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1、3.1二维随机变量的分布函数、边缘分布,从本讲起，我们开始第三章的学习.,一维随机变量及其分布,多维随机变量及其分布,由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .,它是第二章内容的推广.,到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.,在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐标)来确定的.,飞机的重心在空中的位置是由三个r.v (三个坐标）来确定的等等.,一般地，我们称n个随机变量的整体X=(X1, X2, ，Xn)为n维随机变量或随机向量. 以下重点讨论二维随机变量.,请注意与一维情形的对照
2、.,一、二维随机变量（X,Y）的联合分布函数,表示 与的 积事件,分布函数的几何意义,如果用平面上的点 (x, y) 表示二维r.v.,(X , Y )的一组可能的取值，则 F (x, y) 表示 (X , Y ) 的取值落入图所示角形区域的概率.,(x, y),联合分布函数的性质,(x, y),固定 x , 对任意的 y1 y2 ,固定 y , 对任意的 x1 x2 ,F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 ),F (x0 , y0) = F (x0 , y0 + 0 ),F (x, y1) F (x, y2),F (x1,y) F (x2, y),F (x2, y2) F
3、(x1, y2 ) F (x2, y1) + F (x1 , y1) 0,事实上,F (x2, y2) F (x1, y2 ) F (x2, y1) + F (x1 , y1),二、二维离散型随 机变量,i, j =1,2, ,X和Y 的联合概率函数,为了直观，一般用表格表示联合分布律,例1把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求(X,Y)的概率函数 .,解：（ X, Y）可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3),P(X=0, Y=3)=(1/2)3=1/8,P(X=2, Y=1)=3/8,P(X=3, Y=3)=1/
4、8,列表如下,P(X=1, Y=1)= (1/2)3=3/8,三、二维连续型随机变量,X和Y 的联合密度函数,定义 设二维 r.v.( X ,Y )的分布函数为F(x ,y ),若存在非负可积函数 f (x,y) ,使得对于任意实数 x , y 有,则称( X ,Y ) 为二维连续型 r.v. f (x,y) 为( X ,Y ) 的联合概率密度函数 简称概率密度函数简记 p.d.f.,联合密度的性质,P( X = a ,- Y + ) = 0,P(- X + , Y= a ) = 0,P( X = a ,Y = b ) = 0,对于二维连续型随机变量有,(1),解,(2),(1),解,(2),
5、例4 设 r.v.( X ,Y ) 的联合 d.f. 为,其中k 为常数. 求,常数 k ; P ( X + Y 1) , P ( X 0.5),解 令,(1),(2),例4 设 r.v.( X ,Y ) 的联合 d.f. 为,求(X,Y)的联合分布函数F(x,y),解,当x0 或 y0时，F(x,y)=0,当 时,二维联合分布全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律. 而单个随机变量X,Y也具有自己的概率分布. 那么要问: 二者之间有什么关系呢?,从表中不难求得:,P(X=0)=1/8,P(X=1)=3/8,P(X=2)=3/8,P(X=3)=1/8,P(Y=1)=P(X=1,
6、Y=1)+P(X=2, Y=1)=3/8+3/8=6/8,P(Y=3)=P(X=0, Y=3)+P(X=3, Y=3)=1/8+1/8=2/8.,注意这两个分布正好是 表的行和与列和.,四、边缘分布,如下表所示,我们常将边缘概率函数写在联合概率函数表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词.,联合分布与边缘分布的关系,由联合分布可以确定边缘分布;,但由边缘分布一般不能确定联合分布.,对任意r.v (X,Y)，,X和Y的联合分布函数为,则(X,Y)关于X的边缘分布函数为,(X,Y)关于Y的边缘分布函数为,一般，对离散型 r.v ( X,Y )，,则(X,Y)关于X的边缘概率函数为,(X,Y)关于Y
7、的边缘概率函数为,X和Y 的联合概率函数为,对连续型 r.v ( X,Y )，,X和Y的联合概率密度为,则( X,Y )关于X的边缘概率密度为,( X,Y )关于Y的边缘概率密度为,例5 某校新选出的学生会 6 名女委员, 文、理、工科各占1/6、1/3、1/2，现从中随机指定 2 人为学生会主席候选人. 令X , Y 分别为候选人中来自文、理科的人数.,解 X 与Y 的可能取值分别为0 , 1与0 , 1 , 2.,求(X, Y ) 的联合分布律和边缘分布律.,则（X，Y）的所有可能取值为,(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2),同理有,故联合分布律与边缘分布
8、律为,0 1,0 1 2,3/15 6/15 1/15,3/15 2/15 0,pi,p j,1/3,2/3,1,6/15 8/15 1/15,例6 设随机变量(X ,Y )的联合分布函数为,其中A , B , C 为常数.,确定A , B , C ； 求X 和Y 的边缘分布函数； 求P (X 2),解 (1),(2),(3),例7 设(X,Y)的概率密度是,求 (1) c的值； （2）两个边缘密度.,=5c/24=1,c =24/5,解：(1),解: (2),注意积分限,注意取值范围,即,注意积分限,注意取值范围,解: (2),即,在求连续型 r.v 的边缘密度时，往往要求联合密度在某区域上
9、的积分. 当联合密度函数是分片表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限 .,下面我们介绍两个常见的二维分布.,设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二维随机变量（ X,Y）具有概率密度,则称（X,Y）在G上服从均匀分布.,向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的形状及位置无关. 则质点的坐标（ X,Y）在G上服从均匀分布.,例,若二维随机变量（X,Y）具有概率密度,记作（ X,Y）N( ),例8 设(X ,Y ) G 上的均匀分布,f ( x, y ) ; P ( Y X 2 ); ( X ,Y ) 在平面上的落点到 y 轴距离小于0.3的概率.,求,解 (1),(2),(3),