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1、2020年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。1 在等比数列中，则的值为_2 在椭圆中，为长轴的一个端点，为短轴的一个端点，为两个焦点若，则的值为_3 设，函数在区间上的最小值为，在区间上的最小值为若，则的值为_4 设为复数，若为实数（i为虚数单位），则的最小值为_5 在中，边上的中线长为，则的值为_6 正三棱锥的所有棱长均为1，分别为棱的中点，则该正三棱锥的外接球被平面所截的截面面积为_7 设，满足：关于的方程恰有三个不同的实数解，且，则的值为_8 现有10张卡片，每张卡片上写有中两个不同的数，且任意两张卡片上的数不完全相同将这10张卡片放入
2、标号为的五个盒子中，规定写有的卡片只能放在号或号盒子中一种放法称为“好的”，如果1号盒子中的卡片数明显多于其他每个盒子中的卡片数，则“好的”方法共有_种二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 （本题满分16分） 在中，求的取值范围10 （本题满分20分） 对正整数及实数，定义，其中表示不超过实数的最大整数，若整数满足，求的值11 （本题满分20分） 在平面直角坐标系中，点在双曲线上，满足为等腰直角三角形求面积的最小值2020年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）一、（本题满分40分）如图，在等腰中，为内心，为的中点，为边上一点，满足，延长线上一点满足，为的外接圆上劣弧的中点证明：（答题时请将图画在答卷纸上）二、（本题满分40分）给定正数，设，是个非负实数，满足，且对任意，有（这里，）求的最小值三、（本题满分50分）设，证明：对整数，必有一个模4余1的素因子四、（本题满分50分）给定凸20边形用的17条在内部不相交的对角线将分割成18个三角形，所得图形称为的一个三角剖分图对的任意一个三角剖分图，的20条边以及添加的17条对角线均成为的边的任意10条两两无公共端点的边的集合成为的一个完美匹配当取遍的所有三角剖分图时，求的完美匹配个数的最大值