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1、第八章 曲线积分与曲面积分,习题课,一、主要内容,二、线、面 积分的基本计算法,一、对弧长的曲线积分的概念,1.定义,2.存在条件：,3.推广,注意：,二、对弧长的曲线积分的性质,2.存在条件：,3.组合形式,4.推广,即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.,四、对坐标的曲线积分的性质,五、对面积的曲面积分的定义,1.定义,六、对面积的曲面积分的性质,基本概念,观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的),曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面的分类:,1.双侧曲面;,2.单侧曲面.,典型双侧曲面,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,播放,曲面法向量的指向决定曲面的侧.,决定了侧的曲面称为有向曲面.,曲面的
2、投影问题:,七、对坐标的曲面积分的定义,被积函数,积分曲面,类似可定义,存在条件:,组合形式:,物理意义:,八、对坐标的曲面积分的性质,九、曲线积分的计算法,1. 基本方法,曲线积分,第一类 ( 对弧长 ),第二类 ( 对坐标 ),(1) 选择积分变量,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2) 确定积分上下限,第一类: 下小上大,第二类: 下始上终,对弧长曲线积分的计算,定理,注意:,特殊情形,推广:,例1,解,例2,解,例3,解,例4,解,由对称性, 知,对坐标的曲线积分的计算,定理,特殊情形,例5 计算,其中L为摆线,上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.,提示:,例 6
3、计算,其中 由平面 y = z 截球面,提示: 因在 上有,故,原式 =,从 z 轴正向看沿逆时针方向.,十、曲面积分的计算法,1. 基本方法,曲面积分,第一类( 对面积 ),第二类( 对坐标 ),二重积分,(1) 选择积分变量 代入曲面方程,(2) 积分元素投影,第一类: 始终非负,第二类: 有向投影,(3) 确定二重积分域, 把曲面积分域投影到相关坐标面,定理: 设有光滑曲面,f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有,对面积的曲面积分的计算法,则曲面积分,例7,解, 若,则有, 若,则有,(前正后负),(右正左负),对坐标的曲面积分计算:一投、二代、三定号,(上正下负),则有, 若,解: 把 分为上下两部分,思考: 下述解法是否正确:,例8. 计算曲面积分,其中 为球面,外侧在第一和第五卦限部分.,例9,解,