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1、x5j0sxa409aa01巧用等底等高的关系求图形的面积孟桂民一、知识基础在我们以前的学习中， 我们掌握了许多基本图形的面积计算方法， 请同学们观察， 下图中哪些图形的面积相等？为什么？已知 l 1/l 2 （单位：厘米）从图中我们看出S ABCS ABD S ABES平行四边形 HGFIS平行四边形 FGJK因为 ABC 和 ABD 及 ABE 等底等高所以它们的面积相等，同理平行四边形 HGFI 和平行四边形 FGJK 等底等高所以它们的面积也相等。而平行四边形FGHI 和三角形ABC 等底等底，所以平行四边形的面积是三角形面积的2 倍。从这个练习我们得到： 如果两个或几个三角形底相等，
2、 高也相等， 那么这几个三角形的面积也相等。下面还有一组图形请同学们观察， 下面几个三角形面积之间有什么关系？为什么？ （单位：厘米）从观察我们看出图1 的三角形面积和图2 的三角形面积相等， 因为这两个三角形等底1等高所以它们的面积相等。图 3 的三角形面积是图1 的三角形面积的2 倍，因为图 3 的三角形和图1 的三角形高相等， 图 3 三角形的底是图1 三角形底的2 倍，根据三角形面积计算公式得到：图 3 的三角形面积是图1 三角形面积的2 倍。图 4 的三角形面积也是图 1 三角形面积的 2 倍，因为两个三角形的底相等， 图 4 三角形的高是图 1 三角形高的 2 倍，所以根据三角形面
3、积的计算公式得到， 图 4 的三角形面积是图 1 三角形面积的 2 倍，从这个练习我们又发现：如果两个三角形的底（或高）的长度相等，那么这两个三角形高（或底）的比就是这两个三角形面积的比。用上面这些关系我们可以解答一些较复杂的求图面积的题。二、方法例谈学校有一块三角形的植物园地，生动小组同学想把这块地等分成4 份，以便种植四种不同的花籽进行实验， 怎么分呢？于是他们请数学小组同学帮助， 下面是数学小组同学们提出的一些分配方案，请你们帮助分析一下，他们的分配方案都正确吗？把底边 BC 等边四份，再分别和A 点连接成四个三角形，这种分配方案你认为正确吗？这种分配方案正确，因为把底边BC 等分四份，
4、 这时四个三角形故底相等，又都以A 点为顶点，所以它们的高也相等。因为底等高等，所以这四个三角形的面积相等。已知 D 是 BC 的中点， F 是 AB 的中点 E 是 AC 的中点请你们自己分析一下，这种分配方案正确吗？通过分析我们得到：这种分配方案正确，因为D 是 BC 的中点，所以S ABD S ADC 又2F 是 AB 的中点 S AFDS BFD E 是 AC 的中点 S ADES DEC S AFD S BFD S ADE S DEC 所以分配方案正确已知 D 是 BC 的中点， F 是 AB 的中点， E 是 AC 的中点，你认为这种分配方案正确吗？为什么？这种方案正确，因为 EF
5、 分别为 AC 、 AB 的中点，所 FE 一定 /BC 并且 FE 的长度等于 BC 长度的一半，而 D 是 BC 的中点，所以 BD=DC=FE又 FE/BC 且 F、 E 为两边的中点，所以四个三角形的高相等。因为四个三角形的底相等，高也相等，所以它们的面积相等，下面还有一些分配方案，你认为它们都正确吗？ D 为 BC 的中点； E 为 AD 的中点 D 为 BC 的中点；E 为 DC 的中点；F 为 AD 的中点3BD= 1 BC4EC= 1 BC4F 是 AD 的中点通过分析我们知道： 这三种分配方案都正确， 你还能想出其它的分配方案吗？请你也试着分一分吧！刚才我们运用三角形等底等高
6、的关系， 解决了生活中的实际问题， 运用这种关系， 我们还可解决许多生活中的问题三、题解变析，解决问题例 1 根据实际需要， 生动小组同学把三角形植物园地划分成甲、 乙两部分， 你能根据它们的关系，说出乙的面积是甲面积的几倍？请看图（单位：米）从图中我们很难发现解题思路， 但如何我们连接 DC 就可以把乙分解成两个三角形， 这样再解答就比较简单了。所以解题时先连接DC 因为 EC=9AE=3 EC 长度是 AE 长度的 3 倍又因为三角形AED 和三角形EDC 都以 D 点为顶点，所以它们的高相等所以 S EDC3SADE又 D 是 AB 的中点， C 为三角形 BCD 和三角形 ACD 的顶
7、点，所以这两个三角形等底等高，面积相等。 S BDCS ADC S ADE S DEC 4S ADE4乙的面积S EDCS BDC7S ADE乙的面积是甲面积的7 倍。从上面例题我们看出：在奇妙的几何世界里，几何图形多种多样，变化万千， 许多问题，只靠原图形上已有的线段很难发现解题思路，需要添加一些辅助线，如例 1 中添加了DC 这条线段，这样就在图形与图形之中，架起“桥梁”，使我们才能发现图形之间的关系，进而正确解题。例 2（见图）一个平行四边形的一边长15 厘米，这条边上高为6 厘米，用一条线段将此平行四边形分成了两部分，它们的面积相差18 平方厘米，那么其中梯形的上底是多少厘米？解答这个
8、题时， 如果我们直接求梯形的上底我们很难解决问题，因为原图形是一个平行四边形， 那么我们不妨利用等底等高的关系来解题，所以可以添加一条辅助线过平行四边形的顶点 A 做 EC 的平行线，交BC 为 F 点， AE=FCED=BF所以 S ABFS EDC （三角形底等高等面积相等）而原分成的两部分相差18 平方厘米，即平行四边形AFCE 的面积是18 平方厘米，高是 6 厘米，所以AE 的长度就等于18 6=3（厘米）从而得出梯形的上底是3 厘米。师：利用等底等高的关系，我们不仅可以解决三角形面积的问题，我们还可以解决其它图形的面积问题。例 3 公园里有一个长方形花坛，把这个花坛分成了四部分，现
9、已知三部分的面积，你能根据它们的关系求出第四部分的面积吗？6 平方米24 平方米18 平方米？平方米从图中我们看出第一部分面积是6 平方米，第二部分面积是18 平方米，而这两部分长相等，所以面积的比就是宽的比是18： 6=3： 1而第三部分面积是24 平方米， 它和第四部分的长也相等，宽的比也是3：1 所以面积比也是 3： 1，即第四部分的面积是第三部分面积的三倍，所以用 24 3=72（平方米）答：第四部分的面积是72 平方米。（出示）5四、智能拓展下图是长方形实验田，现将这块实验田分成了甲、乙、丙、丁四部分，已知甲的面积是40 平方米，乙的面积是60 平方米，请你求出丙的面积是多少平方米？要求丙的面积，我们可以先求出丁的面积，然后用丁 +乙的面积减去甲的面积，就是丙的面积。连接 FB 甲和乙的面积比是40：60=2 ： 3 S FBE 和丁的面积比也是2： 3又S FBE S乙平方米S FBES FDB甲而S FDBS FDC60S乙S FDC 甲所以等量减等量差相等，即S FBE S乙丁的面积 =60 23=90（平方米）丙的面积 =90+60-40=110 （平方米）答：丙的面积是110 平方米。6