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1、1,定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为向量组,结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应,有限向量组,第三节 向量组的线性组合,(一)、向量组的线性组合,1。向量组：,当R(A) n 时，齐次线性方程组 Ax = 0 的全体解组成的向量组含有无穷多个向量,(一)、向量组的线性组合,1。向量组：,2。向量组的线性组合与线性表示,定义1 对于向量组a1，a2， ，am ，如果有一组数 k1，k2， ，km，使 bk1a1k2a2 kmam， 则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的一个线性组合， 或称b可由向量组a1，a2 ， ，am线性表示。,定义：若干个同维数的列向量（行
2、向量）所组成的集合称为向量组,例1设 a1=(1, 0, 0)，a2=(0, 1, 0)，a3=(0, 0, 1)，则, b=(2, -1, 1)是向量组a1，a2 ，a3的一个线性组合， 也就是b可由a1，a2 ，a3线性表示。,b=2a1-a2+a3,=2(1, 0, 0)-(0, 1, 0)(0, 0, 1),=(2, -1, 1)，,定义1对于向量组a1，a2， ，am ，如果有一组数 k1，k2， ，km，使 bk1a1k2a2 kmam， 则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的一个线性组合， 或称b可由向量组a1，a2 ， ，am线性表示。 。,下页,注意：,（1）向量组a1，
3、a2 ，a3 的线性组合有无穷多个,（2）一个向量b有可能可由向量组a1，a2 ，a3 的线性表示； 也有可能不能由向量组a1，a2 ，a3 的线性表示。,例2任何一个n维向量a=(a1, a2, , an) T都是n维向量组e1=(1, 0, , 0) T ，e2=(0, 1, , 0) T ， ，en=(0, 0, , 1) T的线性组合。 这是因为a=a1e1 a2e2 an en。,向量组e1，e2， ，en称为n维单位向量组或n维基本向量组,下页,定义1对于向量组a1，a2， ，am ，如果有一组数 k1，k2， ，km，使 bk1a1k2a2 kmam， 则称向量b是向量组a1，a
4、2 ， ，am的一个线性组合， 或称b可由向量组a1，a2 ， ，am线性表示。,结论：,任何一个n维向量a=(a1, a2, , an)都可由n维单位向量组或n维基本向量组线性表示,5,例：设,那么,线性组合的系数,e1, e2, e3的 线性组合,一般地，对于任意的 n 维向量b ，必有,6,n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量,例3零向量是任何一组向量的线性组合。,下页,定义1对于向量组a1，a2， ，am ，如果有一组数 k1，k2， ，km，使 bk1a1k2a2 kmam， 则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的一个线性组合， 或称b可由向量组a1，a2 ，
5、，am线性表示。,例4向量组a1，a2 ， ，am中的任一向量i(1im)都是此向量组的线性组合。,注意：对k1，k2， ，km未加任何限制；特别是未限制k1，k2， ，km不全为零。,这是因为o=0a1 0a2 0 am,这是因为ai=0a1 + 1ai 0 am 。,定理 n维列向量b可由n维列向量组a1，a2， ，am线性表示的充分必要条件是：以x1，x2， ，xm为未知量的线性方程组 x1a1 x2a2 xm am b 有解。 ,讨论： 上述线性方程组在什么情况下有解？,提示： 线性方程组 x1a1 x2a2 xm am b 有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩， 即矩阵(
6、a1 a2 am)与矩阵(a1 a2 am b)的秩相等。,下页,3。 b可由a1，a2， ，am线性表示的判定方法：,x1a1 x2a2 xm am b ,定理 n维列向量b可由n维列向量组a1，a2， ，am线性表示的充分必要条件是：以x1，x2， ，xm为未知量的线性方程组 x1a1 x2a2 xm am b有解。 ,推论：,下页,3。 b可由a1，a2， ，am线性表示的判定方法：,（1） n维列向量b可由n维列向量组a1，a2， ，am线性表示,秩(a1 a2 am)=秩(a1 a2 am b),定理 n维行向量b可由n维行向量组a1，a2， ，am线性表示的充分必要条件是：以x1，
7、x2， ，xm为未知量的线性方程组 x1a1T x2a2T xm amT bT有解。 ,（2） n维行向量b可由n维行向量组a1，a2， ，am线性表示,秩(a1T a2 T amT)=秩(a1T a2T amT bT),例5,设,判断向量b是否为向量组a1 ，a2 ， a 的线性组合。若是，写出表示式。,解：设x1a1x2a2 xab,由此可得线性方程组,解此线性方程组,增广矩阵,（a1a2ab ）,因为线性方程组有解，,所以b可由a1，a2 ，a线性表示,又因解为x1， x2 ， x,所以,b a1a2 a,例6判断向量b1=(4, 3, -1, 11) T与b2=(4, 3, 0, 11
8、) T是否各为向量组a1=(1, 2, -1, 5) T，a2=(2, -1, 1, 1) T的线性组合。若是，写出表示式。,解：(1)考虑线性方程组x1a1x2a2 b1。因为,( a1 a2 b1)=,秩(a1 a2 b1)=秩(a1 a2)，所以b1可由a1，a2线性表示。 因为线性方程组的解为x12， x21，所以使2a1a2 b。,下页,例6判断向量b1=(4, 3, -1, 11) T与b2=(4, 3, 0, 11) T是否各为向量组a1=(1, 2, -1, 5) T，a2=(2, -1, 1, 1) T的线性组合。若是，写出表示式。,解： (2)考虑线性方程组x1a1x2a2
9、 b2。因为,( a1 a2 b2)=,秩(a1 a2 b2)秩(a1 a2)，所以b2不能由a1，a2线性表示。,下页,例7设向量a1=(1, 2, 3) ， a2=(0,1,4) ， a3=(2, 3, 6) b=(-1,1, 5)，证明b由向量组a1，a2， a3线性表示并写出具体的表示式。,解：考虑线性方程组x1a1Tx2a2T x3a3T bT。因为,( a1T a2Ta3T bT),秩( a1T a2Ta3T bT) =秩( a1T a2Ta3T)，所以b可由a1，a2 ， a3线性表示。 因为线性方程组的解为x11， x22， x3-1， 所以b a12a2 -a3,15,例：设
10、 证明向量 b 能由向量组 a1, a2, a3 线性表示，并求出表示式,解：向量 b 能由 a1, a2, a3 线性表示当且仅当R(A) = R(A, b) ,因为R(A) = R(A, b) = 2， 所以向量 b 能由 a1, a2, a3 线性表示,16,行最简形矩阵对应的方程组为 通解为 所以 b = (3c + 2) a1 + (2c1) a2 + c a3 ,17,结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应,向量b 能由 向量组 A 线性表示,线性方程组 Ax = b 有解,P.83 定理1 的结论：,18,定义：设有向量组 A：a1, a2, , am 及 B：b1, b2
11、, , bl ， 若 向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向 量组 B 能由向量组 A 线性表示 若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个向量 组等价,4。向量组的等价,例1向量组a1 =(1, 2) T ，a2 = (1, 1) T ，a3 = (2, 3) T可以由基本向量组e1=(1, 0) T，e2=(0, 1) T 线性表示；,同时因为向量组e1=(1, 0) T =-a1 T+2a2 T，e2=(0, 1) T = a1 T-a2T，即向量组e1 ， e2可由向量组a1，a2，线性表示；,所以向量组a1，a2与向量组e1，e2等价,20,设有向量组
12、 A：a1, a2, , am 及 B：b1, b2, , bl ， 若向量组 B 能由向量组 A 线性表示，即,线性表示的 系数矩阵,21,设有向量组 A：a1, a2, , am 及 B：b1, b2, , bl ， 若向量组 B 能由向量组 A 线性表示，即 对于 b1 ，存在一组实数 k11, k21, , km1 ，使得 b1 = k11a1 + k21 a2 + + km1 am ； 对于 b2 ，存在一组实数 k12, k22, , km2 ，使得 b2 = k12a1 + k22 a2 + + km2 am ； 对于 bl ，存在一组实数 k1l , k2l , , kml ，
13、使得 bl = k1l a1 + k2l a2 + + kml am,22,若 Cmn = Aml Bln ，即,则,结论：矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示， B 为这一线性表示的系数矩阵,23,若 Cmn = Aml Bln ，即,则,结论：矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示， A 为这一线性表示的系数矩阵,24,口诀：左行右列,定理：设A是一个 mn 矩阵， 对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵； 对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵. 结论：若 C = AB ，那么 矩阵 C
14、 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示，A为这一线性表示的系数矩阵（A 在左边） 矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示，B为这一线性表示的系数矩阵（B 在右边）,25,A 经过有限次初等列变换变成 B 存在有限个初等矩阵P1, P2, , Pl ，使 AP1 P2 , Pl = B 存在 m 阶可逆矩阵 P，使得 AP = B 矩阵 B 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价,矩阵 B 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价,同理可得,口诀：左行右列.,把 P 看成是线性表示的 系数矩阵,26,向量组 B：b1, b2, , bl 能由向量组 A：a1, a2, , am 线
15、性表示 存在矩阵 K，使得 AK = B 矩阵方程 AX = B 有解 R(A) = R(A, B) （P.84 定理2） R(B) R(A) （P.85 定理3）,推论：向量组 A：a1, a2, , am 及 B：b1, b2, , bl 等价的充分 必要条件是 R(A) = R(B) = R(A, B) 证明：向量组 A 和 B 等价 向量组 B 能由向量组 A 线性表示 向量组 A 能由向量组 B 线性表示 从而有R(A) = R(B) = R(A, B) ,因为 R(B) R(A, B),R(A) = R(A, B),R(B) = R(A, B),27,n 阶单位矩阵的列向量叫做 n
16、 维单位坐标向量 设有nm 矩阵 A = (a1, a2, , am) ，试证：n 维单位坐标向 量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示的充分必要条件是 R(A) = n ,分析： n 维单位坐标向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示 R(A) = R(A, E) R(A) = n ,（注意到：R(A, E) = n 一定成立）,28,小结,向量 b 能由 向量组 A 线性表示,线性方程组 Ax = b 有解,向量组 B 能 由向量组 A 线性表示,矩阵方程组AX = B 有解,向量组 A 与 向量组 B 等价,29,知识结构图,n维向量,向量组,向量组与矩阵的对应,向量组的线性组合,向量组的线性表示,向量组的等价,判定定理及必要条件,判定定理,