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1、抛物线与它的标准方程宜川中学朱超英一、教学背景与教材分析：本堂课是学生在研究了椭圆、 双曲线这两种重要的圆锥曲线之后， 进一步对抛物线进行研究，是通过探求抛物线的几何本质， 建立直角坐标系得到抛物线的方程并研究抛物线的性质。掌握好抛物线的标准方程，几何性质等内容，是今后学习数学和解决一些实际问题的一个重要工具。由于学生在之前已经学习了曲线与方程的概念，有了通过建立适当的直角坐标系来建立曲线方程的经历， 并通过对椭圆和双曲线的研究也获得了探索曲线几何特征的一些经验。 为此，本堂课可以尝试在此基础上由学生通过自主探索和合作学习来建构抛物线的概念及抛物线的标准方程。教师也可以通过教学来探索如何以有效
2、的教学组织形式来增强学生学习的主动性、探究性和合作性，从而进一步研究如何改变学生的学习方式。二、教学过程中体现“主体研究式”的教学策略及注重现代信息技术与教学的有效整合：充分体现“以学生发展为本”的思想，努力探索在中学数学课堂教学中如何发挥学生的主体作用，实现课堂教学渗透研究性学习方式的教学形态。1、突出概念课教学的特征：本堂课通过问题的引入，课件的演示，学生自主归纳出抛物线的定义，并围绕抛物线的定义组织“推导抛物线的标准方程” 、“巩固练习”、“初步应用”等教学环节。2、突出学生探究活动：整堂课在教学中围绕“引入概念剖析概念掌握概念”的思想展开教学。无论是归纳抛物线的概念、推导抛物线的标准方
3、程，还是用抛物线的定义解决实际问题，都是由学生通过主动探索研究来实现的。 在教学过程中关注学生主体意识的形成和自主学习能力的培养，创造条件和机会让学生主动地学，通过观看课件演示，自主探究等多种形式，让学生直接参与课堂活动，将教与学融为一体。3、现代信息技术与数学教学的有效整合：过去为了突破某些传统教学的重点与难点， 往往令教师颇费周章， 而现在通过精心设计的数学课件，教学的中心成为了学生探索问题（或概念）的过程，数学课件的合理运用，可以缩短抽象严谨的数学与学生认知水平之间的距离。例如：本堂课中，教师运用几何画板描绘出符合条件的轨迹，这是传统的“粉笔加黑板”所难以实现的动态效果。通过这一数学实验
4、，既能调动起学生的探索欲望，学生又能自主地归纳出抛物线的定义，教学效果比较理想。因此作为教师，现在应多考虑如何在现代信息技术的支持下设计出比传统教学更富于启发性、开放性以及探索性的教学方式。三、教学目标的定位：1、让学生通过课件演示，理解并掌握抛物线的定义。通过数学验证性实验的方法，引入抛物线的概念，以此环节培养学生的探索精神。2、通过推导抛物线的标准方程，学生能进一步掌握求轨迹方程的一般方法，并体会到合理建立直角坐标系的重要性。3、学生能用类比等方法得出开口方向不同的抛物线的标准方程，准线方程及焦点坐标，归纳比较的能力得到提高。教学重点：1、进一步熟悉坐标法，能根据已知条件用坐标法求抛物线方
5、程。2、掌握抛物线的定义、标准方程，以及焦点坐标、准线方程。教学难点：1、用坐标法求抛物线的标准方程。2、应用抛物线的定义解决生活中的实际问题。四、教学过程设计：在教学过程中，为了使教学目标得到有效的落实，我设计了三个层次进行教学：1数学实验，引入课题新课题引入采用的方式是：教师提出问题引导学生思考，让学生通过课件的演示自主得出抛物线的定义，并通过生活中抛物线的应用实例引出新课的主题。在这一教学环节中，教师利用几何画板动态地描绘出传统黑板所不能体现的动点轨迹，利用真实的图片向学生展示抛物线在生活中的应用，这既缩短了抽象数学与学生形象的认知水平之间的距离，使学生能自主地归纳出抛物线的定义，又能让
6、学生懂得学习数学的价值在于运用该知识解决生活中的实际问题。从而使他们对现实中的数学现象产生好奇心，然后利用已有的知识经验，自主进行探索、尝试和研究，解决有关抛物线的数学问题，最终能运用新知识解决实际问题。2激荡思维，探究新知在推导抛物线标准方程时，主要采用主体研究式教学方法。根据学生在掌握了推导圆、椭圆及双曲线的标准方程基础上，放手让学生自行研究。在这一教学环节中，教师让学生自己上台讲解建系的方法， 推导方程的具体过程， 并且引导学生对不同的方法及结果进行比较。学生在此过程中能渐渐体会出合理建系的必要性，语言表达能力，分析比较能力等各方面都得到了一定的锻炼。其次，在推导其他三种开口方向的抛物线
7、的标准方程时，教师并没有引导学生重复同样的推导方法去探究，而是引导学生利用对称性，代入法求轨迹的思想去推导标准方程。这样学生能很顺利地口答出相应的标准方程，大大缩短了教学时间，又能使学生的思维在原有的基础上得到进一步的激荡，思维层次上一个新台阶。3练习巩固，初步应用本堂课的巩固练习紧紧围绕课本，但又不死扣课本，教师作了一些改动和补充，同时对例题进行必要的讲解。例 1，2 采用师生共同解决的方法，进一步掌握抛物线的定义、标准方程等知识点；在最后的实际应用题中，学生能运用数学建模的思想把河流和水井抽象成一条定直线和直线外的一定点，并利用抛物线的定义去解决问题。通过初步的应用，学生能体会出抛物线的知
8、识在实际生活中的应用价值，从而加强了应用数学的意识，也起到了培养学生数学建模、分析问题和解决问题的能力。五、教学过程：1、思考：（ 1）平面内与两定点的距离相等的点的轨迹是什么？（ 2）平面内与两条相交的定直线的距离相等的点的轨迹是什么？ （3）平面内与一条定直线的距离和与直线外一定点的距离相等的点的轨迹是什么？2、通过演示实验，学生掌握抛物线、准线、焦点的定义。几何画板课件演示： 学生观察两条线段QF 和 QM 长度的变化； 追踪动点 Q 得到的轨迹形状。探索出当QF1时动点 Q 的轨迹为抛物线，进而给出抛物线的定义。QM3、推导开口向上的抛物线的标准方程，相应准线方程和焦点坐标，强调p 的
9、几何意义。对于已经在几何画板中画出的抛物线，建立适当的直角坐标系。设抛物线上任意一点Q 的坐标为（ x，y），定点 F 到定直线 l 的距离为 p。由已知动点 Q（ x，y）到定点 F 的距离 QF 与动点 Q（x，y）到直线 l 的距离 QM 的之比为 1，转化出关于 x、y 的等式，化简即得到抛物线的标准方程。4、讨论四种位置上的抛物线标准方程。几何画板给出四种位置下的抛物线图形及所建的坐标系：学生分别求解四种开口方向的抛物线的标准方程；师生协作，填充抛物线的分类讨论表格；观察、归纳。5、例题：（1）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：a. y 21 xb. 4x 29y 02（2）根据下列
10、条件写出抛物线的标准方程：a. 焦点 F (3,0)b. y6（3）求过点 (0, 3) 且与直线 y3 相切的圆的圆心轨迹方程。6、应用：有一个村庄，生活着几十户居民。 平时居民的生活用水主要靠村庄旁的一条河流和村内的一口水井。那么为了方便，居民是选择到河里取水还是到井里打水呢？7、小结。8、作业。六、教学反思：通过这堂教学研究课的实践，针对课堂上的一些教学细节，引发了我的一些反思：1、课堂上对学生自主研究活动的设计：（1）应充分考虑学生已有的经验和水平。在试讲的过程中，在“学生自主推导开口向上的抛物线的标准方程”这一教学环节上，教师没有给学生任何的引导和附加条件，放手让学生完全独立地完成推
11、导过程。但从学生的反应来看，他们觉得缺少条件，似乎无从下手。由此可见，教师高估了学生现有的研究水平，设计学生活动时没有充分考虑到学生的已有经验和基础，使得教学进行地并不顺利。因此在后一次的实践中，我给出了定点到定直线的距离 p，为学生的自主探索作适当的铺垫。这样一来，学生建完坐标系后，就能较快地得出相应的坐标，完成推导过程。（2）所设计的活动应充分激荡学生的思维。在推导其他三种抛物线标准方程时， 教师是想引导学生利用对称性， 代入法求轨迹的思想方法得到方程。但在实施过程中，教师引导得过多，使学生的思维过多地依赖于教师的引导，思维没有得到成分地激荡，层次不高。因此今后，教师应在学生的能力范围内，
12、给学生充分的思维余地，激发他们的潜能，使思维能力得到不断地提高。2、有效的信息技术环境下的数学教学。（1）教学课件对数学学习方式的转变。这节课的教学课件中设置了动态的，直观的学习情境，为学生的自主学习提供了空间。从教学实践来看，课件教学环境至少体现了学生的学习方式在以下这些方面发生了转变：1、从学生对知识的掌握向学生对知识的意义的体会转化。 2、学生所学的知识从抽象的、象征的向逼真的、经验的转化。 3、学生的学习从顺从的向自律的转化。 4、学生在课堂上从单一的符号推理向多元的情境学习的转化。这节课设计合理的课件为教师参与探究时有效地点拨以及师生、生生间的互动营造一个融洽的高效益的研究氛围。学生
13、在这种和谐的环境中大胆、积极地发表自己的认识和见解，自主得到抛物线的概念。由于教师影响力的减弱，教师反而可以放手让学生充分发挥，通过不同的方法推导标准方程。在合作探究的讨论过程中，在师生的互动中，准确的数学概念和有效的数学学习方法生动地呈现给了学生，同样也促进学生完成了认知的顺应和同化。（2）教学课件对教师的教学方式和角色的转变。从这节课的体验来看，有效的技术环境下的数学教学中，教师的作用主要体现在以下几点： 1、帮助学生设计恰当的学习活动； 2、帮助学生寻找、搜集和利用学习资源； 3、帮助学生发现他们所学东西的意义； 4、帮助学生营造和维持学习过程中积极的心理氛围；过去为了突破某些教学的重点与难点，教师往往颇费周章，而现在通过精心设计的数学课件，教学的中心成为了学生探索问题（或概念）的过程，课件的合理运用，可以缩短抽象严谨的数学与学生认知水平之间的距离。过去，教师需要探讨如何在粉笔加黑板的教学条件下设计教学；现在，则需要考虑如何在现代信息技术的支持下设计出比传统教学更富于启发性、开放性以及探索性的教学。