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1、2014年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共14题，满分56分）1（4分）（2014上海）函数y=12cos2（2x）的最小正周期是_2（4分）（2014上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）=_3（4分）（2014上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_4（4分）（2014上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为_5（4分）（2014上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为_6（4分）（2014上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为_（结果用反三角函数值表示）7（4分）（2014
2、上海）已知曲线C的极坐标方程为（3cos4sin）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是_8（4分）（2014上海）设无穷等比数列an的公比为q，若a1=（a3+a4+an），则q=_9（4分）（2014上海）若f（x）=，则满足f（x）0的x的取值范围是_10（4分）（2014上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是_（结果用最简分数表示）11（4分）（2014上海）已知互异的复数a，b满足ab0，集合a，b=a2，b2，则a+b=_12（4分）（2014上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间0，2上恰有三个
3、解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=_13（4分）（2014上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量表示小白玩该游戏的得分，若E（）=4.2，则小白得5分的概率至少为_14（4分）（2014上海）已知曲线C：x=，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为_二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15（5分）（2014上海）设a，bR，则“a+b4”是“a2且b2”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件16（5分）（2014上海）如图，四个棱长为1的正方体排成一
4、个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i=1，2，8）是上底面上其余的八个点，则（i=1，2，8）的不同值的个数为（）A1B2C3D417（5分）（2014上海）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A无论k，P1，P2如何，总是无解B无论k，P1，P2如何，总有唯一解C存在k，P1，P2，使之恰有两解D存在k，P1，P2，使之有无穷多解18（5分）（2014上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A1，2B1，0C1，2D0，2三、解答题（共5题，满分72分）19（12分）（201
5、4上海）底面边长为2的正三棱锥PABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V20（14分）（2014上海）设常数a0，函数f（x）=（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f1（x）；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由21（14分）（2014上海）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为和（1）设计中CD是铅垂方向，若要求2，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏
6、差，现在实测得=38.12，=18.45，求CD的长（结果精确到0.01米）22（16分）（2014上海）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线（1）求证：点A（1，2），B（1，0）被直线x+y1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x24y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线
7、E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线23（16分）（2014上海）已知数列an满足anan+13an，nN*，a1=1（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）设an是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+an，若SnSn+13Sn，nN*，求q的取值范围（3）若a1，a2，ak成等差数列，且a1+a2+ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，ak的公差2014年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14题，满分56分）1（4分）（2014上海）函数y=12cos2（2x）的最小正周期是2（4分）（201
8、4上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）=63（4分）（2014上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为x=24（4分）（2014上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为（，25（4分）（2014上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为26（4分）（2014上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为arccos（结果用反三角函数值表示）7（4分）（2014上海）已知曲线C的极坐标方程为（3cos4sin）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是8（4分）（2014上海）设无穷等比数列an的公比为q
9、，若a1=（a3+a4+an），则q=9（4分）（2014上海）若f（x）=，则满足f（x）0的x的取值范围是（0，1）10（4分）（2014上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）11（4分）（2014上海）已知互异的复数a，b满足ab0，集合a，b=a2，b2，则a+b=112（4分）（2014上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间0，2上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=13（4分）（2014上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量表示小白玩该游戏的得分，若E
10、（）=4.2，则小白得5分的概率至少为0.214（4分）（2014上海）已知曲线C：x=，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为2，3二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15（5分）（2014上海）设a，bR，则“a+b4”是“a2且b2”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件解答：解：当a=5，b=0时，满足a+b4，但a2且b2不成立，即充分性不成立，若a2且b2，则必有a+b4，即必要性成立，故“a+b4”是“a2且b2”的必要不充分条件，故选：B16（5分）
11、（2014上海）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i=1，2，8）是上底面上其余的八个点，则（i=1，2，8）的不同值的个数为（）解答：解：如图建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，0，1），P1（1，0，1），P2（0，0，1），P3（2，1，1），P4（1，1，1），P5（0，1，1），P6（2，2，1），P7（1，2，1），P8（0，2，1），=（1，0，1），=（2，0，1），=（0，1，1），=（1，1，1），=（2，1，1），=（0，2，1），=（1，2，1），=（2，2，1），易得=1（i=1，2，8），（i=1，2，8）的不同值的个数为
12、1，故选A17（5分）（2014上海）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）解答：解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，k=，即a1a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，a2b1a1b2=ka1a2ka1a2+a2a1=a2a1，b2b1得：（a2b1a1b2）x=b2b1，即（a2a1）x=b2b1方程组有唯一解故选：B18（5分）（2014上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）解答：解；当
13、a0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a0时，f（0）=a2，由题意得：a2x+a2+a，解不等式：a2a20，得1a2，0a2，故选：D点评：本题考察了分段函数的问题，基本不等式的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题三、解答题（共5题，满分72分）19（12分）（2014上海）底面边长为2的正三棱锥PABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V解答：解：根据题意可得：P1，B，P2共线，ABP1=BAP1=CBP2，ABC=60，ABP1=BAP1=CBP2=60，P1=60，同理P2=P3=60，P1P2P3是等边三角形，PABC是正四面
14、体，P1P2P3的边长为4，VPABC=20（14分）（2014上海）设常数a0，函数f（x）=（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f1（x）；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由解答：解：（1）a=4，调换x，y的位置可得，x（，1）（1，+）（2）若f（x）为偶函数，则f（x）=f（x）对任意x均成立，=，整理可得a（2x2x）=02x2x不恒为0，a=0，此时f（x）=1，xR，满足条件；若f（x）为奇函数，则f（x）=f（x）对任意x均成立，=，整理可得a21=0，a=1，a0，a=1，此时f（x）=，满足条件；综上所述，a=0时，f（x）是偶函数
15、，a=1时，f（x）是奇函数点评：本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题21（14分）（2014上海）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为和（1）设计中CD是铅垂方向，若要求2，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得=38.12，=18.45，求CD的长（结果精确到0.01米）解答：解：（1）设CD的长为x米，则tan=，tan=，0，tantan2，tan，即=，解得028.28，即CD
16、的长至多为28.28米（2）设DB=a，DA=b，CD=m，则ADB=180=123.43，由正弦定理得，即a=，m=26.93，答：CD的长为26.93米22（16分）（2014上海）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线（1）求证：点A（1，2），B（1，0）被直线x+y1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x24y2=1的分隔线，求实数k的取值范
17、围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线分析：（1）把A、B两点的坐标代入=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），再根据0，得出结论（2）联立直线y=kx与曲线x24y2=1可得 （14k2）x2=1，根据此方程无解，可得14k20，从而求得k的范围（3）设点M（x，y），与条件求得曲线E的方程为x2+（y2）2x2=1 由于y轴为x=0，显然与方程联立无解把P1、P2的坐标代入x=0，由=1（1）=10，可得x=0是一条分隔线解答：（1）证明：把点（1，2）、（1，0）分别代入x+y1 可
18、得（1+21）（11）=40，点（1，2）、（1，0）被直线 x+y1=0分隔（2）解：联立直线y=kx与曲线x24y2=1可得 （14k2）x2=1，根据题意，此方程无解，故有 14k20，k，或 k（3）证明：设点M（x，y），则 |x|=1，故曲线E的方程为x2+（y2）2x2=1 y轴为x=0，显然与方程联立无解又P1（1，2）、P2（1，2）为E上的两个点，且代入x=0，有 =1（1）=10，故x=0是一条分隔线若过原点的直线不是y轴，设为y=kx，代入x2+（y2）2x2=1，可得x2+（kx2）2x2=1，令f（x）=x2+（kx2）2x21，f（0）f（2）0，f（x）=0有实
19、数解，即y=kx与E有公共点，y=kx不是E的分隔线通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线23（16分）（2014上海）已知数列an满足anan+13an，nN*，a1=1（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）设an是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+an，若SnSn+13Sn，nN*，求q的取值范围（3）若a1，a2，ak成等差数列，且a1+a2+ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，ak的公差分析：（1）依题意：，又将已知代入求出x的范围；（2）先求出通项：，由求出，对q分类讨论求出Sn分别代入不等式SnSn+13Sn，得
20、到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围（3）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，ak的公差解答：解：（1）依题意：，；又3x27，综上可得：3x6（2）由已知得，当q=1时，Sn=n，SnSn+13Sn，即，成立当1q3时，SnSn+13Sn，即，不等式q1，故3qn+1qn2=qn（3q1）22qn20对于不等式qn+13qn+20，令n=1，得q23q+20，解得1q2，又当1q2，q30，qn+13qn+2=qn（q3）+2q（q3）+2=（q1）（q2）0成立，1q2，当时，SnSn+13Sn，即，此不等式即，3q10，q30，3qn+1qn2=qn（3q1）22qn20，qn+13qn+2=qn（q3）+2q（q3）+2=（q1）（q2）0时，不等式恒成立，上，q的取值范围为：（3）设a1，a2，ak的公差为d由，且a1=1，得即当n=1时，d2；当n=2，3，k1时，由，得d，所以d，所以1000=k，即k22000k+10000，得k1999所以k的最大值为1999，k=1999时，a1，a2，ak的公差为第 10 页 共 10 页