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1、二 次 函 数,1、二次函数的解析式,y=ax2+bx+c(一般式),y=a(x-h)2+k(顶点式),顶点,对称轴,(h,k),x=h,主要用于待定系数法求二次函数解析式,(a0),(4)值域：当a0时，值域为 ， 当a0时，值域为 ，,递减,递增,1. 根式 （1） n次方根; 如果xn=a,那么x叫做 a的 , 其中n1,且nN*.,（n为奇数）,（n为偶数）,正数的奇次方根是正数,负数的奇次方根是负数,正数的偶次方根有两个， 且互为相反数,根指数,（2）根式,被开方数,2.根式的概念,1.方根的定义,即 若 则,n次方根,知识回顾,2、幂的概念及性质,（4）正分数指数幂：,注意:在分数
2、指数幂里,根指数作分母,幂指数作分子.,（5）正数的负分数指数幂:,0,没有意义,（7）有理数指数幂的运算性质,同底数幂相乘,底数不变指数相加,幂的乘方底数不变,指数相乘,积的乘方等于乘方的积,同底数幂相除，底数不变指数相减,返回,*一般地，当a0且是一个无理数时,也是一个确定的实数,故以上 运算律对实数指数幂同样适用.,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2+bx+c(a0),y=ax2+bx+c(a0),由a,b和c的符号确定,由a,b和c的符号确定,向上,向下,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的
3、右侧,y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.,根据图形 填表：,复习,0,图象,ax2+bx+c=0 (a0),ax2+bx+c0 (a0),ax2+bx+c0),x=x1 或x=x2,x|xx2,x|x1 xx2,(2) 、二次函数、二次方程与二次不等式,函数的零点x=x1 或x=x2是方程ax2+bx+c=0的根,x=x1 或x=x2是二次不等式的解集的端点值,3.二次函数在闭区间上的最值,在闭区间的端点或二次函数的顶点处取得,(1)抛物线与x轴的交点情况,二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点,一元二次方程ax2+b
4、x+c=0 根的判别式=b2-4ac,有两个交点,= b2-4ac 0,有一个交点,= b2-4ac = 0,没有交点,= b2-4ac 0,顶点,x无论取何值,y总是大于零,x无论取何值,y总是小于零,4.一元二次方程根的分布. (1)方程ax2+bx+c=0(a0)两根： 一正一负,两正根,两负根,一零根,ac0;,0 x1+x2=- 0 x1x2= 0;,0 x1+x2=- 0;,C=0,0 x1x2=,0,可用韦达定理表达式来书写条件,也可,可用韦达定理表达式来书写条件,也可,可用韦达定理表达式来书写：ac0,可用韦达定理表达式来书写条件,也可,可用韦达定理表达式来书写条件,也可,可用
5、韦达定理表达式来书写：ac0,3.一元二次方程根的分布. (1)方程ax2+bx+c=0(a0)两根： 一正一负,两正根,两负根,一零根,ac0;,0 x1+x2=- 0 x1x2= 0;,0 x1+x2=- 0;,C=0,可用韦达定理表达式来书写条件,也可,可用韦达定理表达式来书写条件,也可,可用韦达定理表达式来书写：ac0,解：,寻求等价条件,例1.m为何实数值时，关于x的方程 （1）有实根 （2）有两正根 （3）一正一负,(2)实系数二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根x1、x2的分布范围与二次方程系数之间的关系,如下表所示:,第7讲 知识梳理,奇偶性：函数为偶函数 .,b0,二次
6、函数的图象和性质,一二次函数的图象：抛物线 开口方向： 对称轴和函数的单调性: 顶点坐标： 最值： （）x R时 ( 2 ) x m,n(m0,则x=-b/2a,ymin=f(-b/2a)=(4ac-b2)/4a,ymax=maxf(m),f(n)(或比较区间端点与对称轴距离的大小来确定,在离对称轴远的端点处取得最大值.) a-b/2a时,二次函数是单调函数,可根据函数的单调性或图象确定最值. 函数值大小的比较:设P,Q是二次函数图象上二点, 则当a0时,距离对称轴越近的点,其纵坐标越小,而当a0时,则反之.,1、求下列二次函数的最大值 或最小值,热身训练,、求下列二次函数的最大值或最小值,y
7、min=4.25 ymax=f(1)=2,根据闭区间函数最值的求法求最植。,2、,判断-b/2a是否在闭区间内。,3、,求闭区间上二次函数的最值的步骤,：,解：,y,x,0,-1,1,4:,解:,当x=t+1时,ymin=t2+2,当x=t时,ymin=t2-2t+3,当x=t+1 时,小结: (1)求二次函数解析式要根据题目条件灵活选用三种形式中的一种. (2)求二次函数在闭区间上的最值要注意对称轴和区间的位置关系及单调性求解. (3)要注意数形结合思想在解题中的运用.,1.已知f(x)=x2+ax+b,f(1)=0,f(2)=0,则f(-1)= .,6,由f(1)=0，f(2)=0，得方程x2+ax+b=0的两根是1,2，所以a=-3，b=2. 故f(x)=x2-3x+2，所以f(-1)=6.,二次函数的平移,函数y=x2+4x-5可由函数y=x2怎样变换而来?,答：可由y=x2向左平移2个单位 再向下平移9个单位得到,那函数y=ax2+bx+c可由函数y=ax2怎样变换而来？,