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1、三角形外角的性质及应用角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。本文谈谈三角形外角的性质及应用。一 . 三角形外角的概念及特征如图 1，像 ACD 那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。图 1外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如ACD 的顶点 C 是 ABC 的一个顶点；（ 2）一条边是三角形的一边，如 ACD 的一条边 AC 正好是 ABC 的一条边；（ 3）另一条边是三角形某条边的延长线如ACD 的边 CD 是 ABC 的 BC 边的延长线。二 . 性质1. 三角形的外角与它相邻的内角互补。2. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
2、。3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。4. 三角形的外角和等于 360。三 . 应用1. 求角的度数例 1. 一个三角形的两个内角分别是55和 65，这个三角形的外角不可能是（）A. 115 B. 120 C. 125 D. 130 解析：如图2， A 的外角为： 180=125 。 B 的外角为： 180 65 =115 ACB 的外角为： 55 +65 =120所以选 D 。图 2例 2. 如图 3，AB/CD ， B=23 ， D=42 ，则 E= （）A. 23 B. 42 C. 65D. 19 图 3解析：延长BE 交 CD 于 F因为 AB/CD所以 1= B=23
3、 BED 是 EDF 的外角则 BED= 1+D=23 +42 =65 故选 C。例 3. 如图 4，AB=AC ， BAD=，且 AE=AD ，则 EDC= （）A.B.C.D.图 4解析：设 EDC=x 因为 ADC 是 ABD 的外角所以 ADC= ABC+ BAD即 ADE+x= ABC+（1）因为 AB=AC ， AD=AE所以 B= C， ADE= AED而 AED 是 DEC 的外角所以 AED= EDC+ C即 AED=x+ C（ 2）将（ 2）代入（ 1）得：所以所以选 A 。2. 判定三角形的形状例 4. 已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（）A. 锐
4、角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 以上三种情况都有可能解析：如图 5，在三角形 ABC 中， BAC 的外角 CAD BAC 而 CAD+ BAC=180 即： CAD=180 BAC所以 180 BAC90 故选 C图 53. 证明两角相等例 5. 如图 6，在 ABC 中， AB=AC ， D、 E 分别在 BC 、 AC 边上，且 ADE= B，AD=DE 。求证： ADB DEC。图 6分析：因为ADC 是 ADB 的外角所以 ADC= B+ BAD而 ADE= B， ADC= ADE+ CDE所以 ADE+ CDE= ADE+ BAD因此 BAD= CDE又 AB=AC
5、，可得 B= C而 AD=DE所以 ADB DEC例 6. 在等边三角形中，P 为 BC 上一点， D 为 AC 上一点，且 APD=60 ， BP=1 ，则 ABC 的边长为（）A. 3B. 4C. 5D. 6图 7分析：因为ABC 为等边三角形，所以B= C=60 又因为 APC 是 ABP 的外角所以 APC= B+ BAP而 B= APD=60 所以 BAP= CPD又 B= C，所以 ABP PCD所以。设 ABC 边长为 x，则解得 x=3故选 A4. 证明角度不等关系例 7. 已知，如图8，在 ABC 中， D 是三角形内一点，求证：BDC BAC 。图 8证明：延长BD 交 A
6、C 于 E在 ABE 中， BEC A在 CDE 中， BDC BEC所以 BDC A例 8. 已知：如图 9，在 ABC 中， BAC=90 ， AD BC 于 D， E 是 AD 上一点，求证： DEC ABC 。图 9证明：因为BAC=90 所以 BAD+ DAC=90 又因为 AD BC所以 ADB=90 所以 ABC+ BAD=90 所以 ABC= DAC又因为 DEC 是 AEC 外角所以 DEC DAC所以 DEC ABC5. 证明角度的和差关系例 9. 如图 10，已知：在 ABC 中， ABAC ， AEF= AFE ，延长 EF 与 BC 的延长线交于 G，求证：。图 10
7、证明：因为AEF= B+ G又因为 AEF= AFE ， AFE= GFC所以 AEF= GFC所以 GFC= B+ G又因为 ACB= GFC+ G +得： ACB= B+2 G所以例 10. 如图 11，求证： A+ B+ C+ D+ E=180。图 11证明：如图11， 1= C+ D， 2= A+ E而 1+2+ B=180 所以 A+ B+ C+ D+ E=180 练习：1. 如图 12，、 、 分别是 ABC 的外角， 且，则 ACB 等于（）A. 20 B. 30 C. 40D. 80 图 122. 如图 13，在锐角三角形中， CD 、BE 分别是 AB 、 AC 边上的高，且 CD、 BE 交于一点 P。若 A=50 ，则 BPC 的度数是（）A. 150 B. 130 C. 120 D. 100 图 133. 如图 14，直线 a/b，则 A=_ 度。图 144. 如图 15，求 A+ B+ C+D+ E 的度数。（提示：利用如图 1、 2 即可）。图 15