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1、2003 春高等数学（ 1）模拟试题（一）答案（供参考）一、 单项选择题（每小题3 分，共15 分）1 D2.B3. C4.A5. D二、填空题（每小题3 分，共15 分）x2. 53.(1,)4.F (ln x) Cy1. yx5 u1x三、计算题（每小题6 分，共54 分）x 2cos2 x11cos2x11解：limx2(xsin x)2limsin x2xx(1)xlim 1cos2 x1x2xlim (1sin x ) 2xx= 1（ 6 分）2解： limex3132x3= lim 3x 2ex326x2（ 2 分）x0xx03x= lim (ex32)x0= - 1（ 6 分）3
2、解：因为y1(12x)x 2x 2x1211（ 4 分）x21所以 y (3)11（6 分）(3) 2124解：因为在方程等号两边分别对x 求导，得1xy y11(2x2 yy )yx22x2)2y 21 (x化简得xyyxyy所以yxyxy5解：因为e2 x sin xdx =e2xcosx2 e2xcosxdx=e2xcosx2e2 x sin x 4 e2 x sin xdx所以e2 x s i nxdx =1 e2xcos x2 e2x sin xC556解：1 x11xdx +11dx0 x 2dx =0 x 20 x2111=1 ln( x21+ arctanx11)0201 ln
3、 22 47解：设x2y ，则原幂级数改写为y n0 (n 1)4 n 1n1因为lim an 1= lim( n 11)4 n1 1nann1(n1)4n 1= limn11(n2) 44n所以yn的收敛半径为： 4n 0 ( n 1)4n 1故原幂级数的收敛半径为：28解 原方程是变量可分离方程，即dyxdx ，y1 x2（ 3 分）（6 分）（ 4 分）（ 6 分）（ 4 分）（ 6 分）（ 2 分）（ 4 分）（6 分）两端积分，得ln y1 ln(1x 2 )ln C2即ln y1x2ln Cy 1x 2C由条件y(0)1， 得 C1所以方程的特解为y 1x219解：原方程的特征方程
4、为2560 ，特征根为16，21，故原方程的通解为yC1e 6 xC 2 ex其中 C1, C 2 为任意常数将条件 y(0)4 ， y (0)30 代入，得 C11， C 2 2所以原方程的特解为ye 6 x2ex四、应用题（本题12 分）解： 设所确定的 x 与测得的数值之差的平方和为y ，即y ( x x1)2(x x2)2( x x ) 2ny2(x x1 ) 2(x x2 )2(x xn )令 y0 ，即 2nx2x12x22xn0 ，得xx1x2xnn因为 y (x) 2n0 ，所以 x 为 y 的最小值 .因此，当 xx1x2nxn 时，它与测得的数值之差的平方和为最小五、证明题（本题 4 分）（3 分）（ 6 分）（ 3 分）（ 6 分）（ 4 分）（ 8 分）.（ 12 分）证：设 f ( x)sin xxx cos xsin xcosx因为f ( x)x 2x 2(x当 0x时，有 xtan x ，得 f( x)2sin2f (x)f ()22sin x22即x2所以，当 0xsin x时， x2tan x)cosxx2(x tan x) 0 ，即 f ( x) 单调减少 . 有（ 4 分）