答案】【解析】按第一行展开得（1）设二维随机变量服从正态分布,则【答案】【解析】由题设知，而且相互独立，从而 .三、解答题:152小题,共分.请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15)(本题满分分) 设函数，,若与在是等
6、价无穷小，求的值.【答案】【解析】法一:原式（泰勒展开法)即 (1)(本题满分分)设函数在定义域I上的导数大于零,若对任意的，由线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为，且,求的表达式.【答案】【解析】设在点处的切线方程为:令,得到,故由题意，,即，可以转化为一阶微分方程，即, dxdy=8y2，两边同时积分可得x=-8y+c,将f0=2,代入上式可得c=4即.(17)(本题满分10分)已知函数,曲线：，求在曲线C上的最大方向导数【答案】3【解析】因为沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模,故,模为,此题目转化为对函数在约束条件下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单，可以转化
7、为对在约束条件下的最大值.构造函数:,得到.所以最大值为.(18）(本题满分 1 分)（I)设函数可导，利用导数定义证明(I）设函数可导,写出的求导公式.【解析】（I) (II）由题意得 (19)（本题满分 0 分) 已知曲线L的方程为起点为,终点为，计算曲线积分.【答案】【解析】由题意假设参数方程，（20) （本题满11分） 设向量组内的一个基,.（I）证明向量组为的一个基;（II）当k为何值时，存在非0向量在基与基下的坐标相同,并求所有的【答案】【解析】(I)证明: 故为的一个基(）由题意知,即即即,得0 (21)(本题满分1 分) 设矩阵相似于矩阵.(I) 求的值;（I）求可逆矩阵，使为
8、对角矩阵.【解析】(I) AB，可得a+3=b+2（I)的特征值时的基础解系为时的基础解系为A的特征值令,（22) (本题满分 分) 设随机变量的概率密度为对X进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止记为观测次数。()求的概率分布；(I)求EY【解析】(I）记p为观测值大于3的概率,则,从而的概率分布为：，(II):EY=n=2nPY=n=n=2n(n-1)(18)2(78)n-2=164n=2n(n-1)(78)n-2令：Sx=n=2n(n-1)xn-2 -1x1Sx=n=2n(n-1)xn-2=(n=2xn)=(x21-x)=(-1-x+11-x)=2(1-x)3所以:EY=1
9、64S78=16(23) (本题满分 分)设总体X的概率密度为:其中为未知参数，为来自该总体的简单随机样本(I)求的矩估计量.(II)求的最大似然估计量.【解析】(） ,令，即,解得为的矩估计量； (II) 似然函数，当时,则.从而,关于单调增加,所以为的最大似然估计量。富不贵只能是土豪,你可以一夜暴富,但是贵气却需要三代以上的培养。孔子说“富而不骄，莫若富而好礼。”如今我们不缺土豪,但是我们缺少贵族。 高贵是大庇天下寒士俱欢颜的豪气与悲悯之怀,高贵是位卑未敢忘忧国的壮志与担当之志 高贵是先天下之忧而忧的责任之心。精神的财富和高贵的内心最能养成性格的高贵,以贵为美,在不知不觉中营造出和气的氛围;以贵为高,在潜移默化中提升我们的素质。以贵为尊，在创造了大量物质财富的同时，精神也提升一个境界。 一个心灵高贵的人举手投足间都会透露出优雅的品质,一个道德高贵的社会大街小巷都会留露出和谐的温馨,一个气节高贵的民族一定是让人尊崇膜拜的民族。别让富而不贵成为永久的痛。 分享一段网上流传着改变内心的风水的方法，让我们的内心高贵起来：喜欢付出，福报就越来越多；喜欢感恩,顺利就越来越多；喜欢助人，贵人就越来越多；喜欢知足，快乐就越来越多；喜欢逃避,失败就越来越多；喜欢分享，朋友就越来越多。喜欢生气，疾病就越来越多；喜欢施财,富贵就越来越多；喜欢享福,痛苦就越来越多；喜欢学习,智慧就越来越多。